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1、第,17,章,一元二次方程,17.1,一元二次方程,学习目标,1.,理解一元二次方程的概念,.,（难点）,2.,根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数,.,3.,理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问,题,.(,重点）,导入新课,复习引入,1.,下列式子哪些是方程？,2+6=8,2,x,+3,没有未知数,代数式,5,x,+6=22,x,+3,y,=8,一元一次方程,二元一次方程,x,-5,18,4,?,2,?,9,x,不等式,分式方程,2.,什么叫方程？我们学过哪些方程？,含有未知数的等式叫作方程,.,我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程,（组）及,分式方程，,其中前两种方程是,整式
2、方程,.,想一想：什么叫,3.,什么叫一元一次方程？,一元二次方程呢？,含有一个未知数，且未知数的次数是,1,的,整,式方程,叫作一元一次方程,.,讲授新课,一,一元二次方程的概念,问题,1,如图，已知一矩形的长为,2,00cm,宽,1,50cm.,现在,矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的,四分之三,.,求挖去的圆的半径,x,cm,应满足的方程（其中,取,3,）,.,1,50cm,解：设由于圆的半径为,x,cm,，,则它的面积为,3,x,2,cm,2,.,根据题意有，,2,00cm,该方程中未知数,的个数和最高次,数各是多少？,3,200,?,150,?,3,x,?,200,?,
3、150,?,4,整理，得,x,2,?,2500,?,0,2,问题,3,在一块宽,20m,、长,32m,的矩形空地上，修筑宽,相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横,向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成,2,小花坛,.,如图要使花坛的总面积为,570,m,，问小路的,宽应为多少？,20,32,x,思考：,1.,若设小路的宽是,x,m,，那么,2,，纵,横向小路的面,_m,32,x,2,向小路的面积是,m,2,20,x,2,.,2,两者重叠的面积是,m,2,x,32,20,x,2.,由于花坛的总面积是,570m,2,.,你能根据题意，列出方,程吗？,32,20,(32,x,2,20,
4、x,),2,x,2,=570,整理以上方程可得：,x,2,-36,x,35=0,想一想：,还有其他的列法吗？试说明原因,.,32-2,x,(20-,x,)(32-2,x,)=570,20-,x,20,32,观察与思考,方程、都不是一元一次方程,.,那么这两个,方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同,特点呢？,x,?,2500,?,0,25,x,?,50,x,?,11,?,0,x,2,-36,x,35=0,2,2,特点,:,都是整式方程,;,只含一个未知数,;,未知数的最高次数是,2,.,知识要点,?,一元二次方程的概念,只含有,一个未知数,x,的整式方程，并且都可以化为,2,ax,+,
5、bx,+,c,=0(,a,b,c,为常数,a,0),的形式，这样的方程叫,作一元二次方程,.,?,一元二次方程的一般形式是,ax,2,+,bx,+,c,=,0,(,a,b,c,为常数,a,0),2,ax,称为二次项,a,称为二次项系数,.,b,称为一次项系数,.,bx,称为一次项,c,称为常数项,.,想一想,为什么一般形式中,ax,2,+,bx,+,c,=0,要限制,a,0,，,b,、,c,可以为零吗？,当,a,=0,时,当,a,0,，,b,=0,时,，,当,a,0,，,c,=0,时,，,当,a,0,，,b,=,c,=0,时,，,bx,c,=0,ax,2,c,=0,ax,2,bx,=0,ax,
6、2,=0,总结：只要满足,a,0,，,b,，,c,可以为,任意实数,.,典例精析,含两个未知数,例,1,下列选项中，关于,x,的一元二次方程的是（,C,）,1,2,2,不是整式方程,A.,x,?,2,?,0,B.,3,x,?,5,xy,?,y,?,0,x,2,C.,(,x,?,1)(,x,?,2),?,0,D.,ax,?,bx,?,c,?,0,2,化简整理成,少了限制条件,a,0,x,2,-3,x,+2=0,提示,判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不,是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断,.,例,2:,a,为何值时，下列方程为一元二次方程？,(1),ax,2,x,=2,x,2,(2
7、)(,a,1),x,|,a,|,+1,2,x,7=0.,解：,(1),将方程式转化为一般形式，得,(,a,-2),x,2,-,x,=0,所以当,a,-,20,，即,a,2,时，原方程是一元二次方程,.,(2),由,a,+1=2,，且,a,-,1 0,知，当,a,=-1,时，原方,程是一元二次方程,.,方法点拨：,用一元二次方程的定义求字母的值的方,法：根据未知数的最高次数等于,2,，列出关于某个字,母的方程，再排除使二次项系数等于,0,的字母的值,例,3,：,将方程,3,x,(,x,-1)=5(,x,+2),化为一般形式，并分别指,出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数,.,解：,去括号，
