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1、单元思维导图,第三课时 特殊平行四边形(二),第二课时 特殊平行四边形(一),第一课时 多边形与平行四边形,第五单元 四边形,第 23 课时多边形与平行四边形,第五单元四边形,考点一多边形,1.2019济宁如图23-1,该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是.,图23-1,140,2.2019广东一个多边形的内角和是1080,这个多边形的边数是.3.正n边形的每个内角为120,这个正n边形的对角线条数为条.,9,8,知识梳理,(n-2)180,轴,360,3,中心,考点二平行四边形的性质,B,1.平行四边形的对角线一定具有的性质是()A.相等B.互相平分C.互相垂直D.互相垂直且相等2.20
2、18常州如图23-2,在ABCD中,A=70,DC=DB,则CDB=.,图23-2,40,3.2018临沂如图23-3,在ABCD中,AB=10,AD=6,ACBC.则BD=.,图23-3,知识梳理,平行,平行四边形的对边且,对角,对角线.,相等,相等,互相平分,考点三平行四边形的判定,1.2018玉林在四边形ABCD中:ABCD;ADBC;AB=CD;AD=BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有()A.3种B.4种C.5种D.6种,B,2.2019威海如图23-4,E是ABCD的边AD延长线上一点,连结BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判定四边形B
3、CED为平行四边形的是()A.ABD=DCEB.DF=CFC.AEB=BCDD.AEC=CBD,图23-4,C,知识梳理,相等,相等,互相平分,考向一平行四边形的判定,图23-5,例1 如图23-5,已知ABC,分别以ABC的三边为边在ABC的同侧作三个等边三角形:ABE,BCD,ACF.求证:四边形DEAF是平行四边形.,【方法点析】判定一个四边形是平行四边形时,应根据条件选择合适的判定定理,当四边形中涉及中点连线时,可考虑应用三角形的中位线定理,由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明.,|考向精练|,如图23-6,已知在四边形ABCD中,AB=CD,BAE=FCD,AEF=EFC.
4、求证:四边形AECF是平行四边形.,图23-6,考向二平行四边形性质与判定的联合应用,图23-7,解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,AB=CD,ABCD,DCF=BFC.又CE平分BCD,BCF=FCD,BFC=BCF,BF=BC=AD.AD=2AB,BF=2AB,AB=AF=CD.又ABCD,四边形ACDF是平行四边形.,图23-7,|考向精练|,图23-8,2019本溪如图23-8,在四边形ABCD中,ABCD,ADCD,B=45,延长CD到点E,使DE=DA,连结AE.(1)求证:AE=BC;(2)若AB=3,CD=1,求四边形ABCE的面积.,解:(1)证明:AD
5、CD,ABCD,ADE=DAB=90.AD=DE,E=DAE=45,EAB=135.B=45,B+EAB=180,AEBC,四边形ABCE是平行四边形,AE=BC.,图23-8,2019本溪如图23-8,在四边形ABCD中,ABCD,ADCD,B=45,延长CD到点E,使DE=DA,连结AE.(2)若AB=3,CD=1,求四边形ABCE的面积.,解:(2)由(1)知AB=CE,CD=1,AB=3,DE=2.AD=DE,AD=2,S四边形ABCE=32=6.,B,1.2019北京正十边形的外角和为()A.180B.360C.720D.1440,B,2.2019达州如图23-9,平行四边形ABCD
6、的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,BEO的周长是8,则BCD的周长为()A.15B.16C.24D.18,图23-9,图23-10,C,答案(4,2)解析因为四边形OABC是平行四边形,A(3,0),C(1,2),所以BC=OA=3.得点B的横坐标为3+1=4,纵坐标为2,所以点B(4,2).,4.2018天水将平行四边形OABC放置在如图23-11所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点.若点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(1,2),则点B的坐标为.,图23-11,DF=BE(答案不唯一),5.如图23-12,E,F是ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个条件,使四边形AE
7、CF也是平行四边形.你添加的条件是:.,图23-12,6.2019张家界如图23-13,平行四边形ABCD中,连结对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连结DE,分别交BC,AC于点F,G.(1)求证:BF=CF;(2)若BC=6,DG=4,求FG的长.,图23-13,解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AECD,AB=CD,EBF=DCF,BEF=CDF.AB=BE,BE=CD,BEFCDF,BF=CF.,6.2019张家界如图23-13,平行四边形ABCD中,连结对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连结DE,分别交BC,AC于点F,G.(2)若BC=6,DG=4,求FG的
