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1、第9章 动量矩定理,理 论 力 学,9.2 动 量 矩,9.3 动量矩定理的推导和举例,9.4 刚体定轴转动微分方程,第9章 动量矩定理,9.5 相对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程,动 力 学,9.1 刚体对轴的转动惯量,9.1 刚体对轴的转动惯量,9.1.1 转动惯量的一般公式,如图所示，已知刚体上任一点的质量为mi，与轴z的距离为ri，则各点质量mi与ri2的乘积之和定义为刚体对轴的转动惯量，记为Jz。即,对于质量连续体，可写成积分形式，即,转动惯量是一恒为正值的标量，单位：kgm2。,1.转动惯量,9.1 刚体对轴的转动惯量,9.1.1 转动惯量的一般公式,2.回转半径（或称惯性半
2、径）,刚体对任一轴z的回转半径或惯性半径为,若已知刚体对某轴z的回转半径z和刚体的质量m，则其转动惯量可按下式计算,北京建筑工程学院 唐晓雯,3.简单形体绕质心轴的转动惯量,均质细圆环,均质薄圆盘,均质细长杆,m,m,m,9.1 刚体对轴的转动惯量,9.1.1 转动惯量的一般公式,9.1 刚体对轴的转动惯量,9.1.2 转动惯量的平行移轴定理,刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。即,式中，Jz表示刚体对任一轴z的转动惯量；JzC 为刚体对通过质心C且与z轴平行的轴zC的转动惯量；m 为刚体的质量；d 为z与zC轴之间的距离。
3、,9.1 刚体对轴的转动惯量,例9-1 均质细圆环质量为m1，半径为r，其上固结一质量为m2的均质细杆AB，系统在铅垂面内以角速度，绕过点O并垂直于图面的z轴转动。已知C1AB=60，求系统对z轴的转动惯量。,9.1 刚体对轴的转动惯量,1.圆环对z轴的转动惯量,解：,2.杆对z轴的转动惯量,3.系统对z轴的转动惯量,9.2 动 量 矩,质点Q的动量 mv 对点 O 的矩，定义为质点Q 对点 O 的动量 矩。即,上式投影到各坐标轴可得动量 mv 对各坐标轴的矩。,9.2.1 质点的动量矩,1.对点的动量矩,2.对轴的动量矩,LO=MO(mv)=rmv,类似的可得质点系对各坐标轴的动量矩表达式,
4、质点系内各质点对某点 O 的动量矩的矢量和，称为这质点系对该点 O 的动量主矩或动量矩。用 LO 表示，有,1.对点的动量矩,2.对轴的动量矩,9.2.2 质点系的动量矩,Lx=Mx(mv)=m(yvz zvy),Ly=My(mv)=m(zvx xvz),Lz=Mz(mv)=m(x vy yvx),9.2 动 量 矩,平动刚体对质心的为动量矩LC=0，故由,1.平动刚体,得,9.2.3 刚体的动量矩,即，平动刚体任一点的动量矩，等于将其质量集中在质心时，质心的动量对该点的矩。,9.2 动 量 矩,mi,m,1.平动刚体,9.2.3 刚体的动量矩,9.2 动 量 矩,设刚体以角速度 绕固定轴 z
5、 转动，刚体内任一点A的质量为m，转动半径为ri，则刚体对轴 z 的动量矩为,即,可见，作定轴转动的刚体对转轴的动量矩，等于该刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。,2.定轴转动刚体,9.2 动 量 矩,9.2.3 刚体的动量矩,设平面运动刚体具有质量对称平面Cxy，且该对称平面在固定平面Oxy内运动，则刚体对点O动量矩的动量矩等于对轴 z 的动量矩。,由,其中 LC=JC，最后可得,3.平面运动刚体,可得,13.1 动 量 矩,9.2.3 刚体的动量矩,例9-2 如图所示，系统由滑轮A、B及物块C组成。已知：滑轮A的质量为m1、半径为R、转动惯量为J1，滑轮B的质量为m2、半径为r、转动惯量为
6、J2，且R=2r，物块C 的质量为m3、速度为v，绳与滑轮之间不打滑。求图示瞬时系统对O轴的动量矩。,9.2 动 量 矩,解：,9.2 动 量 矩,滑轮A绕O做定轴转动，其动量矩为：,滑轮B做平面运动，其动量矩为：,物块C做平动，其动量矩为：,所以，系统对O轴的动量矩为：,因为：,9.3 动量矩定理,9.3.1 质点的动量矩定理,右边=,将其两端用质点的矢径r 作矢积，得,左边 可改写为,9.3 动量矩定理,9.3.1 质点的动量矩定理,因而上式第二项等于零，于是得到,当矩心O固定时,9.3 动量矩定理,9.3.1 质点的动量矩定理,将上式投影到固定坐标轴系上，则得,结 论,质点对某固定点（或
7、固定轴）的动量矩对时间的导数,等于作用于质点的力对该点（或该轴）的矩。质点的动量矩定理。,对于质点系有,其中 可分为外力对O点的矩和内力对O点的矩二项,即,而内力对O点的矩,所以有,9.3 动量矩定理,9.3.2 质点系的动量矩定理,9.3 动量矩定理,注意到,所以有,将上式投影到固定坐标轴系上，则得,9.3.2 质点系的动量矩定理,13.2 动量矩定理的推导和举例,结 论,质点系对某固定点（或固定轴）的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的全部外力对该点（或该轴）的矩的矢量和（或代数和）质点系的动量矩定理。,9.3.2 质点系的动量矩定理,北京建筑工程学院 唐晓雯,则,若作用于质点上的力对某