8、得,3,x,2,-3,x,=5,x,+10.,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式,3,x,2,-8,x,-10=0.,其中二次项是,3,x,2,系数是,3,；一次项是,-8,x,系数是,-8,；常数项是,-10.,注意,系数和项均包含前面的符号,.,二,一元二次方程的根,?,一元二次方程的根,使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫,作一元二次方程的解（又叫作根）,.,练一练：,下面哪些数是方程,x,2,x,6=0,的解,?,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,3,和,-2.,解：,你注意到了吗？一元,二次方程可能不止一,个根,.,例,4,：已知,a,是方程,x,2,+,2,x
9、,2,=,0,的一个实数根,求,2,a,2,+,4,a+,2017,的值,.,解：由题意得,a,?,2,a,?,2,?,0,，,即,a,?,2,a,?,2.,?,2,a,?,4,a,?,2017,?,2(,a,?,2,a,),?,2017,?,2,?,2,?,2017,2,2,2,2,?,2021.,方法点拨：,求代数式的值，先把已知解代入，再注意,观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数,式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值,随堂练习,1.,下列哪些是一元二次方程？,3,x,+2=5,x,-2,2,x,=0,(,x,+3)(2,x,-4)=,x,2,2,3,y,=(3,y,+1
10、)(,y,-2),x,2,=,x,3,+,x,2,-1,2,3,x,=5,x,-1,2.,填空：,方程,2,2,一般形式,二次项系数,一次项系数,常数项,x,?,3,x,?,2,?,0,x,?,3,x,?,2,?,0,3,y,?,1,?,2,3,y,4,x,?,5,2,1,3,4,3,3,-2,1,-5,2,3,y,2,?,2,3,y,?,1,?,0,?,2,3,0,-2,4,x,?,5,?,0,2,(2,?,x,)(3,x,?,4),?,3,3,x,2,?,2,x,?,5,?,0,-5,3.,请根据题意列出方程,并化为一般形式,.,1),有一块矩形铁皮,长,100cm,宽,50cm,在它的四
11、角各切,去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个,无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为,3600cm,2,那么,铁皮各角应切去多大的正方形？,解：设切去的正方形的边长为,x,cm,则盒底的长为,（,100-2,x,)cm,宽为,(50-2,x,)cm,根据方盒的底,x,2,面积为,3600cm,得,3600cm,2,100cm,50cm,(,100,?,2,x,)(,50,?,2,x,),?,3600,化简，得,x,?,75,x,?,350,?,0,2,2,）,要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之,间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划,安排,7,天,每天安排,4,场比
12、赛,比赛组织者应邀请多少,个队参加比赛,?,解：根据题意，列方程：,1,x,(,x,?,1),?,28.,2,化简，得：,x,?,x,?,56,?,0.,2,4.,已知关于,x,的一元二次方程,x,2,+ax+a,=0,的一个根,是,3,，求,a,的值,.,解：由题意把,x,=3,代入方程,x,2,+ax+a,=0,，得,3,2,+3,a,+,a,=0,9+4,a,=0,4,a,=-9,9,?,a,?,?,4,5.,若关于,x,的一元二次方程,（,m,+2),x,2,+5,x,+,m,2,-4=0,有一个根为,0,，求,m,的值,.,2,解：将,x,=0,代入方程,m,-4=0,，,解得,m,
13、=,2.,m,+2 0,，,m,-2,，,二次项系数不,为零不容忽视,综上所述,：,m,=2.,拓广探索,已知关于,x,的一元二次方程,ax,2,+bx+c=,0,(,a,0),的,一个根为,1,求,a+b+c,的值,.,解：由题意得,a,?,1,?,b,?,1,?,c,?,0,，,即,a,?,b,?,c,?,0.,思考,:,1.,若,a+b+c,=0,你能通过观察,求出方程,ax,2,+bx+c,=0(,a,0),的一个根吗,?,2,a,?,b,?,c,?,0,，,解：由题意得,即,a,?,1,?,b,?,1,?,c,?,0.,2,方程,ax,2,+bx+c,=0(,a,0),的一个根是,1.,2.,若,a,-,b,+,c=,0,4,a,+2,b,+,c,=0,，你能通过观察,求出方,程,ax,2,+bx+c,=0(,a,0),的一个根吗,?,x,=2,或,x,=-1,课堂小结,概,念,是整式方程；,含一个未知数；,最高次数是,2,.,2,ax,+,bx,+,c,=0(,a,0),一,元,二,次,方,程,一般形,式,其中,(,a,0),是一元二次,方程的必要条件；,使方程左右两边相等的,未知数的值,.,根,