8、长.,图23-13,第 2 课时特殊平行四边形(一),第五单元四边形,考点一矩形,1.如图24-1,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若ACB=30,则AOB的大小为()A.30B.60C.90D.120,图24-1,B,图24-2,答案 A,3.2019徐州如图24-3,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长为.,16,图24-3,知识梳理,直角,2,直,相等,对角线的交点,(续表),三,相等,等腰,考点二菱形,1.2019赤峰如图24-4,菱形ABCD周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是()A.2
9、.5B.3C.4D.5,图24-4,A,2.2019大庆下列说法中不正确的是()A.四边相等的四边形是菱形B.对角线垂直的平行四边形是菱形C.菱形的对角线互相垂直且相等D.菱形的邻边相等3.已知ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件,使ABCD成为一个菱形.你添加的条件是.,C,答案不唯一,如AB=BC或ACBD,知识梳理,邻边,相等,垂直,一组对角,两条对角线,对角线的交点,(续表),两条对角线,考点三正方形,1.正方形具有而菱形不具有的性质是()A.四条边相等B.对角线相等C.对角线互相垂直D.一条对角线平分一组对角,B,2.已知四边形ABCD是平行四边形,再从AB
10、=BC,ABC=90,AC=BD,ACBD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形.现有下列四种选法,其中错误的是()A.B.C.D.,B,3.2019黔三州如图24-5,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为.,3,图24-5,知识梳理,邻边,直角,直,对角线的交点,(续表),考向一矩形的性质与判定的应用,图24-6,例1 2019青岛如图24-6,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连结CG.(1)求证:ABECDF.(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形E
11、GCF是矩形?请说明理由.,图24-6,例1 2019青岛如图24-6,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连结CG.(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.,解:(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:AC=2OA,AC=2AB,AB=OA.E是OB的中点,AGOB,OEG=90,同理:CFOD,AGCF,EGCF.EG=AE,OA=OC,OE是ACG的中位线,OECG,EFCG,四边形EGCF是平行四边形.OEG=90,四边形EGCF是矩形.,【方法点析】在证明一个四边形是矩形
12、时,要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形.若是任意四边形,一般先证明四边形是平行四边形,再证明有一个角是直角,也可直接证三个角是直角;若是平行四边形,则需证一个角是直角或对角线相等.,|考向精练|,1.2019云南如图24-7,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2OAD.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若AOBODC=43,求ADO的度数.,图24-7,解:(1)证明:AO=OC,BO=OD,四边形ABCD是平行四边形.AOB是AOD的外角,AOB=OAD+ADO.又AOB=2OAD,OAD=ADO.AO=OD.AC=AO+OC=2A
13、O,BD=BO+OD=2OD,AC=BD,四边形ABCD是矩形.,1.2019云南如图24-7,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2OAD.(2)若AOBODC=43,求ADO的度数.,图24-7,解:(2)设AOB=4x,则ODC=3x,OCD=ODC=3x,DOC=AOB=4x.在ODC中,DOC+OCD+CDO=180,4x+3x+3x=180,解得x=18.ODC=318=54.ADO=90-ODC=90-54=36.,2.2019朝阳二模如图24-8,在ABCD中,ABD=90,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.(1)求证:四边形B
14、ECD是矩形;(2)连结DE交BC于点F,连结AF,若CE=2,DAB=30,求AF的长.,图24-8,解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,CD=AB,CDAB.BE=AB,BE=CD.四边形BECD是平行四边形.ABD=90,DBE=90.BECD是矩形.,2.2019朝阳二模如图24-8,在ABCD中,ABD=90,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.(2)连结DE交BC于点F,连结AF,若CE=2,DAB=30,求AF的长.,图24-8,考向二菱形的性质与判定的应用,图24-9,图24-9,【方法点析】在证明一个四边形是菱形时,要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形.若是
15、任意四边形,则需证四条边相等;若是平行四边形,则需证一组邻边相等或对角线互相垂直.,|考向精练|,1.2019泸州一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的两条对角线的长度之和为()A.8B.12C.16D.32,答案 C,图24-10,答案 C,考向三正方形的性质与判定的应用,图24-11,例3 2019长沙如图24-11,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF;(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.,图24-11,例3 2019长沙如图24-11,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于
