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1、二次函数y=ax的图象和性质,（1）二次函数的定义：一般地，形如（a0）的函数叫做x的二次函数。（2）一次函数y=kx+b（k0）的图象与性质：图象是一条直线；当k0时，直线通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k0时，直线通过二、四象限，y随x的增大而减小。（3）研究函数时，了解函数性质的主要工具是：函数的图象。（4）画函数图象的主要步骤：列表；描点；连线。,活动1,重点、难点知识,探究一：画出二次函数 的图象,合作探究,1.实践操作：用描点法画 的图象。,解：（1）列表：,列表时应注意什么问题？,数据的代表性（正、负、0都要包含）；数据的简单性（尽量选择整数和较小的数据）；数据的多样性（至
2、少选择5个数据进行描点）。,4,1,0,9,4,1,9,活动1,重点、难点知识,探究一：画出二次函数 的图象,（2）描点：,在平面直角坐标系中描点时应以哪些数值作为点的坐标？,一组x和y的对应值就是一个点的横、纵坐标。,合作探究,y=x2,（3）连线：,连线时应注意什么？,用光滑曲线顺次连接各点，得到函数 的图象。,活动1,重点、难点知识,探究一：画出二次函数 的图象,合作探究,2.观察探究：观察 的图象，它有什么特点？,（1）你能描述图象的形状吗？,y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。,（2）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,（3）图象有最低点吗？如果
3、有，坐标是什么？,（4）当x0呢？,（5）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？,这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y=x2在x轴的上方（除顶点外），顶点是它的最低点。,抛物线y=x2在x轴的上方（除顶点外），顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0。,在对称轴的左侧时，y随着x的增大而减小。,在对称轴的右侧时，y随着x的增大而增大。,活动1,重点、难点知识,探究一：画出二次函数 的图象,合作探究,二次函数 的图象特点：（1）图象是一条抛物线，开口向上；（2）原点（0，0）是
4、图象的顶点，也是最低点，当x=0时，函数y有最小值0；（3）图象是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，y随x的增大而增大。,活动1,重点、难点知识,探究二：二次函数 的图象及性质,自主探究,1.画出函数，的图象：,（1）列表：,2,0,2,8,2,0,2,8,活动1,重点、难点知识,探究二：二次函数 的图象及性质,自主探究,（2）在平面直角坐标系中描点：,（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数，的图象。,活动1,重点、难点知识,探究二：二次函数 的图象及性质,自主探究,相同点：图象都是抛物线，都开口
5、向上，顶点都是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是y轴，当x=0时，y的最小值是0；在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大。不同点：a。（a0）越大，抛物线的开口越小。,2.思考归纳。函数，的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？,活动2,重点、难点知识,探究二：二次函数 的图象及性质,类比探究,1.画出函数，的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。,相同点：图象都是抛物线，都开口向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是y轴，当x=0时，y的最大值是0；在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小。不同点：|a|越大，抛物线的
6、开口越小。,活动2,重点、难点知识,探究二：二次函数 的图象及性质,类比探究,思考：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由什么决定的？,开口大小：由a的大小（绝对值）决定|a|越大，抛物线的开口越小。,开口方向：由a的正负决定正，开口向上；负，开口向下。,活动2,重点、难点知识,探究二：二次函数 的图象及性质,类比探究,2.归纳慨括：二次函数y=ax2的性质是什么？,开口向上,开口向下,a越大，开口越小,关于y轴对称（或直线x=0）对称,顶点坐标是原点,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大,在对称轴左侧，y随x的增大而增大
7、在对称轴右侧，y随x的增大而减小,当x=0时，函数y有最大值，为0,当x=0时，函数y有最小值，为0,活动3,重点、难点知识,探究二：二次函数 的图象及性质,性质应用,1.抛物线 开口向_，对称轴是，顶点坐标是；在对称轴 侧，y随着x的增大而增大，在对称轴 侧，y随着x的增大而减小；当x=时，函数y的值最小，最小值是；抛物线 在x轴的 方（除顶点外）。,2.抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的增大而，在对称轴的右侧，y随着x的增大而；当x=0时，函数y的值最大，最大值是；当x 0时，y0。,活动4,重点、难点知识,探究二：二次函数 的图象及性质,对比探究,猜想：与 的图
