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1、,小 结,基本方程与边界条件,1,平衡微分方程（3个）,2,几何方程（6个）,应变协调方程：（由几何方程导出，不作为基本方程）,第九章 空间问题的解答,3,物理方程（6个）,共15个方程，15个未知函数，在适当的边界条件下可求出,4,边界条件,1,位移边界条件（第一类边值问题）,2,应力边界条件（第二类边值问题）,3,混合边界条件（第三类边值问题）,边界,fi,平衡方程,本构关系,几何方程,静力学方面,几何学方面,相应的解法有：,1,按位移求解：,2,按应力求解：,3,混合解法：,9-1 按位移求解空间问题,物理方程,直角坐标：,代入平衡方程,拉梅(Lam)方程,边界条件(在直角坐标系),对于
2、轴对称问题，求解方程成为,对于球对称问题，求解方程成为,如图：,9-2 半空间体受重力及均布压力,由于对称（任一铅直平面都是对称面），故可假设：,按位移求解,1,2,3,在z=0的表面，有：,常数B的决定要利用位移边界条件。假定,这个比值在土力学中称为侧压力系数,球对称问题，体力不计,9-3 空心圆球受均布压力,积分：,应力分量,边界条件(先考虑内外所受的均布压力),求解A和B，得,径向位移解答为:,应力解答为:,讨 论：,只受有内压力q，,1,当趋于无限大,2、孔边将发生q/2的切向拉应力，它可能引起脆性材料的开裂。可比较平面问题的lame解答。,1、当 r 趋于无限大，验证了S-V原理,2
3、,ba，受有内外压力,再次验证了S-V原理,3,局部应力集中，与平面孔口应力集中问题比较，集中程度降低。,仅受外压,9-4 位移势函数,当不计体力时，Lam方程成为,如何求解？,引入位移函数,使方程变得简单,假设位移是有势的,从而有：,特别的，取，则,如果找到适当的调和函数,使得,能够满足边界条件，就得到该问题的,正确解答。,问题归结为,此时,轴对称问题,代入无体力的平衡方程中，得到：,取,应为调和函数,此时：,问题归结为,如果找到适当的调和函数,使得 给出的,能够满足边界条件，就得到该问题的,正确解答。,应当指出：并不是所有问题中的位移都是有势的，,如果位移势函数存在，,表示体积应变在整个弹
4、性体是常量，这种情况非常特殊，因而位移势函数所能解决的问题极其有限。,9-5 伽辽金位移函数,代入无体力的平衡方程中,于是，对于一般的空间问题，只须找到三个恰当的重调和函数,使得按上式给出的位移和应力能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。,特殊形式,在直角坐标系可表示为,应力分量表达式为,在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量的表达式为(轴对称问题为其中的特例),伽辽金位移函数不要求有势，求解范围广。,体力不计,1,坐标选择,z 轴沿荷载F作用线,空间轴对称问题,9-6 半空间体在边界上受法向集中力,应力边界条件要求,2,转化过来之后，空间有6个条件，其中5个自然满足。,3,选择位移函数,考虑
5、采用乐甫位移函数,(1)由因次分析,要求:,力长,(2)满足:,选择:,长含r、z二个变量，并且,4,求出位移和应力分量,6,检验应力边界条件,但,5,补选lame位移势函数,考虑到：,（1)应当是，等长度坐标的零次幂 力,(2)满足：,要求,Aln(),故取：,求得：,7,叠加后，检验应力边界条件,满足,再代入：,联立求得,Boussinesq 解答,表面沉陷,体力不计,1,坐标选择,非空间轴对称问题,9-7 半空间体在边界上受切向集中力,应力边界条件,2,选择位移函数,3,(1)伽辽金位移函数,，,，,(2)lame位移势函数：,满足：,满足：,4,求出应力分量,检验应力边界条件,5,求出
6、：,6,Cerruti 解答,讨 论：,半空间体在边界上受集中力作用应力分布特征,(1)当时，各应力分量都趋于零；当时，各应力分量都趋于无限大。,(2)水平截面上的应力都与弹性常数无关，其它 截面上的应力，一般都随泊松系数而变。,(3)水平截面上的全应力指向集中力的作用点。,9-10 空间问题的应力解法,应力解法以应力张量，即以6个应力分量为基本未知函数。除了满足平衡微分方程和应力边界条件以外，为了保证位移唯一存在，应力(或应变)必须满足应变协调方程。,关于应变协调方程,数学上：,1,2,这些条件称为变形协调条件或应变协调方程或相容方程,物理上：,微元体变形后应保持连续，,要求 不能任意，应保
7、持连续，不然则会产生错开、嵌入等现象，不是单值。,直角坐标系中分量形式的相容方程,进一步可以证明，应变分量满足应变协调方程是存在单值连续位移场的必要条件。对于单连体，也是充分条件；对于多连体，加上位移单值条件，才是充分的。,将物理方程代入，并利用平衡微分方程简化得到：,称为密切尔（Michell）方程。,在体力为常量的情况下，简化为拜尔特拉密(Beltrami)方程,补充：应力函数,按应力求解：当不计体力时，应力分量应满足：,仿照按位移求解引入位移函数的思路，引进应力函数，把应力用应力函数表示，并使得平衡方程能自动满足。按应力解法的弹性力学问题就转变为求解以应力函数表示的相容方程。当然，解得的
8、应力还须满足应力边界条件和多连域的位移单值条件。,1.麦克斯威尔(Maxwel）应力函数,则平衡方程恒满足，代入相容方程得到,2.莫勒(Morera)应力函数,则平衡方程恒满足，代入相容方程得到,3.拜尔特拉密应力函数（一般形式）,自然满足平衡方程,1,特例,2,Maxwell应力函数,3,Morera应力函数,补充：叠加原理,应用,同一弹性体,1,2,描述,如弹性体存在齐次约束条件,证明,和 满足如下方程和条件,和 满足如下方程和条件,将两式相对应的方程和条件相加，得,由上式可见，和 满足在体力 和面力 共同作用下的所有方程和条件，因此它们是两组荷载共同作用下的解答。,11-9 解答的唯一性,弹性体处于平衡时，体内各点的应力、应变和位移时唯一的。,反证,设在给定的荷载和位移边界条件下，解答不唯一，即存在两组解,考虑这两组解的差,考虑到上式中的平衡方程，下式积分为零，即,只要存在位移边界,则有:,
