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1、一、直角坐标系中的平面图形的面积,第六章定积分的应用,第二节平面图形的面积,二、极坐标系中平面图形的面积,一、直角坐标系中的平面图形的面积,如果 f(x)在 a,b 上有正有负，,那么它的面积 A 的微元应是以|f(x)|为高，,dx 为底的矩形面积，,dA=|f(x)|dx.,于是，总有,即,例 1求由曲线 y=x3 与直线 x=-1，x=2 及 x 轴所围成的平面图形的面积,解由上述公式得,也可以先画出 y=x3 与直线 x=-1，x=2 及 x 轴所围成的平面图形，如图所示，,就不必用公式了.,则由定积分的几何意义知,由两条曲线 y=f(x)、y=g(x),与两条直线 x=a，x=b 所
2、围成的平面图形的面积,y,x,a,b,O,x,y=f(x),x+dx,y=g(x),例 2求 y=sinx，y=cos x，,解由上述公式知,所围成的平面图形的面积.,也可以先作出该平面图形的草图，,如图，,就不必用公式了.,则直接可得,例 3求出抛物线 y2=2x 与直线 y=x 4 所围成的平面图形的面积.,解作草图，如图，,求抛物线与直线的交点，,即解方程组,得交点 A(2,-2)和 B(8,4).,(8,4),(2,-2),于是,如果选择 x 为积分变量，,那么它的表达式就比上式复杂.,如果选择 y 作积分变量，y-2,4，,x,y,A,B,(8,4),(2,-2),-2,4,y,y=
3、x-4,y2=2x,y+dy,任取一个子区间 y,y+dy-2,4，,则在 y,y+dy 上的面积微元是,例 4求椭圆 x=a cos t，y=b sin t 的面积，其中 a 0，b 0.,解因为图形关于 x 轴、y 轴对称，,所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍，,把 x=a cos t，y=b sin t代入上述积分式中，,上、下限也要相应地变换(满足积分变量 t).,由定积分的换元公式得,即,二、极坐标系中平面图形的面积,由曲线 r=r()及两条半直线=a，=b(a b),所围成的图形称为曲边扇形.,求曲边扇形的面积 A，,积分变量为，a,b，,下面应用微元法找面积 A 的微元 dA，,任取一个子区间,+d a,b，,用 处的极径 r()为半径，以 d 为,圆心角的圆扇形的面积作为面积微元，,如图中斜线部分的面积.,即,d,于是,例 5求心形线 r=a(1+cosq)所围成的图形的面积(a 0).,解作出它的草图.,得,由上述公式，再利用图形的对称性，,例 6求由两条曲线 r=3cosq 和 r=1+cosq 所围成的公共部分的面积.,解作出它的草图，,得两曲线的交点,考虑到图形的对称性，得面积,再求两条曲线的交点，,解方程组,
