弹性力学讲义(徐芝纶版).ppt

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1、第四章 平面问题的极坐标解答,第一节 极坐标中的平衡微分方程,第二节 极坐标中的几何方程及物理方程,第三节 极坐标中的应力函数与相容方程,第四节 应力分量的坐标变换式,第五节 轴对称应力和相应的位移,第四章 平面问题的极坐标解答,第六节 圆环或圆筒受均布压力,第八节 圆孔的孔口应力集中,第九节 半平面体在边界上受集中力,第十节 半平面体在边界上受分布力,例题,第七节 压力隧洞,区别:直角坐标中,x和y坐标线都是直线,有 固定的方向,x 和y 的量纲均为L。极坐标中,坐标线（=常数）和 坐标线（=常数）在不同点有不同的方向;,相同:两者都是正交坐标系。,直角坐标(x,y)与极坐标 比较：,坐标线

2、为直线,坐标线为圆弧曲线;的量纲为L,的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。,对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。,应用,41 极坐标中的平衡微分方程,在A内任一点（，）取出一个微分体，考虑其平衡条件。,微分体-由夹角为 的两径向线和距离 为 的两环向线围成。,两 面不平行，夹角为；两 面面积不等，分别为，。从原点出发为正，从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。,注意：,平衡条件：,平衡条件,考虑通过微分体形心 C 的 向及矩的平衡，列出3个平衡条件:,注意：,-通过形心C的力矩为0，当 考虑到二阶微量时，得,-通过形

3、心C的 向合力为0，,整理，略去三阶微量，得,同理，由 通过形心C的 向合力为0可得：,极坐标下的平衡微分方程：,几何方程-表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式。,42 几何方程及物理方程,极坐标系中的几何方程可以通过微元变形分析直接推得，也可以采用坐标变换的方法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐标与极坐标之间的关系，有,注意：,可求得,根据张量的坐标变换公式,对平面问题：,几何方程,由此可得比较可知,极坐标中的物理方程,直角坐标中的物理方程是代数方程，且 x 与 y 为正交，,故物理方程形式相似。,物理方程,极坐标中的物理方程也是代数方程,且,与 为正交，,平面应力问题的物理方程：,物

4、理方程,对于平面应变问题，只须作如下同样变换，,边界条件-应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：,边界条件,故边界条件形式简单。,平面应力问题在极坐标下的基本方程,物理方程,物理方程,对于平面应变问题，只须将物理方程作如下的变换即可。,以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：,43 极坐标中的应力函数 与相容方程,1、物理量的转换;,2、从直角坐标系中的方程导出极坐标 系中的方程。,函数的变换：将式 或 代入，,坐标变量的变换：,反之,1.从直角坐标系到极坐标系的变换,坐标变换,或,矢量的变换：位移,坐标变换,将对 的导数，变换为对 的导数：,可看成是，而 又是 的函数，即 是

5、通过中间变量，为 的复合函数。,有:,坐标变换,导数的变换：,而,代入，即得一阶导数的变换公式,一阶导数,，,。,展开即得：,二阶导数的变换公式，可以从式(e)导出。例如,二阶导数,拉普拉斯算子的变换：由式（f）得,二阶导数,3.极坐标中应力用应力函数 表示,可考虑几种导出方法：,2.极坐标中的相容方程,从平衡微分方程直接导出（类似于 直角坐标系中方法）。,相容方程应力公式,(2)应用特殊关系式，即当x轴转动到与 轴重合时，有:,(3)应用应力变换公式（下节）,应力公式,(4)应用应力变换公式（下节），,而,代入式(f)，得出 的公式。,比较两式的 的系数，便得出 的公式。,应力公式,当不计体

6、力时应力用应力函数表示的公式,应力公式,4.极坐标系中按应力函数 求解，应满足：,(1)A 内相容方程,(2)上的应力边界条件（设全部为应 力边界条件）。,(3)多连体中的位移单值条件。,按 求解,应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。,应力分量的坐标变换关系：,44 应力分量的坐标变换式,1、已知，求。,（含）的三角形微分体，厚度为1，如下图 A，考虑其平衡条件。,取出一个包含x、y面(含)和 面,得,同理，由,得,类似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件，,得,应用相似的方法，可得到,2、已知，求,3、可以用前面得到的求一点应力状态的公式推出。

