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1、2023/1/14,郑平正 制作,一.曲线的参数方程,高二数学 选修4-4,高二数学 选修4-4 第二讲 参数方程,1.参数方程的概念,1、参数方程的概念：,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？,提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？,1、参数方程的概念：,设飞机在点A将物资投出机舱，,记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资的位置为M(x,y).则x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度。,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100
2、m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？,在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线，y轴经过点A.,由于水平位移量x与高度y 是两种不同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足的关系式并不容易。,1、参数方程的概念：,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,（1）沿ox作初速度为100m/s的匀速直线运动；,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时
3、机呢？,（2）沿oy反方向作自由落体运动。,1、参数方程的概念：,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？,一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。,二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。,三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。,
4、（2）,并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,关于参数几点说明：参数是联系变数x,y的桥梁,1、参数方程的概念：,一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,1.参数方程中参数可以有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。,2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样,3.在实际问题中要确定参数的取值范围,一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定
5、目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）,变式:,例1:已知曲线C的参数方程是（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。,解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,因此M1在曲线C上。,把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，,因此M2不在曲线C上。,（2）因为M3（6，a)在曲线C上。,解得：t=2,a=9,a=9,2、方程 所表示的曲线上一点的坐标是（）,A、（2，7）；B、C、D、（1，0）,1、曲线 与x轴的交点坐标是()A、（1，
6、4）；B、C、D、,B,D,训练1：,已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上.（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.,解:,(1)由题意可知:,1+2t=5,at2=4,解得:,a=1,t=2,a=1,(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:,x=1+2t,y=t2,由第一个方程得:,代入第二个方程得:,训练2：,思考题：动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程。,解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得,所以，点M的轨迹参数方程为,参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y
7、)（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程,小结：,并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，,那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。,2.圆的参数方程,y,x,o,r,M(x,y),y,x,o,r,M(x,y),并且对于 的每一个允许值,由方程组所确定的点P(x,y),都在圆O上.,5,o,思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？,我们把方程组叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，,是参数.,(a,b),r,圆
8、的参数方程的一般形式,圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程：,由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。,注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。,2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。,例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀
9、速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。,例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。,思考：,这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线？,如果定点Q在圆O上，轨迹是什么曲线？,如果定点Q在圆O内，轨迹又是什么？,3.参数方程和普通方程的互化,3.参数方程和普通方程的互化：,（1）普通方程化为参数方程需要引入参数,如：直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程,（t为参数）,在普通方程xy=1中，令x=tan,可以化为参数方程,（为参数）,（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参
10、数化为普通方程,如：参数方程,消去参数,可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.,可得普通方程：y=2x-4,通过代入消元法消去参数t,（x0）,注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,(1,1),类型一：参数方程化为普通方程,代入消元法,类型一：参数方程化为普通方程,三角变换消元法,步骤：1、消掉参数(代入消元，三角变形，配方消元)2、写出定义域（x的范围）,参数方程化为普通方程的步骤,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。,注意：,练习：参数方程,表示,（）,（A）双曲线的一支，这支过点（1，,）：
11、,（B）抛物线的一部分，这部分过（,1，,）；,（C）双曲线的一支，这支过点（1，,）；,（D）抛物线的一部分，这部分过（1，,）,B,分析,一般思路是：化参数方程为普通方程,求出范围、判断。,解,x2=,=1+sin=2y，,普通方程是x2=2y，为抛物线。,，又02，,故应选（B）,说明:,这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。,类型二：普通方程化为参数方程,1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？,请同学们自学课本例4，思考并讨论：,注：本题两个参数方程和起来才是椭圆的参数方程。,1.如果没有
12、明确x、y与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？,两个解的范围一样只取一个；不一样时，两个都要取.,无限个,思考并讨论：,1.已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。,解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，,参数方程为,(为参数),练习：,x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，,代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,2、曲线y=x2的一种参数方程是（）.,注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等
13、价的.,在y=x2中，xR,y0，,分析:,发生了变化，因而与 y=x2不等价；,在A、B、C中，x,y的范围都,而在中，,且以,将下列参数方程化为普通方程：,(1),(2),（1）（x-2）2+y2=9,（2）y=1-2x2（-1x1）,（3）x2-y=2（X2或x-2）,步骤：（1）消参；（2）求定义域。,练习：,练习：,将下列参数方程化为普通方程：,（）,D,练习：,（2，1）,A.36 B.6 C.26 D.25,（）,A,练习：,练习：,(2,0),(0,2),D,-6,练习：,a-2,例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2 的最值，（
14、2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。,解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为,由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin）,x2+y2 的最大值为14+2，最小值为14-2。,(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）,x+y的最大值为5+，最小值为5-。,(3),显然当sin（+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。,例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2 的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。,练习：1.填空：已知圆O的参数方程是,(0 2),如果圆上点P所对应的参数，则点P的坐标是,A,的圆，化为标准方程为,（2，-2）,1,小 结:1、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：相关点点问题（代入法）；参数法；定义法5、求最值,（1）写出定义域（x的范围）（2）消去参数(代入消元，三角变换消元）,1、参数方程化为普通方程的步骤,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。,注意：,2、普通方程化为参数方程的步骤,把含有参数等式代入即可,习题2.1答案,