16、点G.(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.,【方法点析】正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,因此正方形具有这些图形的所有性质.在判定正方形时,在平行四边形的基础上证明有一个角为直角且有一组邻边相等;在矩形的基础上证明有一组邻边相等;在菱形的基础上证明有一个角是直角.,|考向精练|,2019青岛如图24-12,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD=4 cm,则CF的长是cm.,图24-12,D,1.2019河北如图24-13,菱形ABCD中,D=150,则1=()A.30B.25C.20D.15,图24-1
17、3,图24-14,A,3.2018青岛城阳区模拟如图24-15,矩形ABCD中,O是对角线AC的中点,OEAC,交AD于点E,连结CE.若AB=2,BC=4,则CE的长为()A.2.5B.2.8C.3D.3.5,图24-15,答案 A解析四边形ABCD是矩形,AD=BC=4,AB=CD=2.O是AC的中点,AO=CO.OEAC,EC=AE.设EC=x,在RtEDC中,根据勾股定理得EC2=DE2+DC2,即x2=(4-x)2+22,解得x=2.5,CE=2.5.,图24-16,答案 D,5.2018武汉以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE,则BEC的度数是.,答案 30或150,6
18、.2019北京期末如图24-17,四边形ABCD中,ADBC,AD=2BC,E为AD的中点,ABD=90.(1)求证:四边形BCDE是菱形;(2)连结CE,若CE=6,BC=5,求四边形ABCD的面积.,图24-17,解:(1)证明:AD=2BC,E为AD的中点,DE=BC.ADBC,四边形BCDE是平行四边形.ABD=90,E为AD的中点,BE=DE,四边形BCDE是菱形.,6.2019北京期末如图24-17,四边形ABCD中,ADBC,AD=2BC,E为AD的中点,ABD=90.(2)连结CE,若CE=6,BC=5,求四边形ABCD的面积.,图24-17,第 3 课时特殊平行四边形(二),
19、第五单元四边形,考点一四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系,1.2018上海闵行区模拟已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论不正确的是()A.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形B.当ACBD时,四边形ABCD是菱形C.当ABC=90时,四边形ABCD是矩形D.当AC=BD时,四边形ABCD是正方形,D,2.下列命题中,为真命题的是()A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.四边相等的四边形是正方形C.对角线相等的四边形是矩形D.两组对角分别相等的四边形是平行四边形,D,知识梳理,图25-1,考点二中点四边形,1.2019邵阳三模顺次连结任意四边形各边的中点,所得的四边形一定是()A.平
20、行四边形B.菱形C.矩形D.正方形,A,2.2019遵义我们把顺次连结任意一个四边形各边中点所得四边形叫做中点四边形.已知四边形ABCD的中点四边形是正方形,对角线AC与BD的关系,下列说法正确的是()A.AC,BD相等且互相平分B.AC,BD垂直且互相平分C.AC,BD相等且互相垂直D.AC,BD垂直且平分对角,C,知识梳理,正方形,1.定义:顺次连结四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.2.任意四边形的中点四边形是.对角线相等的四边形的中点四边形是.对角线垂直的四边形的中点四边形是.对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是.,平行四边形,菱形,矩形,考向一中点四边形,图25-2,例1
21、 如图25-2,D,E分别是不等边三角形ABC(即ABBCAC)的边AB,AC的中点,O是ABC所在平面上的动点,连结OA,OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连结点D,G,F,E.(1)当点O在ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;(2)若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?(直接写出答案,不需要说明理由),图25-2,例1 如图25-2,D,E分别是不等边三角形ABC(即ABBCAC)的边AB,AC的中点,O是ABC所在平面上的动点,连结OA,OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连结点D,G,F,E.(2)若四边形DGFE是菱形,则O
22、A与BC应满足怎样的数量关系?(直接写出答案,不需要说明理由),解:(2)OA=BC.,【方法点析】依次连结四边形各边中点所得的新四边形的形状与原四边形两条对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关.,|考向精练|,1.2018临沂如图25-3,点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点.则下列说法中正确的个数是()若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;若ACBD,则四边形EFGH为菱形;若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.A.1B.2C.3D.4,图25-3,答案 A,2.2019雅安如图25-4,