8、象有什么关系？,与 图象关于x轴对称。,对比：观察抛物线 与，思考它们有什么关系？,活动1,探究三：拓展应用,二次函数 解析式的确定,例1.已知抛物线 经过点A（-3，-18）。（1）求此抛物线的解析式；（2）判断点B（-2，-6）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为-10的点的坐标。,解：（1）把（-3，-18）代入y=ax2，-18=a（-3）2，解出a=-2。所求抛物线解析式为y=-2x2。,（2）因为，所以点B（-2，-6）不在此抛物线上。,（3）由-10=-2x2，得x2=5。所以纵坐标为-10的点有两个，它们分别是,探究三：拓展应用,【思路点拨】由于 中只有一个待定系数a
9、，所以只需一个条件（图象上一个点的坐标或一对对应值），利用待定系数法就可以确定其解析式。判定一个点是否在抛物线上，只需把这个点的坐标代入抛物线解析式看左右两边是否相等就可判定。,探究三：拓展应用,练习：一个抛物线形涵洞如图所示，在平面直角坐标系中，当水位在EF位置时，水面宽度为12m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A.B.C.D.,【思路点拨】用待定系数法设函数解析式，再根据题意找到点E、F的坐标代入即可。,C,【解题过程】根据a的符号分类，a0时，在A，B中判断一次函数的图象是否相符，a0时，在C，D中进行判断。,活动2,探究三：拓展应用,二次函数 的图象与一次函数的
10、图象共存同一坐标系的问题。,例2.在同一坐标系中画出一次函数y=ax+a和二次函数 的大致图象正确的是（）,当a0时，二次函数 的图象开口向下，一次函数y=ax+a的图象经过第二、三、四象限，排除C，D。,B,当a0时，二次函数 的图象开口向上，一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限，排除A；,探究三：拓展应用,【思路点拨】解答这类问题，一般用排除法，首先根据抛物线的开口方向，确定二次函数二次项系数a的符号，然后再根据一次函数确定a的符号，如果相同，说明可能正确；如果不同，直接排除。按照这种方法逐一判断，直至找出正确答案为止。特别注意个别问题需要再结合一次函数与抛物线的公共点的位置才能
11、确定最后答案。,探究三：拓展应用,练习二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的图象大致是（）,当a0时，二次函数 的图像开口向上，一次函数的图像经过二、四象限；当a0时，二次函数 的图像开口向下，一次函数 图像经过一、三象限，故选B。,B,活动3,探究三：拓展应用,与 的图象和一次函数图象交点有关的问题。,例3.如图，已知抛物线（a0）与直线AB交于点P（4，-4），连接OP，OP=AP，求二次函数的解析式及抛物线与直线AB另一个交点B的坐标。,解：设直线AB的解析式为y=mx+n，将A，P坐标代入直线解析式，得，解得直线AB解析式为y=x-8，将P（4，-4）代入 中，得-4=16a，抛物线解
12、析式为,探究三：拓展应用,【思路点拨】解答求二次函数与一次函数图象的公共点的坐标问题时，把两函数的解析式联立组成方程组，方程组的解就是两函数图象的交点坐标，然后再结合其他条件解答相关问题。,联立直线与抛物线解析式得消去y得x2=-4x+32，即x2+4x-32=0，得（x-4）（x+8）=0，解得x=4或x=-8。当x=-8时，y=-8-8=-16，则抛物线与直线AB另一个交点坐标为（-8，-16）。,探究三：拓展应用,练习已知抛物线 经过点（-2，8），将抛物线沿x轴对折后与直线 交于A、B两点，求线段AB的长。,探究三：拓展应用,活动4,与 有关的综合题,例4.如图，抛物线 与直线y=2x
13、在第一象限内有一个交点A。（1）求A点坐标；（2）在x轴上是否存在一点P，使AOP是以OP为底的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。,解：（1）解方程组得 或所以A点坐标为（2，4）。,探究三：拓展应用,（2）存在。作ABx轴于B点，如图所示。当PB=OB时，AOP是以OP为底的等腰三角形，因为A点坐标为（2，4），所以P点坐标为（4，0）。,【思路点拨】解答这类问题，先由函数解析式求得交点的坐标，然后结合几何知识确定是否存在，如果存在，再确定点的坐标。,探究三：拓展应用,练习：如图，已知抛物线y=ax2（a0）与直线y=kx-3相交于E、F两点，其中E（-1，-1.
14、5），求EOF的面积。,解：点E（-1，-1.5）在抛物线y=ax2（a0）上，也在直线y=kx-3上，-1=a（-1.5）2，-1.5=k（-1）-3，解得a=-1.5，k=-1.5。两函数的解析式分别为y=-1.5x2，y=-1.5x-3。,点F的坐标为（2，-6）。y=-1.5x-3与y轴交于点G，则G（0，-3）。,SEOF=SOEG+SOFG=（1+2）3=4.5。,探究三：拓展应用,【思路点拨】求二次函数与一次函数交点三角形的面积问题，关键是联立两函数解析式形成方程组，求出交点坐标，进而求出线段长，再利用分割或补形法求出三角形面积。,知识梳理,（1）二次函数的图象是一条抛物线。（2
15、）二次函数y=ax2性质：开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，在对称轴左侧（即x0时），y随x的增大而增大；当a0时），y随x的增大而减小。最值：当a0时，顶点是最低点，当x=0时，函数y有最小值0；当a0时，顶点是最高点，当x=0时，函数y有最大值0。,重难点突破,（1）抛物线 的形状和开口大小及方向都由a决定，|a|越大开口越小，反之开口越大。（2）在用描点法画二次函数 的图象时，取相应的x与y的值时，应从原点（0，0）开始左右对称地取值。为了描点准确与方便，尽量取坐标为整数的点，其图象是向两方无限延伸的，当选取的点越多时，所画出的图象越精确。所画图象必须平滑（符合点的发展变化的趋势），尤其是顶点不能画成“尖”形的。,重难点突破,（3）二次函数 的增减性：当a0时，可简记为“左减右增”；当a0时，可简记为“左增右减”。（4）二次函数 与 的图象关于x轴对称。（5）在解答函数性质的问题中，即使问题没有要求画函数图象，也应考虑在演算纸上画出函数图象的草图，结合函数图象用数形结合的方法求解。,谢 谢,
