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1、第六章 机器人动力学,2023/1/16,1,本章主要内容（1）机器人动力学研究概述；（2）拉格朗日动力学方法；（3）操作机的动力学分析；（4）二连杆机构的动力学分析；（5）倒立摆系统的动力学分析；（6）机器人动力学方程一般形式；（7）考虑非刚体效应的动力学方程。,2023/1/16,2023/1/16,6.1 机器人动力学研究概述,6.1 机器人动力学研究概述,本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问题；机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描述机器人动态特性的数学方程；目前主要采用两种理论来建立数学模型：（1）动力学基本理论，
2、包括牛顿欧拉方程（2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程 如同运动学，动力学也有两个相反问题（1）正问题（2）逆问题,2023/1/16,4,动力学的两个相反问题,动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主要用于机器人仿真。动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩，用于机器人实时控制。求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统地运动结果。动力学方程的一般形式：,2023/1/16,5,牛顿欧拉方程,牛顿方程面向平动,欧拉方程面向转动,式中
3、Jc物体转动惯量物体角速度 力矩,2023/1/16,6,6.2 拉格朗日动力学方法,6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程,在分析力学一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学体系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做Lagrange 方程，其基本形式为,其中，是所研究力学体系的广义坐标；是作用在此力学体系上的广义力；T 是系统总动能。分析力学注重的不是力和加速度，而是具有更广泛意义的能量，扩大了坐标的概念。,2023/1/16,7,6.2.2 用于非保守系统的拉格朗日方程,对于同时受到保守力和耗散力作用的、由n个关节部件组成的机械系统，其Lagrange方程应为,其中，为广
4、义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量；为作用在系统上的广义力；是系统总的动能、势能和耗散能，分别为,2023/1/16,8,6.2.3 拉格朗日函数方法,对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函数L可定义为,式中 T系统总的动能；V系统总的势能,若操作机的执行元件控制某个转动变量时，则执行元件的总力矩 应为,若操作机的执行元件控制某个移动变量r时，则施加在运动方向r上的力应为,2023/1/16,9,6.2.4 拉格朗日方程的特点,它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统的自由度数是一致的；理想约束反力不出现在方程组中，因此建立运动方程式时只需分析已知
5、的主动力，而不必分析未知的约束反力；Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量系统的动能和势能，另一个是表征主动力作用的动力学量广义力。因此用Lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。,2023/1/16,10,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,例 6.3 操作机的动力学分析,6.3.1 操作机的动力学模型,加上负载的 操作机,2023/1/16,18,6.3.2 建立拉格朗日
6、函数,（1）求动能T,于是,由于,根据动能的公式,2023/1/16,19,有,则,得总动能,2023/1/16,20,（2）求势能 V,根据势能的公式 式中 为垂直高度，则,（3）求得拉格朗日函数L,2023/1/16,21,6.3.3 广义力的计算,（1）求力矩,绕转动执行元件施加的力矩,则,式中第一项为惯性项，第二项为哥氏项，第三项为重力项。,2023/1/16,22,（2）求移动力,则,式中第一项为惯性项，第二项为向心项，第三项为重力项。,通过线运动执行元件施加的直线力,2023/1/16,23,6.3.4 应用实例分析,例6-1 已知：对于 操作机,对于下面的三种工作情况，试估算力矩
