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1、第6章 刚体动力学,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？,6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程,一.力矩,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,力 F 对z 轴的力矩,力矩取决于力的大小、方向和作用点,在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向,质点获得加速度,改变质点的运动状态,？,h,A,(1)力对点的力矩,O.,(2)力对定轴力矩的矢量形式,力矩的方向由右螺旋法则确定,(3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴 的力矩,讨论,例,已知棒长 L,质
2、量 M，在摩擦系数为 的桌面转动(如图),解,根据力矩,dx,例如,在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算,求 摩擦力对y轴的力矩,刚体的转动定律,作用在刚体上所有的外力对定轴 z 轴的力矩的代数和,刚体对 z 轴的转动惯量,(1)M 正比于，力矩越大，刚体的 越大,(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同,二.刚体对定轴的转动定律,实验证明,当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动,当存在 M 时，与 M 成正比，而与J 成反比,(3)与牛顿定律比较：,讨论,在国际单位中 k=1,O,理论推证,取一质量元,切线方向,对固定轴的力矩,对所有质元,合内力矩=0,合外力矩 M,刚体的转动惯
3、量 J,三.转动惯量,定义式,质量不连续分布,质量连续分布,计算转动惯量的三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置,(1)J 与刚体的总质量有关,例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,(2)J 与质量分布有关,例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,O,L,x,dx,M,z,L,O,x,dx,M,四.平行轴定理及垂直轴定理,z,L,C,M,z,z,(3)J 与转轴的位置有关,1.平行轴定理,:刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心的轴,:两轴间垂直距离,例 均匀细棒的转动惯量,2.(
4、薄板)垂直轴定理,M,L,例如求对圆盘的一条直径的转动惯量,已知,x,y轴在薄板内；z 轴垂直薄板。,(1)飞轮的角加速度,(2)如以重量P=98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解(1),(2),两者区别,五.转动定律的应用举例,例,求,一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图),一根长为 l，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置,求 它由此下摆 角时的,O,l,m,C,x,解,取一质元,重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩,
5、dm,例,圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止,解,例,求 到圆盘静止所需时间,取一质元,由转动定律,摩擦力矩,例 一个刚体系统，如图所示，,已知，转动惯量,，现有一水平力作用于距轴为 l 处,求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。,解,设轴对棒的作用力为 N,由质心运动定理,打击中心,质心运动定理与转动定律联用,质点系,由转动定律,6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,一.转动动能,z,O,设系统包括有 N 个质量元,其动能为,各质量元速度不同，但角速度相同,刚体的总动能,P,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半,结论,取,二.力矩的功,O,功的定义,力矩作
6、功的微分形式,对一有限过程,若 M=C,(积分形式）,力的累积过程力矩的空间累积效应,.P,三.转动动能定理,力矩功的效果,对于一有限过程,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理,(2)力矩的功就是力的功。,(3)内力矩作功之和为零。,讨论,(1)合力矩的功,刚体的机械能,刚体重力势能,刚体的机械能,质心的势能,刚体的机械能守恒,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立,例 一根长为 l，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的,此
7、题也可用机械能守恒定律方便求解,图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t，,例,解,分析（机械能）：,求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。,若滑轮质量不可忽略，怎样？,机械能守恒,一.质点动量矩(角动量)定理和动量矩守恒定律,1.质点的动量矩(对O点),其大小,(1)质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关,特例：质
8、点作圆周运动,6.3 动量矩和动量矩守恒定律,说明,O,S,惯性参照系,(2)当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩,(3)质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩,例,一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1、d2、d3,求 此时刻质点对三个参考点的动量矩,解,(质点动量矩定理的积分形式),(质点动量矩定理的微分形式),质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量,2.质点的动量矩定理,说明,(1)冲量矩是质点动量矩变化的原因,(2)质点动量矩的变
9、化是力矩对时间的积累结果,3.质点动量矩守恒定律,质点动量矩守恒定律,(2)通常对有心力：,例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律,(1)动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用,讨论,行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积,过O点,M=0,动量矩守恒,当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一,求 角及着陆滑行的初速度多大？,解,引力场（有心力）,质点的动量矩守恒,系统的机械能守恒,例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M、半径为 R 的行星，,质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面,二.质
10、点系的动量矩定理和动量矩守恒定律,质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和,记质点系质心 C 的位置矢量为,，速度为,。对第 i 个质,，则,点，设其相对于质心的位置矢量为,，速度为,1.质点系的动量矩,(1)质点系的动量矩(角动量)可分为两项,第一项：只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度,轨道角动量,第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和,自旋角动量,说明,(2)质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心 处的一个质点对于参考点的角动量。它反映了整个质点 系绕参考点的旋转运动,(3)质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。与质心运动无
11、关。它只代表系统的内禀性质,2.质点系的动量矩定理,微分形式,积分形式,质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量,质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩,说明,3.质点系动量矩守恒定律,对质点系,三.刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,1.刚体定轴转动的动量矩,刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩都具有相同的方向,O,(所有质元的动量矩之和),如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动量矩守恒,如,2.刚体定轴转动的动量矩定理,由转动定律,（动量矩定理积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量,(1)变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度相同，
12、则变形体对该轴的动量矩,说明,3.刚体定轴转动的动量矩守恒定律,对定轴转动刚体,当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒,如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？,一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动,O,r,昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，动量矩守恒,例,解,求 昆虫沿杆爬行的速度。,使杆以匀角速度转动,代入得,转动定律,其中,四.进动,高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动,陀螺的动量矩近似为,动量矩定理,当,时,则,只改变方向，不改变大小(进动),进动角速度,而且,所以,以上只是近似讨论，只适用高速自转，即,动量矩定理,返回,返回,返回,
