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1、刚 体 的 定 轴 转 动,主讲：左武魁,习 题 课,内 容 一,内 容 二,课 堂 练 习,刚体力学内容小结及其与质点力学的对比,刚体力学与质点力学的对比,内 容 一,第五章 转动与平动公式对照表(运动学),质点的直线运动,刚体的定轴转动,刚体,角位移,角速度,r d,位置角,角加速度,转动惯量,m,J,匀变速转动,第五章 转动与平动公式对照表（动力学）,质点的直线运动,刚体的定轴转动,转动定律,角动量定理,角动量守恒,运动定律,冲量,动量定理,角动量,动量守恒,动量,角动量,动量,角冲量,M=J,L=J,第五章 转动与平动公式对照表（功和能）,质点的直线运动,刚体的定轴转动,转动动能,功率
2、,力矩作功,动能定理,重力势能,只有保守内力作功时,机械能守恒,只有保守内力作功时,力矩,平动动能,动能定理,功率,机械能守恒,力作功,重力势能,力,P=F v,P=M,S=r,v=r,s,角量与线量的关系,刚体的,转 动 惯 量,几种刚体的转动惯量（P261 表51）,细杆,通过中心垂直于杆,细杆,通过一端垂直于杆,一、几种刚体的转动惯量,通过筒中心垂直于端面（中心轴）,几种刚体的转动惯量（P261 表51）,刚体形状,轴的位置,转动惯量,圆筒,通过筒中心垂直于端面（中心轴）,名称,一、几种刚体的转动惯量,轴的位置,转动惯量,薄球壳,球体,直径,直径,一、几种刚体的转动惯量,几种刚体的转动惯
3、量（P261 表51）,刚体形状,名称,一、刚体的转动惯量,如果J 是刚体对任一轴 的转动惯量，,Jc 为刚体对通过其质心且与OZ,m 为刚体质量，,则,平行轴定理,d 为两轴间距离，,m,1.定义,2.一般刚体,3.绕定轴转动的质点,二、平行轴定理,4.绕定轴转动的质点系,平行的另一轴 OZ 的转动惯量，,J=Jc+m d 2,课 堂 练 习,内 容 二,从一个半径为 R 的均匀薄板上挖去一个直径为 R的圆板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心的R/2处，所剩薄板的质量为 m。求此时薄板对于通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量J。,习 5.9(P286),R,o,R/2,解：,设大盘（末挖洞前）
4、质量为m0，,洞对应面积的圆盘质量为m1，,则大盘原面积为,洞对应面积为,挖洞后剩余部分面积,故盘的密度,R,o,R/2,大盘对O 轴,小盘对O 轴,故挖洞后薄板对O轴的转动惯量,习 5.9(P286),解：,已知两物体的质量分别为m1和m2，定滑轮（可视作圆盘）的质量为 m 半径为 r，m2与桌面间磨擦系数为k，求m1下落的加速度a 和两段绳子中的张力。,习 5.11(P286),m1,m2,m,解：,对m1、m2 和 m 作示力图，设两段绳中的张力分别为T1、T2，则,(1),(2),(3),(4),联立以上4个方程解得,已知物体的质量m1=80g,定滑轮（可视作圆盘）质量 m=100g,
5、半径 r=0.05m,弹簧的劲度系数 k=2.0N/m。开始时先用手托住物体，使弹簧处于自然伸长。求松手后物体下落 h=0.5m 时的速率。,习 5.16(P287),m1,m,试分析物体下落h=0.5m 时的加速度和两段绳中的张力。,解：,附：,长为L、质量为M 的均匀杆，一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。一质量为m 的子弹以水平速度v0，射入杆的下端并嵌于其中。求杆和子弹开始一起运动时的角速度。,例 5.11(P273),L,解：,因子弹射入杆并和杆一起运动所经历的时间极短，故杆的位置基本不变。,选子弹和杆为系统，则碰撞过程中,解得,因子弹嵌入杆中和杆一起运动的速度v=l，故有,系