7、,4、也可以用应力坐标变换公式得到,轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。,轴对称应力问题：,45 轴对称应力和相应的位移,轴对称应力问题,应力数值轴对称-仅为 的函数，应力方向轴对称-,展开并两边同乘 得：,相应的应力函数，所以 应力公式为：,（1）相容方程,的通解,(2)应力通解：,（4-11）,分开变量，两边均应等于同一常量F,将 代入第三式，,由两个常微分方程，,其中,代入，得轴对称应力对应的位移通解，,I，K为x、y向的刚体平移，H 为绕o点的刚体转动角度。,位移通解,（4-12）,说明,（2）在轴对称应力条件下，形变也是轴对称 的,但位移不是轴对称的。,（3）实现轴对称

8、应力的条件是，物体形状、体力和面力应为轴对称。,（1）在轴对称应力条件下，(4-10、11、12),为应力函数、应力和位移的通解，适用于任何轴对称应力问题。,说明,(4)轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程，它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件，并由此求出其系数A、B及C。,说明,(5)轴对称应力及位移的通解，可以用于求解应力或位移边界条件下的任何轴对称问题。,(6)对于平面应变问题，只须将 换为,圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。,46 圆环或圆筒受均布压力,问题,问题,边界条件是,边界条件,考察多连体

9、中的位移单值条件：,圆环或圆筒，是有两个连续边界的多连体。而在位移解答中，,式(b)中的 条件是自然满足的，而其余两个条件还不足以完全确定应力解答(a)。,单值条件,是一个多值函数：对于 和 是同一点，但式(c)却得出两个位移值。由于同一点的位移只能为单值，因此,B=0。,单值条件,由B=0 和边界条件(b)，便可得出拉梅解答，,单值条件,(4-13),解答的应用：,（1）只有内压力,（2）只有内压力 且，成为 具有圆孔的无限大薄板（弹性体）。,（3）只有外压力,单值条件,单值条件的说明：,（1）多连体中的位移单值条件，实质上就 是物体的连续性条件（即位移连续性 条件）。,（2）在连续体中，应

10、力、形变和位移都 应为单值。,单值条件,按位移求解时：取位移为单值，求形变（几何方程）也为单值，求应力（物理方程）也为单值。,按应力求解时：取应力为单值，求形变（物理方程）也为单值，求位移（由几何方程积分），常常会出现多值项。,所以，按应力求解时，对于多连体须要校核位移的单值条件。,单值条件,对于单连体，通过校核边界条件等，位移单值条件往往已自然满足；,对于多连体，应校核位移单值条件，并使之满足。,47 压力隧洞,本题是两个圆筒的接触问题，两个均为轴对称问题（平面应变问题）。,1.压力隧洞-圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为,压力隧洞,因为不符合均匀性假

11、定，必须分别采用两个轴对称解答：,圆筒,无限大弹性体,压力隧洞,应考虑的条件：,（1）位移单值条件：,（2）圆筒内边界条件：,（3）无限远处条件，由圣维南原理,压力隧洞,由（1）（4）条件，解出解答（书中式（4-16）。,（4）的接触条件，当变形后两弹性体 保持连续时，有,压力隧洞,2.一般的接触问题。,(1)完全接触：变形后两弹性体在s上仍然保持连续。这时的接触条件为：在s上,当两个弹性体，变形前在s上互相接触，变形后的接触条件可分为几种情况：,接触问题,(2)有摩阻力的滑动接触：变形后在S上法向保持连续，而切向产生有摩阻力的相对滑移，则在S上的接触条件为,其中C为凝聚力。,接触问题,(4)

