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1、2.5 投影变换,2.5.1 投影变换的目的和方法 2.5.2 换面法 2.5.3 换面法应用举例,2.5.1 投影变换的目的和方法,实长,实形,一般位置问题 不反映实长、实形、倾角，无积聚性，垂直时不反映直角。解题较为烦琐。特殊位置问题 反映实长、实形、倾角，有积聚性，垂直时反映直角。解题较为方便。,投影变换 改变空间几何元素与投影面的相对位置，把一般位置的问题转化为特殊位置的问题来解决。,常用投影变换方法：,换面法,旋转法,几何元素不动，变换投影面,投影面不动，旋转几何元素,2.5.2 换面法,基本原理与方法,几何元素不动，变换投影面 换面法,如何设立新投影面？如何求新投影？,要解决两个问
2、题,如何设立新投影面,新投影面的设立原则：一次只能变换一个投影面 必须和原有投影面之一垂直 必须和空间几何元素处于有利于解题的位置（平行或垂直）,旧投影面 旧投影不变投影面 不变投影新投影面 新投影 a1,b1;a1,b1,旧投影轴 X,X,投影命名及标注,旧投影面,新投影面,不变投影面,X1,新投影轴 X1,ax,点的一次变换,如何求新投影 点的投影变换规律,A,H,a,V,X,a,a1,X1,ax1,ax,H,a,V,X,a,a1,X1,ax1,a1a X1 a1ax1=aax,旧投影面,新投影面,不变投影面,ax,点的一次变换,如何求新投影 点的投影变换规律,A,H,a,V,X,a,a1
3、,X1,ax1,ax,H,a,V,X,a,a1,X1,ax1,旧投影面,新投影面,不变投影面,新投影到不变投影连线垂直于新投影轴；新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。,X,V,H,a,ax,a,a1,ax1,H,V1,X1,投影图作法,不变,旧,新,a,a,a1,ax1,a1,a,X1,X,V,H,V,H1,V,H,A,a,ax,X1,X,换H面时的作法,a1a X1 a1ax1=aax,不变,旧,新,旧投影面,新投影面,不变投影面,一次变换基本作图,b1,a1,将一般位置线变为投影面平行线,a,b,a,b,X1,X,AB,X,V,X1,a,a,H,b,b,A,B,a1(b1),
4、a,b,a,b,a1(b1),X,X1,将投影面平行线变为投影面垂直线,H1,a,a,b,d,b,d,c,c,X,X1,a1(d1),b1,c1,将一般位置面变为投影面垂直面,b1,a1,X,X1,a,a,b,b,c,c,c1,实 形,将投影面垂直面变为投影面平行面,a,b,b,k,b1,m1,a1,k,m,k1,例 过点K作直线与直线AB垂直相交。,a,m,c1,例 完成矩形ABCD的投影。,a,a,b,b,c,b1,a1,d,d1,c,d,k,k,例 求直线和平面的交点。,a,a,b,b,e,d,e,f,f,d,d1,e1,k1,f1,b1,a1,l1,d,例 求点K到平面ABC的距离。,
5、k,l,l,d,a,a,b,b,c,c,k,a1d1,b1,c1,k1,L,L,k,d,例 已知点K到平面ABC的距离为L，求K点的正面投影。,a,a,b,b,c,c,l,l,k,a1d1,l1,b1,c1,d,L,k1,二次变换基本作图,H2,点的二次变换,A,H,a,V,a,a1,X1,ax1,ax,旧投影面,新投影面,不变投影面,X,X2,a2,V1,ax2,不变投影面,新投影面,旧投影面,X,V,H,X1,H,V1,V1,H2,X2,a,a,a1,a2,旧,点的二次变换,不变,新,旧,不变,新,旧投影面,新投影面,不变投影面,不变投影面,新投影面,旧投影面,a1,a2 b2,A,把一般
6、位置线变为投影面垂直线,H,a,V,a,X1,X,X2,V1,B,b,b1,b,一般位置线,“正平线”（实长，）,“铅垂线”,X,V,H,H,V1,V1,H2,X2,X1,a,a,a1,a2(b2),b,b,b1,一般位置线,“正平线”（实长，）,“铅垂线”,X,a,a1,a2,b,b,b1,c1,c2,b2,c,c,实 形,a,把一般位置面变为投影面平行面,X1,X2,把一般位置面变为投影面平行面,2.5.3 换面法应用举例,k1,例 求点K到直线AB的距离。,a1,b1,l1,k2,l,l,a2(b2),l2,a,b,b,k,a,k,L,m2,a2(b2),c2(d2),n2,例 求平行二
