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1、第3章 MATLAB计算,3.1 方程组的求解3.2 插值和拟合3.3 函数的极值点3.4 数值微积分3.5 符号对象3.6 符号微积分3.7 符号方程的求解,3.2 插值和拟合,3.2.1 插值运算3.2.2 曲线拟合,3.2.1 插值运算,插值技术能够从有限的数据中获取系统整体的状态MATLAB提供的插值计算函数,1、一维插值运算,如果被插值函数是一个单变量函数，则插值问题称为一维插值。一维插值采用的方法有线性方法、最近方法、3次多项式和3次样条插值。,在MATLAB中实现一维插值的函数是interp1。调用格式为：Yi=interp1(X,Y,Xi,method)X和Y为已知的原始数据，
2、分别描述采样点和采样值Xi为需要计算的插值点，是一个向量或标量Yi是插值结果method是插值方法，允许的取值有多种若进行插值运算时，Xi的取值超过了X的范围，则需要进行外插值运算：Yi=interp1(X,Y,Xi,method,extrap),X和Y，Xi和Yi若都为向量，则等长，若Y和Yi为矩阵，则length(X)and size(Y,1)must be the same.,1、一维插值运算,method常用的取值有linear：线性插值。线性插值是默认的插值方法，它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。nearest：最近点插值。根据已知插值点与已
3、知数据点的远近程度进行插值。插值点优先选择较近的数据点进行插值操作。cubic：3次多项式插值。根据已知数据求出一个3次多项式，然后根据该多项式进行插值。spline：3次样条插值。3次样条插值是指在每个分段（子区间）内构造一个3次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有光滑的条件。,1、一维插值运算,例 一维插值函数示例%INTERP_EX1 一维插值计算示例%准备数据x=0:10;y=cos(x);%插值点xi=0:0.2:10;%进行插值运算yin=interp1(x,y,xi,nearest);yic=interp1(x,y,xi,cubic);%绘制结果plot(x
4、,y,o,xi,yin,*,xi,yic)legend(origin,nesrest,cubic)title(一维插值计算示例),1、一维插值运算,1、一维插值运算,例子：用不同的插值方法计算sinx在/2点的值 X=0:0.2:pi;Y=sin(X);%给出X、Y interp1(X,Y,pi/2)%用默认的方法计算sin(/2)ans=0.9975 interp1(X,Y,pi/2,nearest)%用最近点插值方法计算sin(/2)ans=0.9996 interp1(X,Y,pi/2,linear)%用线性插值方法计算sin(/2)ans=0.9975 interp1(X,Y,pi/2
5、,spline)%用3次样条插值方法计算sin(/2)ans=1.0000 interp1(X,Y,pi/2,cubic)%用3次多项式插值方法计算sin(/2)ans=0.9992,1、一维插值运算,例子：某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔两小时的室外温度（）如表所示，用3次样条插值法分别求得该日室外6:30时至17:30时之间每隔两小时各点的近似温度（）。设时间变量h为一行向量，温度t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列存放室外温度。,h=6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;hi=6.5:2:17.5
6、;ti=interp1(h,t,Xi,spline)ti=18.5020 15.6553 20.4986 20.3355 22.5193 24.9089 26.3775 29.6383 30.2051 34.2568 26.8178 30.9594,1、一维插值运算,2、二维插值运算,当函数依赖于两个自变量变化时，其采样点就应该是一个由这两个参数组成的一个平面区域，插值函数也是一个二维函数。对依赖于两个参数的函数进行插值的问题称为二维插值问题。,在MATLAB中实现二维插值的函数是interp2。调用格式为：Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method)X和Y为原始数据，是两个等
7、长的已知向量，分别描述两个参数的采样点Z是与参数采样点对应的函数值Xi，Yi是两个向量或标量，描述欲插值的点Zi是根据相应的插值方法得到的插值结果method是插值方法，允许的取值有多种，与一维插值函数相同X，Y，Z也可以是矩阵的形式若进行插值运算时，Xi的取值超过了X的范围，则需要进行外插值运算：Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method,extrap),2、二维插值运算,例：设，对Z函数在0,1X0,2区域内进行插值。x=0:0.1:1;y=0:0.2:2;X,Y=meshgrid(x,y);%产生自变量网格坐标 Z=X.2+Y.2;%求对应的函数值 interp2(X,Y
8、,Z,0.5,0.5)%在(0.5,0.5)点插值ans=0.5100 interp2(X,Y,Z,0.5 0.6,0.4)%在(0.5,0.4)点和(0.6,0.4)点插值ans=0.4100 0.5200,2、二维插值运算,interp2(X,Y,Z,0.5 0.6,0.4 0.5)%在(0.5,0.4)点和(0.6,0.5)点插值ans=0.4100 0.6200 interp2(X,Y,Z,0.5 0.6,0.4 0.5)%在点(0.5,0.4)、(0.6,0.4)、(0.5,0.5)(0.6,0.5)插值ans=0.4100 0.5200 0.5100 0.6200 interp2(