23、在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,连结EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH的形状是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形,图25-4,答案 C,考向二特殊四边形的折叠问题,图25-5,【方法点析】折叠的实质是轴对称变换,折叠前后图形的对应角、对应线段相等.折叠问题中求角的度数,通常利用平行线的性质求解;折叠问题中求边的长度,通常利用勾股定理建立方程求解.,|考向精练|,图25-6,答案 B,考向三特殊平行四边形的综合应用,图25-7,例3 2019海南如图25-7,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P
24、是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:PDEQCE;(2)过点E作EFBC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,求证:四边形AFEP是平行四边形;请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.,解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,D=BCD=90,ECQ=90=D.E是CD的中点,DE=CE.又DEP=CEQ,PDEQCE.,图25-7,例3 2019海南如图25-7,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(2)过点E作EFBC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,
25、求证:四边形AFEP是平行四边形;请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.,|考向精练|,1.如图25-8,P是菱形ABCD对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.(1)求证:PD=PE;(2)求证:DPE=ABC;(3)如图,当四边形ABCD为正方形时,连结DE,试探究线段DE与线段BP的数量关系,并说明理由.,图25-8,1.如图25-8,P是菱形ABCD对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.(2)求证:DPE=ABC;,图25-8,解:(2)证明:如图所示:由(1)知,BCPDCP,CBP=CDP.PE=PB,CBP=E.CFE=DFP(对顶角相等)
26、,180-DFP-CDP=180-CFE-E,即DPE=DCE.ABCD,DCE=ABC,DPE=ABC.,1.如图25-8,P是菱形ABCD对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.(3)如图,当四边形ABCD为正方形时,连结DE,试探究线段DE与线段BP的数量关系,并说明理由.,图25-8,2.2019岳阳操作体验:如图25-9,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C处.点P为直线EF上一动点(不与点E,F重合),过点P分别作直线BE,BF的垂线,垂足分别为点M和点N,以PM,PN为邻边构造平行四边形P
27、MQN.,图25-9,(1)如图,求证:BE=BF;(2)特例感知:如图,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长;,图25-9,(3)类比探究:若DE=a,CF=b.如图,当点P在线段EF的延长线上运动时,试用含a,b的式子表示QM与QN之间的数量关系,并证明;如图,当点P在线段FE的延长线上运动时,请直接用含a,b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程),图25-9,解:(1)证明:矩形ABCD中,ADBC,DEF=BFE.由折叠可知:BEF=DEF,BFE=BEF.BE=BF.,2.2019岳阳操作体验:如图25-9,在矩形ABCD中,点
28、E,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C处.点P为直线EF上一动点(不与点E,F重合),过点P分别作直线BE,BF的垂线,垂足分别为点M和点N,以PM,PN为邻边构造平行四边形PMQN.(2)特例感知:如图,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长;,图25-9,2.2019岳阳操作体验:如图25-9,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C处.点P为直线EF上一动点(不与点E,F重合),过点P分别作直线BE,BF的垂线,垂足分别为点M和
29、点N,以PM,PN为邻边构造平行四边形PMQN.,图25-9,(3)类比探究:若DE=a,CF=b.如图,当点P在线段EF的延长线上运动时,试用含a,b的式子表示QM与QN之间的数量关系,并证明;如图,当点P在线段FE的延长线上运动时,请直接用含a,b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程),图25-9,C,1.2019娄底顺次连结菱形四边中点得到的四边形是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形,2.如图25-10,将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片.根据图中标示长度与角度,则梯形纸片中较短的底边长度为()A.4B.5C.6D.7,图25-10,答案 C,图25-11,答案 D,图25-12,答案 D,图25-13,答案 A,图25-14,解:(1)证明:四边形ABCD为菱形,AB=AD,AC平分BAD.BE=DF,AB-BE=AD-DF,AE=AF,AEF是等腰三角形.AC平分BAD,ACEF.,图25-14,