7、。（1）手臂水平，并伸至全长，静止，（2）手臂水平，并伸至全长，以最大速率运动，（3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，,2023/1/16,24,2023/1/16,25,则,2023/1/16,26,则,解：（3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，,由已知条件可得,则有,2023/1/16,27,则,结果分析：,(1)为重力项，通常它远大于其它项；(2)当 时，即当手臂垂直时，可见重力 负载的变化很大；(3)当 很小时，包含 的项趋于零；(4)通常采用只包括重力项和惯性项的公式就可得到 比较满意的结果，即采用如下简化公式,2023/1/16,28,2023/1/16,例6-
8、4：,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,把前面公式进行概况，有：,2023/1/16,6.5 倒立摆系统的动力学分析,2023/1/16,47,二级倒立摆系统平衡控制,2023/1/16,48,除皮带外，全部对象（摆体、小车、导轨等）均视为刚体；各部分的摩擦力（力矩）与相对速度（角速度）成正比；施加在小车上的驱动
9、力与加在功率放大器上的输入电压u 成正比，比例系数设为G0；皮带轮与传送带之间无滑动，传送带无伸长现象；信号与力的传递无延时。,6.5.1 倒立摆系统与基本假设,2023/1/16,49,首先介绍一下均匀杆（长度为2L，质量为m）转动惯量的计算。,当均匀杆绕一端转动时，其转动惯量为：,通常给出杆相对质心的转动惯量：,所以,2023/1/16,50,6.5.2 用牛顿力学的方法来建立动力学模型,（1）小车部分,2023/1/16,51,考虑到小车只有水平方向（X）的运动，故可列写小车运动方程,2023/1/16,52,（2）摆体部分,考虑到摆体为一平面运动体，则其运动可以分解为平动和绕质心转动两
10、部分。于是有,质心加速度质心平动加速度绕质心转动加速度,2023/1/16,53,计算质心加速度,水平分量为：,垂直分量为：,列写摆体动力学方程式（平动部分）,2023/1/16,54,列写摆体动力学方程式（转动部分）,代入，整理可得,2023/1/16,55,考虑到,将代入小车方程（1），可得,列写摆体动力学方程式（转动部分）,2023/1/16,56,二方程联立，可得矩阵形式,对应于机器人动力学一般形式,2023/1/16,57,6.5.3 用拉格朗日方程法建立动力学模型,应用非保守系统的拉格朗日方程，则小车和摆体的动能、势能和耗散能分别为：,2023/1/16,58,当 时，当 时，,于
11、是有,应用非保守机械系统的拉格朗日方程公式,2023/1/16,59,当 时，即对小车而言,2023/1/16,60,当 时，即对摆体而言,2023/1/16,61,于是可以得到与6.4.2相同的结果。,得到单级倒立摆的动力学方程为,当考虑在不稳定平衡点附近的线性化时，可令,于是可得简化动力学方程,2023/1/16,62,6.5.4 用拉格朗日函数法建立动力学模型,小车部分,摆体部分,则,2023/1/16,63,对于小车（r）而言（见6.2.3节）,右式：,左式：,得第一个方程,2023/1/16,64,对于摆（）而言,得第二个方程,写成矩阵形式，便得到与前两种方法基本一样的结果。,右式：
12、,左式,2023/1/16,65,平衡点附近简化形式,三种算法结果对比,6.4.2 应用牛顿方程推导，写成矢量形式得,6.4.3 应用非保守机械系统的拉格朗日方程公式,6.4.4 应用拉格朗日函数法求解,2023/1/16,66,差异来自以下两点,2 近似线性化过程（当 很小时）,2023/1/16,67,2023/1/16,6.6 机器人动力学方程的一般形式,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,2023/1/16,6.7 考虑非刚体效应的动力学方程,需要指出的是，前面推导的动力学方程不能包含全部作用于操作臂上
13、的力，只是包含了刚体力学中的那些力，而没有包含摩擦力。然而，摩擦力也是一种非常重要的力，所有机构都必然受到摩擦力的影响。在目前机器人的传动机构中，例如被普遍采用的齿轮传动机构中，由于摩擦力产生的力是相当大的，即在典型工况下大约为操作臂驱动力矩的25左右。,2023/1/16,76,为了使动力学方程能够反映实际的工况，建立机器人的摩擦力模型是非常必要的。其中，最简单的摩擦力模型就是粘性摩擦，摩擦力矩与关节运动速度成正比，因此有：式中，v是粘性摩擦系数。另一个摩擦力模型是库仑摩擦，它是一个常数，符号取决于关节速度，即：式中，c是库仑摩擦系数。当=0时，c值一般取为1，通常称为静摩擦系数；当 不等于
14、0时，c值小于1，称为动摩擦系数。,2023/1/16,77,对某个操作臂来说，采用粘性摩擦模型还是库仑摩擦模型是一个比较复杂的问题，这与润滑情况及其它影响因素有关。比较合理的模型是二者兼顾，即：在许多操作臂关节中，摩擦力也与关节位置有关。主要原因是齿轮失圆，齿轮的偏心将会导致摩擦力随关节位置而变化，因此一个比较复杂的摩擦力模型为：,2023/1/16,78,这样，考虑摩擦力的刚体动力学模型为：上述建立的是考虑刚体效应的刚体动力学模型。对于柔性臂，容易产生共振和其他动态现象。这些影响因素的建模十分复杂。,2023/1/16,79,主要参考文献,陈哲，吉熙章编著，机器人技术基础，机械工业出版社，北京，1997.10蔡自兴，机器人学，清华大学出版社，北京，2000.9,2023/1/16,80,The End of Chapter 6,2023/1/16,81,
