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1、yaya,适用教材：适用年级:授课人：,函 数 单 调 性的定义与证明,回顾旧知,定义域：,值 域：,表示方法：,函 数：,一般地给定两个非空集合A与B，以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应,则称f为定义在A上的一个函数，记作y=f(x),xA，其中x称为自变量,y称为因变量,自变量x的取值范围,即数集A称为这个函数的定义域,因变量y的取值范围,即数集B称为这个函数的值域,列表法;图像法;解析式法,1 2 3 4 5 6 7 8 9,100%80%60%40%20%,记忆保持量,时间间隔/h,艾宾浩斯记忆曲线,情景与问题,y=f(x),x,y,
2、正比例函数与反比例函数,y,函数单调性的定义,O x1 x2,O x1 x2,f(x2)f(x1),f(x1)f(x2),图1,图2,一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，且ID:,(1)如果对任意x1,x2I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则称y=f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增);如图1所示。,(2)如果对任意x1,x2I,当x1f(x2),则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减);如图2所示。,以上两种情形，我们都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可以区分开来，情形1称I为函数f(x)的单调递增区间，情形2称I为函数f(x)的
3、单调递减区间）。,对照增函数，大家能否自己试着写出减函数的定义呢？,x,x,y,y,辨析1：若定义在-2,3上的函数f(x)满足f(-2)f(3),则函数在-2,3上一定是增函数吗？,定义辨析1,辨析2：既然函数上的一、两个点满足大小关系不行，那么无穷多个点呢？如果函数f(x)在区间-2,2上,存在无穷多个x1和x2满足当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么函数f(x)在这个区间上是增函数吗?,定义辨析2,辨析3：辨析2中的二次函数在区间(-2,0上单调递减，在区间2,+)上单调递增，一个递减一个递增，所以它并不具有整个定义域上的单调性。那么，把一个函数的定义域分成两个或两个以上子区间，
4、在每一个子区间上，函数都是单调递减的，那么该函数在整个定义域上是单调递减的吗？,定义辨析3,y,如图函数y=f(x),在-6,-4上呈上升趋势，该函数的函数值y随着自变量x的增大而，是；在-4,-2区间上呈下降趋势函数值y随着x的增大而，是；同理，在-2,1上是，在1,3上是，在3,6上是。,增大,增函数,减小,增函数,减函数,减函数,增函数,尝试与发现,优点：根据函数的图像的上升或下降的趋势，我们能很方便地看出函数的单调性，因此画出函数的图像是一种直观且有效的方法。缺点：通常情况下得到函数的图像并不容易，而且手工作出的图像往往不精确，不能准确的判断函数的单调性。例如：在上图中，我们把函数的图
5、像沿x轴向左移动0.1个单位长度，你能用肉眼能看出这两个函数图像的之间的区别吗？这显然是很困难的。问题：那么，我们通过什么样的方法能准确的判断函数的单调性呢？,函数单调性的定义,通过图像判断函数的单调性,例1：求证：函数f(x)=-2x在R上是减函数。,函数y=f(x)的定义域为D，有ID，,本题，函数f(x)=-2x的定义域为R,也就是定义中的I.,对任意的x1,x2I，x1x2，,任取x1,x2R且x1x2，与定义中的大小关系对应，此时有x1-x20,都有f(x1)f(x2),称y=f(x)在I上是减函数。,判断f(x1)和f(x2)的大小关系,f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2
6、x2)=2(x2-x1)0，从而f(x1)f(x2),根据定义给出最终判断：函数f(x)=-2x在R上是减函数.,证明：任取x1,x2R且x10从而f(x1)f(x2)因此，函数f(x)=-2x在R上是减函数。,通过定义证明函数的单调性,通过定义证明函数单调性的一般步骤,函数最值和最值点的定义,如果对于任意xD,都有,则称f(x)的 为f(x0),而x0称为f(x)的。,一般地,函数f(x)的定义域为D,且x0D:,如果对于任意xD,都有,则称f(x)的 为f(x0),而x0称为f(x)的。,f(x)f(x0),最大值,最大值点,f(x)f(x0),最小值,最小值点,相应的，你能自己写出函数的
7、最小值和最小值点的定义吗？,函数的最大值和最小值统称为函数的最值；函数的最大值点和最小值点统称为函数的最值点。,最值点定义注意事项,最值点的定义有哪些地方跟我们的直觉不一样呢？,叫点不是点！,虽然最值点的名字中有点，但它并不是一个点也不是一个点的坐标；而是当函数值取得时大值或最小值时与函数值对应的横坐标的值。,函数最值和最值点例题,例2：函数f(x)=x2-2x,请回答下面的问题。,求函数f(x)在区间0,1上的单调性，及在该区间上的最大值、最小值、最大值点、最小值点。,求函数f(x)在区间1,3上的单调性，及在该区间上的最大值、最小值、最大值点、最小值点。,求函数f(x)在区间0,3上的单调
8、性，及在该区间上的最大值、最小值、最大值点、最小值点。,解：,任取x1,x20,1,且x1x2,x1,x20,1,且x10即f(x1)f(x2)所以f(x)在区间0,1上是减函数,因此,当0 x1时,有f(0)f(x)f(1)而f(0)=0,f(1)=-1从而，在区间0,1上f(x)的最大值为0,最小值为-1最大值点为0，最小值点为1,任取x1,x21,3,且x1x2,x1,x21,3,且x12,x1-x20(x1+x2-2)(x1-x2)0即f(x1)f(x2)所以f(x)在区间1,3上是增函数,因此,当1x3时,有f(1)f(x)f(3)而f(1)=-1,f(1)=3从而，在区间1,3上f(x)的最大值为3,最小值为-1最大值点为3，最小值点为1,由、知，在区间0,3上函数f(x)没有单调性最大值为3，最小值-1最大值点为3，最小值点为1,有些函数的函数值具有随着自变量的增大递增或递减的性质,利用函数的图像和单调性的定义判断函数单调性的方法,函数单调性的概念,函数最值和最值点的概念,本课小节,利用函数的单调性求解函数的最值和最值点,难点：理解并能用符号语言描述增、减函数的定义；用定义证明函数在指定区间上的单调性,重点：用定义判断和证明函数的单调性,感谢聆听,人教版高中数学必修一,
