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1、习题课 竖直面内的圆周运动,学习目标 1.了解竖直面上圆周运动的两种基本模型.2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析.3.学会分析圆周运动问题的一般方法.,如图1所示，长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内做圆周运动.试分析：(1)当小球在最低点A的速度为v1时，求绳的拉力FT1.,(2)当小球在最高点B的速度为v2时，求绳的拉力FT2.,一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型,答案,图1,(3)小球过最高点的最小速度是多大？,答案,答案由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，,(4)假设绳拉球过最高点时最小速度小于，则会产生什么样的后果？请总结绳拉球过最高点的条件.
2、,答案,此时，重力mg的一部分提供向心力，剩余的另一部分力会使小球向下偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱离圆周轨道了.,(5)有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r，质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A的速度应满足什么条件？,答案,当vv0时，小球刚好能够通过最高点，当vv0时，小球能够通过最高点.,轻绳模型(如图2所示)的最高点问题1.绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力).2.在最高点的动力学方程,图2,例1一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，水的质量m0.5 kg，水的重心到转轴的距
3、离l50 cm.(g取10 m/s2)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字),解析,答案,答案 2.24 m/s,图3,解析以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.,(2)若在最高点水桶的速率v3 m/s，求水对桶底的压力大小.,解析,答案,答案4 N,代入数据可得：FN4 N.由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN4 N.,A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为D.小球过最低点时绳子的拉力一定
4、大于小球重力,针对训练(多选)如图4所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是,解析,答案,图4,解析小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v，C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确.,二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型,长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直面内做圆周运动.(如图
5、5)(1)当小球在最高点B的速度为v1 时，求杆对球的作用力.,图5,答案,(2)杆拉球过最高点的最小速度为多少？,答案,答案由(1)中的分析可知，杆拉球过最高点的最小速度为零.,(3)试分析光滑圆管竖直轨道中，小球过最高点时受管壁的作用力与速度的关系？,答案,答案设管壁对球的作用力向下，为FN.,细杆和管形轨道模型1.最高点的最小速度如图6所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v0，此时小球受到的支持力FNmg.,图6,2.小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况(1)杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v
6、 增大而增大.(2)球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F0.(3)杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小.3.小球能过最高点的条件：v0.,例2长L0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图7所示.在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g10 m/s2).(1)A的速率为1 m/s；,解析,答案,答案16 N,图7,解析以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，,即A受到杆的支持力为16 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N.,(2)A的速率为4 m/s.,答案,答案44 N,
7、解析,即A受到杆的拉力为44 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N.,例3(多选)如图8所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则A.v的最小值为B.v若增大，球所需的向心力也增大C.当v由 逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D.当v由 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大,解析,答案,图8,解析由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有 v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当 时，圆管受
8、力为零，故v由 逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确.故选B、D.,1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图9所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/s2)A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N,
9、1,2,3,4,解析,答案,图9,1,2,3,4,2.(轨道约束下小球的运动)(多选)如图10所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是A.小球对圆环的压力大小等于mgB.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力C.小球的线速度大小等于D.小球的向心加速度大小等于g,解析,答案,图10,1,2,3,4,解析因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，,1,2,3,4,A.小球通过最高点时
10、的最小速度是B.小球通过最高点时的最小速度为零C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力,3.(球在管形轨道中的运动)(多选)如图11所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是,答案,解析,图11,1,2,3,4,解析小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B、D正确.,1,2,3,4,4.(杆拉球在竖直面内的运动)质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动.(g10 m/s2)求：(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？,答案,答案 3 m/s,解析,1,2,3,4,答案,答案 6 N，方向竖直向上1.5 N，方向竖直向下,(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力.,解析,由牛顿第三定律得：F1F1，解得F16 N，方向竖直向上.,由牛顿第三定律得：F2F2，解得：F21.5 N，方向竖直向下.,1,2,3,4,