12、局部脱离：变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面。在此部分脱开的边界上，有,(3)光滑接触：变形后法向保持连续，但切向产生无摩阻力的光滑移动，则在s上的接触条件为,接触问题,在工程上，有许多接触问题的实际例子。如机械中轴与轴承的接触，基础结构与地基的接触，坝体分缝处的接触等等。一般在接触边界的各部分，常常有不同的接触条件，难以用理论解表示。我们可以应用有限单元法进行仔细和深入的分析。,接触问题,3.有限值条件,图（a）,设图（a）中半径为r的圆盘受法向均布压力q作用，试求其解答。,有限值条件,引用轴对称问题的解答，并考虑边界 上的条件，上述问题还是难以得出解答。这时，我们可以考

13、虑所谓有限值条件，即除了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值。而书中式(4-11)的应力表达式中，当 时，和 中的第一、二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件，当 时，必须有A=B=0。,有限值条件,在弹性力学问题中，我们是在区域内和边界上分别考虑静力条件、几何条件和物理条件后，建立基本方程及其边界条件来进行求解的。一般地说，单值条件和有限值条件也是应该满足的，但是这些条件常常是自然满足的。而在下列的情形下须要进行校核：,(1)按应力求解时，多连体中的位移单值条件。,有限值条件,在弹性力学的复变函数解法中，首先排除不符合单值条件和有限值条件的复变函数，从而缩小求解函数的范围，然后再根

14、据其他条件进行求解。,(2)无应力集中现象时，和，或 处的应力的有限值条件(因为正、负幂函数在这些点会成为无限大)。,有限值条件,工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。,本节研究小孔口问题，应符合,（1）孔口尺寸弹性体尺寸，,孔口引起的应力扰动局限于小范围内。,48 圆孔的孔口应力集中,小孔口问题,（2）孔边距边界较远（1.5倍孔口尺寸）,孔口与边界不相互干扰。,当弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。,小孔口问题,1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q，图(a)。,双向受拉,内边界条件为，,将外边界改造成为圆边界，作则有,利用圆环的轴对称解答，取,且Rr，得应力解答：,双向受拉,（4

15、-17）,2.带小圆孔的矩形板，x,y向分别受拉压力，图(b)。,所以应力集中系数为2。,内边界条件为,最大应力发生在孔边，,作 圆，求出外边界条件为,双向受拉压,应用半逆解法求解（非轴对称问题）:,由边界条件，假设,代入相容方程，,由 关系，假设，所以设,双向受拉压,除去，为典型欧拉方程，通过与前面45相同的处理方式，可以得解,然后代回式（d),即可求出应力。,双向受拉压,校核边界条件(b),(c)，求出 A,B,C,D，得应力解答：,在孔边，最大、最小应力为，应力集中系数为。,双向受拉压,（4-18）,3.带小圆孔的矩形板，只受x向均布拉力q。,单向受拉,应用图示叠加原理（此时令）得应力解

16、答:,单向受拉,（4-19）,讨论：,（1）孔边应力，,最大应力 3q，最小应力-q。,单向受拉,（2)y轴 上应力，,可见，距孔边1.5D处，由于孔口引起的应力扰动5%。,单向受拉,（3）x 轴 上应力，,同样，距孔边1.5D处，由于孔口引起的应力扰动5%。,单向受拉,4.小孔口的应力集中现象,（1）集中性-孔口附近应力远处的应力，,孔口附近应力无孔时的应力。,（2）局部性-应力集中区域很小，约在距孔边,1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般5%。,应力集中现象,（3）凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈大。,因此，工程上应尽量避免接近直交的凹角出现。,如正方孔 的角点，

17、,角点曲率半径,应力集中现象,5.一般小孔口问题的分析：,（1）假设无孔，求出结构在孔心处的、。,（2）求出孔心处主应力,（3）在远处的均匀应力场 作用下，求出孔口附近的应力。,小孔口解法,当然，对于左右边界受均匀拉力作用带孔平板的应力集中问题，还可以用如下方法求解,单向受拉,对于无孔板，板中的应力为,与之相应的应力函数为,转为极坐标表示为,单向受拉,现参照上述无孔板的应力函数来选取一个应力函数，使它适用于有孔板。即,代入相容方程得：,解得：,单向受拉,由此求得应力分量为：,解得：,单向受拉,应力分量为：,应用弹性力学问题的复变函数解法，已经解出许多各种形状的小孔口问题的解答。复变函数解法是一

