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1、复习,1.平面应力问题,一般不等于0，且只是x、y的函数，而其它应力分量都等于0，所以称平面应力问题。,2、平面应变问题,一般不等于0，且只是x、y的函数，而其它应变分量都等于0，所以称平面应变问题。,3.平面问题的基本方程,或：,例：在平面问题中已知,求位移分量。,解：由几何方程得：,可见：,当形变完全确定时，位移分量不能完全确定；反之，位移分量确定时，形变分量可以完全确定。上式中，u0,v0是物体沿x，y轴的刚体平移。如图所示，则是刚体转动的角位移(小量）。,简单地说，物体不发生变形时，可以产生刚体位移。,2-3 平面问题中一点的应力状态,令l=cos,m=cos=sin,如图，围绕点取厚
2、度为1的三角板，设斜面长ds，法线与x，y轴夹角分别为，,例题：已知点的应力状态如下，试求主应力与主应力的方向，并画图表示。,（1）,（2）,令n=0,解：（1）由公式得：,（2）,1,2,1,2,1,2,x,y,例题2：试证明是一点最大和最小的正应力。,证：令,则：,试用两个主应力表示出任意截面的切应力，并求最大切应力的值。,解：取,则任意截面上有：,所以在,时取得极值：,1.应力边界条件：,2-6 边界条件,如图在正面上,x,y,在负面上,边界条件 表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系。,可以简单的将面力视为应力，并按照应力判断符号。,在斜面上：,如图，已知边界S上任一点的面力,
3、则边界条件为：,其中：l、m为边界点处的方向余弦。,利用了平衡的方法注意面力的符号。集中力在实际问题中是不存在的，在模型中需要对边界条件作特殊处理。,x,y,2位移边界条件,在边界S上有：,3混合边界条件,在边界S上同时有：,如图：,1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分边界上则具有已知面力。则两部分边界上分别有应力边界条件和位移边界条件。如图，悬臂梁左端面有位移边界条件：,上下面有应力边界条件：,右端面有应力边界条件：,2.在同一边界上，既有应力边界条件又有位移边界条件。,如图齿槽边界（类似于纵向链杆）条件：,如图横向链杆支撑边界条件：,例1列出边界条件：,写出图
4、中水下坝体的边界条件。,27 圣维南原理及其应用,复习：圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。,复习比较下列问题的应力解答：,b,例比较下列问题的应力解答：,圣维南原理在小边界上的应用：如图，考虑 小边界，,精确的应力边界条件,上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足（事实上，工程上所给的面力也往往是静力简化后的结果）。,(a),在同一边界 上，,圣维南原理的应用积分的应力边界条件在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)
5、的条件：在同一边界 x=l 上，应力的主矢量=面力的主矢量 应力的主矩(M)=面力的主矩,数值相等方向一致,(b),两种边界条件的比较,2.符号的问题,即：在当面力主矢量和主矩沿不同方向时，上面（c）式的正负号,应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向，即（正应力）（正的矩臂）的方向。,面力的主矢和主矩均沿应力主矢和主矩的正方向，所以上式均取正值,也可以参照材料力学的结果,（1）轴力可以看做是由均布的正应力合成的,显然在轴力为拉力时上式取正号。,（2）弯矩可以看做是由反对称的正应力合成的,显然在图中坐标系情况下应取负号。,（3）剪力可以看做是由同向的切应力合成的,显然剪力沿正面
6、的正向为正。图中情况取正号。,可以看出：如果以上边界是梁的两端，其面力和材料力学中轴力、弯矩、剪力正负号是一致的。,例：如图，为一矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力P 作用。试写出水坝的边界条件。（设lh）,解：（1）下边界：,（2）左边界：,（3）右边界：,（4）用圣维南原理：,例：悬臂梁上受线性分布荷载，如图所示。试根据材料力学中x的表达式，用平衡微分方程导出y和xy的表达式。,解：平面应力问题,则：,（1）,宽度未知，可以取单位宽度的梁研究，任意截面的弯矩为：,代入平衡微分方程：,得：,（2）,利用上下面的边界条件确定f(x),（3）,代入,得：,由边界条件：,思考与练习,练习题（P32）：2-8（图2-14）；2-9；2-14；2-15（b）（d）上交作业要求：必须在答疑时间当面交给老师，可以单人交，也可以几个同学做一份作业一块交。上交作业会有加分。所有练习题都会在上课时评讲。,