6、统所受合外力矩为零，系统角动量守恒。,（系统在水平方向动量是否守恒？为什么？）,例 5.14(P276),一长为 l、质量为m 的均匀细杆，静止在光滑的水平面上，其中点有一竖直光滑的固定轴与杆连接。一个质量为m 的小球以水平速率 v0 垂直于杆冲击其一端而即粘上。求碰撞后杆的角速度以及碰撞过程中损失的机械能-E。,解：,选球和杆为系统，因碰撞过程中系统所受合外力矩为零，系统的角动量守恒。即,碰撞过程中机械能的损失,习 5.18(P288),一长为L、质量为M 的均匀细杆，上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一质量为m 的子弹以水平速率v0 射入杆的悬点下方距离为d 处而不复出。求：,m,d,（
7、1）子弹停在杆中时角速度的大小；,(M),解：,m,d,则杆受子弹的水平冲力 f 方向向右，,对杆运用质心运动定理,切向,求子弹冲入杆时，杆上端受轴的水平和垂垂分力；,（2）,设子弹冲入杆的过程中，子弹受杆的阻力大小为 f,习 5.18(P288),解：,f,f t=mv0-mv,Fx,Fx+f=Mact,(=0=),m,运用质心运动定理对杆+子弹系统分析,法向：,求子弹冲入杆时，杆上端受轴的水平和垂垂分力；,（2）,（M）,习 5.18(P288),解：,d,o,m,（3）欲使杆上端不受水平力，求d。,依题意，令 Fx=0,(M),解：,习 5.18(P288),一质量为M、半径为R的水平均
8、匀圆盘，可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动，在盘的边缘站着质量为m的人，开始时两者相对于地面静止，求当人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度。,例5.12(P273),R,M,解：,以轴为参照系,用角动量守恒,解：,在人走动的过程中，人与圆盘组成的系统对于转轴的角动量守恒。,方法1,设人和盘对轴的转动惯量分别为j 和J，,设人和盘对轴的角速度分别为 和；,设人和盘对轴的角位移分别为 和；,由上两式解得,R,M,例5.12(P273),m,在人走动的过程中，人与圆盘组成的系统对于转轴的角动量守恒。,设任意时刻人与圆盘的角速度分别为、，则,依题意,解：,方法2,例5.12(P273),方法1用
9、机械能守恒定律,取初始位置为势能零点，则,例5.10(P270),一均匀细棒（，m），可绕过其一端的光滑轴转动，开始时棒静止于水平位置，求其下摆角为 时的角速度。,用机械能守恒定律（或转动动能定理）解例5.7,解：,解：,力矩的功,由转动动能定理知,又,即,因对应于 角时的力矩,方法2用转动动能定理,例5.10(P270),解：方法3 用转动定律,例5.10(P270),宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为 J=2 10 kgm2，正以=0.2 rad/s 的角速度绕中心轴旋转。宇航员想用两个切向控制喷管使飞船停止旋转。两喷管距轴线距离均为r=0.5m。两喷管喷气流量稳定，共是q=2kg/s。喷气相
10、对于飞船的喷射速率恒定为 u=50 m/s。问喷管应喷多长时间才能使飞船停止旋转？,例 5.13(P275),解：,选飞船及喷出的燃气为系统，,则系统的初角动量,L J。,因喷气相对飞船喷射速率恒定，,故喷出燃气质量为m 时，,L1=r m(u+v)m u,(因 u v),喷出的燃气对飞船中心轴所产生的角动量为,例 5.13(P275),解：,系统的初角动量L J。,L1=rm(u+v)mru,喷出燃气质量为m 时，对飞船中心轴产生的角动量,飞船 J=210 kgm2,=0.2rad/s。喷气相对于飞船的喷射速率为 u=50 m/s，流量 q=2kg/s，r=0.5。,因喷气过程中系统所受合外力矩为零，角动量守恒，,故有,J=mru,则所求时间：,再 见,