9、X,Y,Z,0.5 0.6,0.4 0.5,spline)%选择spline插值方法，提高精度ans=0.4100 0.5200 0.5000 0.6100,2、二维插值运算,例：某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:2.5:10（米），用h表示测量时间0:30:60（秒），用T表示测试所得各点的温度（），如下表所示。试用线性插值法求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。,2、二维插值运算,x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95 14 0 0 0;88 48 32 12 6;67 64 54 48 41;xi=0:10;hi=0:20:60
10、;Ti=interp2(x,h,T,xi,hi)Ti=Columns 1 through 6 95.0000 62.6000 30.2000 11.2000 5.6000 090.3333 68.8667 47.4000 33.6000 27.4667 21.333381.0000 69.9333 58.8667 50.5333 44.9333 39.333367.0000 65.8000 64.6000 62.0000 58.0000 54.0000Columns 7 through 11 0 0 0 0 016.0000 10.6667 7.2000 5.6000 4.000033.200
11、0 27.0667 22.7333 20.2000 17.666751.6000 49.2000 46.6000 43.8000 41.0000,ewcz.m,2、二维插值运算,surf(xi,hi,Ti),2、二维插值运算,3.2.2 曲线拟合,曲线拟合的目的是用一个较简单的函数去逼近一个复杂的或未知的函数。利用MATLAB进行曲线拟合主要有两种方法回归法拟合多项式拟合,1、回归法曲线拟合,例6-27 t=0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3;y=0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.4;plot(t,y,r*)grid on,回归法主要是使用MATLAB的左除运算来寻找
12、曲线拟合解析函数的系数。,T=ones(size(t),t,t.2T=1.0000 0 0 1.0000 0.3000 0.0900 1.0000 0.8000 0.6400 1.0000 1.1000 1.2100 1.0000 1.6000 2.5600 1.0000 2.3000 5.2900 A=TYA=0.5318 0.9191-0.2387,Y=T*A,1、回归法曲线拟合,验证：T=(0:0.1:2.5);Y=ones(size(T),T,T.2*A;plot(T,Y,-,t,y,o),grid on,1、回归法曲线拟合,Y=T*A,T=ones(size(t),exp(-t),t
13、.*exp(-t)T=1.0000 1.0000 0 1.0000 0.7408 0.2222 1.0000 0.4493 0.3595 1.0000 0.3329 0.3662 1.0000 0.2019 0.3230 1.0000 0.1003 0.2306 A=XYA=1.3974-0.8988 0.4097,Y=T*A,1、回归法曲线拟合,验证：T=(0:0.1:2.5);Y=ones(size(T),exp(-T),T.*exp(-T)*A;plot(T,Y,-,t,y,o),grid on,1、回归法曲线拟合,2、多项式曲线拟合,在MATLAB中进行多项式拟合主要使用的函数有pol
14、yfit：用来进行拟合计算P=polyfit(x,y,n)x和y为参与曲线拟合的原始数据，n为进行拟合计算的多项式次数，函数的返回值是多项式的系数，即函数的运算结果为多项式的系数向量。polyval：用来计算多项式的数值y=polyval(p,x)p为多项式的系数，x是变量的数值，得到的结果就是函数的数值向量。,例：已知数据表如下所示，试求2次拟合多项式p(x)，然后求xi=1，1.5，2，2.5，3，3.5，9.5，10各点的函数近似值。x=1:10;y=9.6 4.1 1.3 0.4 0.05 0.1 0.7 1.8 3.8 9.0;p=polyfit(x,y,2)p=0.4561-5.0
15、412 13.2533,2、多项式曲线拟合,%求出xi各点上的函数近似值 xi=1:0.5:10;yi=polyval(p,xi)yi=Columns 1 through 7 8.6682 6.7177 4.9952 3.5007 2.2342 1.1958 0.3855Columns 8 through 14-0.1969-0.5512-0.6775-0.5758-0.2460 0.3118 1.0977 Columns 15 through 19 2.1115 3.3534 4.8233 6.5213 8.4473,2、多项式曲线拟合,%绘出拟合曲线图 plot(x,y,:o,xi,yi,-*),2、多项式曲线拟合,x=1:10;y=9.6 4.1 1.3 0.4 0.05 0.1 0.7 1.8 3.8 9.0;p=polyfit(x,y,6)；xi=1:0.5:10;yi=polyval(p,xi)；plot(x,y,:o,xi,yi,-*),2、多项式曲线拟合,