18、种求解弹性力学解答的解析方法，它将复变函数的实部和虚部(均为实函数)分别表示弹性力学的物理量，将弹性力学的相容方程(重调和方程)也化为复变函数方程，并结合边界条件进行求解。,6.其他小孔口问题的解答,为了了解小孔口应力集中现象的特性和便于工程上的应用，我们把远处为(压应力场)作用下，椭圆类孔口、矩形类孔口和廊道孔口的应力解答表示在下图中，它们的应力分布情况如下。,-4,3/2,b,a,1,1,-2.23,1,2/3,-1,1,0,1,-3,1,1.00,-2.5,-1.35,（1）在(压应力场)下，孔口的最大拉应力发生于孔顶和孔底。椭圆类孔口均为,矩形类孔口的,标准廊道孔口为0.90和0.92

19、q。,1.8r,-1.7,(c)标准廊道孔口,r,0.90,0.92,（2）在（压应力场）下，孔口的最大压应力发生在孔侧。椭圆类孔口（垂直半轴为b，水平半轴为a）中，当 成为一条裂缝时，；当；当，。矩形类孔口 从，越小，则压应力集中系数越接近1。标准廊道 左右。,半平面体在边界上受集中力作用如图。,它是下图所示问题当 的特殊情况。,49 半平面体在边界上 受集中力,半逆解法,用半逆解法求解。,（1）假设应力：F为单位宽度上的力，按量纲分析，应力 应为:,半逆解法,（2）推测 应为,（3）代入，得,求出 f 之解，代入，,其中前两项即Ax+By，与应力无关，删去。则取应力函数为,（5）考虑边界条

20、件,因有集中力作用于原点，,故边界条件应考虑两部分：,（4）由 求应力,(b)在原点 O附近，我们可以看成是一段 小边界。在此小边界附近，有面力的作 用,而面力可以向原点o简化为作用于O 点的主矢量F，和主矩为0的情形。将小边界上的应力边界条件应用圣维南 原理来进行处理。圣维南原理的应用可 以有两种方式：,(a)不包含原点O，则在 显然这条件是满足的。,即,(1)在同一小边界上，使应力的主矢量和主矩,分别等于对应面力的主矢量和主矩(数值相等，方向一致)，共有3个条件。(2)取出包含小边界的一部分脱离体，并考虑此脱离体的平衡条件，,同样也得出3个条件。,本题中，由于已经将小边界上的面力简化到o点

21、的主矢量和主矩，可以按后一种方式来处理。即取出如图部分的弹性体，考虑。由此，得出应力解答式(4-21)，即,求得,当F垂直于边界时，应力解答为,当 应力解答为,相应的位移按下列步骤求出：,（2）代入几何方程，,位移,相应的直角坐标系中的应力，如书中式(4-24)所示。,（1）由物理方程求形变,对第一式积分，求出，含；,对第二式积分，求出，含；,由对称条件，,代入第三式，分开变量，求出 和，得,（3）求刚体位移H,I,K。,x 向无约束条件,I 不能确定。,因刚体位移 不能确定，用相对沉陷表示：,此解答用于基础梁问题。地基一般为平面应变问题，故应取,（4）半平面体表面的沉陷,M点 为,为基点,s。,410 半平面体在边界 上受分布力,当半平面体表面有分布荷载 作用,时，其应力和位移解答可从集中力的解答得出。,F（原集中力）代之为微分集中力（作用点为）。,x（原表示F作用点到M 的铅直距离）仍为x;,y（原表示F作用点到M 的水平距离）应代之为,应力（式（4-24）的推广：,然后对 积分，从。,（原M点到F作用点的水平距离）代之为,s（原B点到F作用点的水平距离）代之为,然后对 积分，从,相对沉陷解答 的推广：,F（原集中力）代之为,半平面体在边界上受有均布单位力作用,书中用上述方法，导出了基础梁计算中的公式。如点K在均布力之外，则沉陷为,若基点B取得很远，有,其中：,