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1、第六章 求总量的问题定积分,6.1 特殊和式的极限 定积分的概念,一、抽象定积分概念的两个现实原型,1.求曲边梯形的面积2.求变力所作的功,原型1.求曲边梯形的面积,如图,曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)0),x轴与两条直线x=a,x=b所围成,S=?,用矩形面积近似代替曲边梯形面积,(四个小矩形),(九个小矩形),显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程
2、,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角
3、形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边三角形面积的关系,如图,在区间a,b内插入n1个分点 a=x0 x1x2.xn1xn=b,x1 xi1 xi xn1,把区间a,b分成n个小区间xi1,xi,长度为xi=xixi1,在每个小区间xi1,xi上任取一点i,i,以xi1,xi为底,f(i)为高的小矩形面积为,Si=f(i)xi,曲边梯形面积的近似值为,当分割无限加细,即小区间的最大长度=maxx1,x2,.,xn0时,曲边梯形面
4、积为:,原型2 求变力所作的功,设质点m受水平力F的作用沿x轴由点a移动到点b,若F是常量,则它对质点所作的功为:,W=F(ba),若F不是常量,而是质点所在位置x的连续函数F=F(x),如何求对质点所作的功?,(1)分割,a=x0 x1x2.xn1xn=b,xi=xixi1,Wi=F(i)xi,(2)近似求和,(3)取极限,=maxx1,x2,.,xn,原型3 求变速直线运动的路程,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（2）近似求和,（3）取极限,路程的精确值,上述三个问题
5、的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“大化小,常代变,近似和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分的概念,分割、近似求和、取极限,设函数f(x)在a,b上有界,用点a=x0 x1x2.xn1xn=b将a,b分割成n个子区间,各子区间的长度为 xi=xixi1(i=1,2,.,n).在每个子区间上任取一点i(ixi),作乘积f(i)xi的和式,定积分的定义,记=maxxi,当0时,的极限存在,并且其极限值与a,b的分法,以及i的取法无关,则该极限值称为函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作,即,a,b:积分区间,积分上限,积分下限,注意:,(1)积分值仅与被积函数及
6、积分区间有关,而与积分变量的字母无关,(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的,(3)当函数f(x)在区间a,b上的定积分存在时,称f(x)在区间a,b上可积,否则不可积,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,例1 利用定义计算定积分,解:,将0,1n等分,分点为:,(i=1,2,.,n),子区间xi1,xi的长度,(i=1,2,.,n),取i=xi,(i=1,2,.,n),(0n),三、求定积分过程中的辩证思维,四、可积条件,定理1(可积的必要条件)若函数f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上有界.,注：无界函数一定不可积,有界函数不一定可积,定理2
7、(可积的充分条件)若f(x)是闭区间a,b上的连续函数,或者是闭区间a,b上的单调函数,或者是a,b上只有有限个间断点的有界函数,则f(x)在a,b上可积,五、定积分的性质,只有当ab时才有意义,为了使用上的方便,规定,(1)当a=b时,(2)当ab时,说明:在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,(k为常数),性质3(对积分区间的可加性),性质2,性质1,性质5 若在a,b(ab)上f(x)0,则,性质4,性质6(保序性)若在a,b(ab)上f(x)g(x),则,性质7(定积分的绝对值不等式),|f(x)|f(x)|f(x)|,性质8(有界性)设m,M分别是f(x)在a,
8、b上的最小值和最大值,则,此性质可用于估计积分值的大致范围,性质9(积分中值定理)若函数f(x)在a,b上连续,则在a,b上至少存在一点,使得,积分中值公式,积分中值定理的几何意义,f(),若f(x)在a,b上连续且非负,则f(x)在a,b上的曲边梯形的面积等于与该曲边梯形同底,以f()为高的矩形面积,例2 比较积分值 和 的大小,解:,令f(x)=exx,x2,0,f(x)0,exx,例3 估计积分 的值,解:,x0,有,0sin3x1,例4 设f(x)可导,且,求,解:,由积分中值定理知,有x,x+2,使,=6,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,小结,3.定积分的性质,