7、直线AB、CD之间的距离。,a,b,b,b1,c1,c,c,a,d,d,a1,d1,m1,n1,n,m,m,n,L,c,例 已知平行二直线AB、CD之间的距离为15，完成CD的水平投影。,a,b,b,c,a,d,d,a1,c 2(d 2),b1,c1,d1,a 2(b 2),R15,30,c 1,例：等腰三角形ABC，底边AB，平面的角为30，高的实长为L，补全其投影。有几解？,c,a,b,b,c,a,d,d,a 1(b 1),L,b 1,e 1,f 1,例 求交叉二直线AB、CD的公垂线。,e2,f2,E,F,c,2,c,a,b,b,c,a,d,d,c 1,d 1,a 1,e,f,e,f,a
8、2(b2),d2,c2,f2,e2,实 长,例 求平面AMN和BMN间的夹角。,例 求直线MN和平面ABC的夹角。,另一思路,k2,k 1,k,k,例 在平面ABC上找一点K，使其距AC 10，距BC 8。,c,a,b,b,c,a,c 1,a 1,b 1,a2,c2,b2,2.6 立 体,2.6.1 平面立体及其表面上的点和线 2.6.2 曲面立体及其表面上的点和线,立体是由一系列表面围成的实体。根据表面的性质的不同，立体分为平面立体和曲面立体两类。,2.6.1 平面立体及其表面上的线和点,棱 柱,棱 锥,完全由平面围成的立体称为平面立体。,2.6.1 平面立体及其表面上的线和点,安放位置：应
9、尽可能使立体的主要表面平行于投影面。可见性的判别：可见轮廓线画成实线，不可见轮廓线画成虚线。注意三等关系：长对正 高平齐 宽相等,平面立体的投影,正六棱柱的投影,正六棱柱的投影,正五棱柱的投影,斜三棱柱的投影,正三棱锥的投影,s,b,s,c,s,a,a,b,c,b,a(c),正三棱锥的投影,立体表面的位置分析,底 面ABC 水平面左侧面SAB 一般位置面右侧面SBC 一般位置面后侧面SAC 侧垂面,b,s,c,a,a,b,c,b,a(c),s,s,平面立体表面取点、线,m,例 正三棱锥表面取点、线,(m),m,e,e,(e),(f),f,f,k,m,l,k,m,l,l,k,m,1,2,1,2,
10、1,2,平面体表面上取点、线实质上就是平面上取点、线。,小结：,平面体表面上点、线的可见性与所在表面相同。,积聚性法,辅助线法,例 正三棱柱表面取点,例 三棱锥表面取点,圆 柱,圆 锥,球,由曲面围成或曲面加平面共同围成的形体称为曲面体。常见的曲面立体有圆柱、圆锥、球和圆环等。,2.6.2 曲面立体及其表面上的线和点,母线上任一点的运动轨迹都是垂直于回转轴线的圆。纬圆,圆 柱,圆柱的形成,回转面 由母线绕一轴线旋转所得到的曲面。,圆柱面的母线和回转轴线平行，故圆柱面所有素线都互相平行。,纬圆,回转轴线,母线,素线,圆柱的投影,一般使圆柱的回转轴线垂直于投影面。,圆柱的投影分析,上、下底面,带有
11、积聚性,周围圆柱面,圆柱的轮廓线对应关系,正面投影轮廓线,侧面投影轮廓线,圆柱的可见性分析,水平投影,上底面可见，下底面不可见。,前半个圆柱面可见，后半个圆柱面不可见。,正面投影,侧面投影,左半个圆柱面可见，右半个圆柱面不可见。,圆柱表面上取点、线,a,a,a,(b),b,b,c,d,c,d,(d),c,(e),f,(f),e,f,e,c,(b),a(b),1,2,a,b,1,2,c,(a),1,2,c,回转轴线,纬圆,圆锥面的母线和回转轴线相交，故圆锥面的所有素线都相交于锥顶。,圆 锥,圆锥的形成,素线,母线,圆锥的投影,一般使圆锥的回转轴线垂直于投影面。,圆锥的投影分析,底 面,没有积聚性
12、,周围圆锥面,圆锥的轮廓线对应关系,正面投影轮廓线,s,a,b,a,b,s,s,a,b,侧面投影轮廓线,s,c,d,c,d,s,s,c,d,圆锥的可见性分析,水平投影,上部圆锥面可见，下底面不可见。,正面投影,前半个圆锥面可见，后半个圆锥面不可见。,侧面投影,左半个圆锥面可见，右半个圆锥面不可见。,圆锥表面取点、线,m,m,m,n,n,n,s,a,b,c,d,a,b,c,d,s,s,a,c,b,d,素线,素线法,S,M,N,m,s,s,s,m,m,n,n,n,纬圆,纬圆法,m,s,s,s,m,m,纬圆,纬圆法,m,s,s,s,m,m,(a),(b),a,a,b,b,(a),c,(b),a,1,
13、a,b,1,c,1,c,b,(a),c,(b),a,1,2,a,b,1,2,c,1,2,c,b,球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转得到的。,球,球的形成,球的投影,球的轮廓线对应关系,水平投影,球的轮廓线对应关系,正面投影,球的轮廓线对应关系,侧面投影,球的可见性分析,上半个球可见，下半个球不可见。,水平投影,球的可见性分析,前半个球可见，后半个球不可见。,正面投影,球的可见性分析,左半个球可见，右半个球不可见。,侧面投影,球表面取点、线,n,m,m,(n),m,(n),纬圆法,纬圆法,m,m,(m),纬圆法,m,m,(m),纬圆法,m,m,(m),a,c,b,a,a,b,c,c,b,