8、定点(或某定轴）的矩为零，则质点对该点（或轴）的动量矩保持不变质点动量矩守恒定律。,1.质点动量矩守恒定理,9.3 动量矩定理,9.3.3 动量矩守恒定理,结 论,9.3 动量矩定理,(1)如果MO(Fi（e)0，则由上面第一式 可知，,LO=常矢量。,(2)如果Mz(Fi（e）)0，则由上面第二式 可知，,Lz=常量。,对定点的动量矩定理,对定轴的动量矩定理,结 论,当作用于质点系的所有外力对某固定点(或固定轴)的主矩始终等于零,则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持不变质点系的动量矩守恒定理。,9.3.3 动量矩守恒定理,2.质点系动量矩守恒定理,9.3 动量矩定理,例9-3 半径为r的定滑
9、轮可绕过质心的固定轴O(z)转动，该轮对轴O(z)的转动惯量为Jz。在滑轮上绕一柔软的绳子，其两端各系一重为W1和W2的重物A和B，且WlW2，如图所示。求此两重物的加速度和滑轮的角加速度。,9.3 动量矩定理,解:,取滑轮、重物 A、B 和绳索为研究对象,受力如图。对滑轮的转轴O 应用动量矩定理，有,系统的动量矩由三部分组成：,系统的外力主矩为,(1),(2),(3),9.3 动量矩定理,由动量矩定理 得,两重物的加速度为：,滑轮的角加速度为：,9.3 动量矩定理,例9-4 如图所示，已知主动力偶矩为M，求：（1）例9-2中物块C 的加速度，（2）AB段绳索的拉力。,9.3 动量矩定理,解：
10、（1）例9-2中物块C 的加速度。,取系统为研究对象，受力如图所示，其外力对轴O的力矩为:,在例9-2中已求出系统的动量矩为：,代入动量矩定理，得,9.3 动量矩定理,解：（1）例9-2中物块C 的加速度。,物块C 的加速度为:,9.3 动量矩定理,解：（2）AB段绳索的拉力。,取滑轮A为研究对象，受力如图所示,其外力对轴O的力矩为,而滑轮A对轴O的动量矩为,据 得AB段绳索的拉力为：,设刚体在主动力 F1,F2,Fn 作用下绕定轴 z 转动，与此同时，轴承上产生了约束力 FA 和 FB。,用 Mz=Mz(F(e)表示作用在刚体上的外力对转轴 z 的主矩(约束力 FA,FB 自动消去)。,刚体
11、对转轴 z 的动量矩 Lz=Jz,于是根据动量矩定理,可得,9.4 刚体定轴转动微分方程,考虑到,则上式可写成,或,即，定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积,等于作用于刚体的外力对转轴的主矩刚体定轴转动微分方程。,9.4 刚体定轴转动微分方程,9.4 刚体定轴转动微分方程,例9-5 已知定滑轮半径为R，转动惯量为JO，带动定滑轮的胶带拉力为FT1和FT2。求定滑轮的角加速度。,解：,（2）根据刚体定轴转动微分方程有,所以,（1）定滑轮受力如图（b）,9.4 刚体定轴转动微分方程,例9-6 图示一质量为m的物理摆(也称复摆)在铅垂平面内摆动，点C为其质心，质心C到悬挂点O的距离为a，摆对悬
12、挂点O的转动惯量为JO。求物理摆微小摆动的周期。,9.4 刚体定轴转动微分方程,解：,（2）物理摆的转动微分方程为：,（1）物理摆受力如图所示,因为是微小摆动，有,所以，上式又可写为,这是简谐运动的标准微分方程，其通解为：,解：,9.4 刚体定轴转动微分方程,式中：0称为角振幅，是初位相，其值可由运动初始条件确定。,复摆的摆动周期为:,9.5 相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程,9.5.1 质点系相对质心的动量矩定理,即质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩相对于质心的动量矩定理。,对于刚体，质心运动定理建立了外力与质心运动的关系；质点系相对质心的
13、动量矩定理建立了外力与刚体在平移参考系内绕质心转动的关系；二者完全确定了刚体一般运动的动力学方程，为研究刚体运动奠定了基础。,9.5.2 刚体平面运动微分方程,9.5 相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程,图示为一具有质量对称面（平行于运动平面）的刚体，在等价于质量对称面的平面力系（F1、F2、Fn）的作用下作平面运动，其质心C位于平面图形S内。,由运动学知识，可将平面运动看作随同质心的平动与绕通过质心而垂直于图平面的轴转动的合成。于是，由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理有：,这两个方程都是刚体平面运动的微分方程。,或者,需要指出的是，若上述投影方程中各式等号的左侧各项均恒等于零，则
14、得到静力学中平面力系的平衡方程，即外力系的主矢、主矩均等于零。因此，质点系动量定理与动量矩定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且还完成了对刚体平面运动的特例 平衡情形的静力学描述。,9.5.2 刚体平面运动微分方程,9.5 相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程,9.5 相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程,例9-7 如图所示，半径为r、质量为m的匀质圆轮在常力偶矩M的作用下沿平直路面作纯滚动，已知轮与路面间的静摩擦因数为fs，试求轮心C 的加速度以及轮受到的实际摩擦力。,9.5 相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程,解：,（1）取轮为研究对象，受力如图所示。,（2）根据刚体平面运动的微分方程，有,（a）,根据运动学关系，建立补充方程,9.5 相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程,解：,将式（d）代入式（a）与（c），可得轮心C的加速度为,轮受到的实际摩擦力为：,（3）讨论,故可得到圆轮沿平直路面作纯滚动的条件为：,由于,
