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1、第二节 直接证明与间接证明,基础梳理,1.直接证明(1)定义:直接从原命题的条件 推得命题成立的证明方法.(2)一般形式:(3)综合法定义:从 出发,以已知的、为依据,逐,本题结论.,逐步,本题条件,已知定义,已知公理,已知定理,已知条件,定义,公理,定理,步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法称为综合法.推证过程.(4)分析法定义:从问题的 出发,追溯导致结论成立的条件,逐步,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法称为分析法.推证过程,已知条件,结论,结论,已知条件,2.间接证明(1)常用的间接证明方法有、等.(2)反证法的基本步骤,结论,上溯,反证法,同一法
2、,枚举法,假设命题的 不成立,即假定原结论的反面为真;从反设和 出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;由矛盾结果,断定 不真,从而肯定原结论成立.,典例分析,题型一 综合法的应用【例1】已知ab0，求证：.,证明 ab0,b,即2b,进而-2b,a-+ba+b-2b,即0()2a-b,分析 从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论.,反设,结论,归谬,已知条件,存真,反设,学后反思 综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件
3、所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论.,证明：a+b=1,当且仅当a=b=时“=”成立.,举一反三,1.设a0,b0,a+b=1,求证：.,题型二 分析法的应用【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca.试证：I24S.,分析 将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论，宜采用分析法.,证明 I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S,故要证I24S,只需证a2+b2+c2+2S4S,即a2+b2+c22S（这对于保证结论成立是充分必要的）.欲证上式，只需证a2+b2+
4、c2-2ab-2bc-2ca0,即证（a2-ab-ac）+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0,只需证三括号中的式子均为负值即可,即证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb,即ab+c,ba+c,ca+b,它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和.故I24S.,学后反思(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.,2.若sin+cos=1,求证：sin6+cos6=1.,举一反三,证明：由sin+cos=1 sin2+cos2+2sin cos=1 sin cos=0.欲证sin
5、6+cos6=1,只需证(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1,即证sin4+cos4-sin2cos2=1,即证(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即证sin2cos2=0.由式知,上式成立，故原式成立.,题型三 反证法的应用【例3】(14分)若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证：a,b,c中至少有一个大于0.,分析 命题伴有“至少”“不都”“都不”“没有”“至多”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.,证明 假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0,.2则a+b+c0,.4而a+b+
6、c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3.6-30,且（x-1）2+(y-1)2+(z-1)20,.8a+b+c0,10这与a+b+c0矛盾.12因此a,b,c中至少有一个大于0.14,学后反思 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者是A，或者非A,即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是正确的，不可能有第三种情况出现.,举一反三3.已知a,b,c是一组勾股数，且.求证：a,b,c不可能都是奇数.,证明：假设a,b,c都是奇数,且a,b,c是一组勾股数,又a,b,c都是奇数,也都是
7、奇数,是偶数，,与已知 相矛盾,a,b,c不可能都是奇数.,易错警示,【例】设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立.求证:对定义域内任意x都有f(x)0.,错解分析 反证法的关键是从假设出发,经过推理论证得出和已知、定义、定理、公理等相矛盾.错解中从这点上出现了错误.,错解 假设f(x)0.f(x+y)=f(x)f(y),与假设f(x)0矛盾.结论成立.,正解 又f(x)0,f(x)0.对定义域内任意x都有f(x)0.,考点演练,10.函数y=(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,求 的最小值.,解析:A(-
8、2,-1),A在直线mx+ny+1=0上,-2m-n+1=0,即2m+n=1.mn0,m0,n0,当且仅当,即当m=,n=时等号成立,故 的最小值为8.,11.已知a,b,c是不等正数，且abc=1.求证：,证明：a,b,c是不等正数，且abc=1,证明：由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A,则.又由正弦定理,得,12.在ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,求证：.,第十三单元 统计、概率,知识体系,第六节 几何概型,基础梳理,1.几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发
9、生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是、等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.,2.几何概型的特点（1）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是.（2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是.,线段,平面图形,立体图,形,无限的,均等的,因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”.即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占的总面积（体积、长度）”之比来表示.,3.几何概型的计算公式一般地，在几何区域D中随机取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生
10、的概率P(A)=.,4.几何概型与古典概型的区别与联系（1）共同点：.（2）不同点：基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关.,基本事件都是等可能的,典例分析,题型一 与长度有关的几何概型【例1】（2009盐城模拟）某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.,分析 因为乘客在两车间隔的10分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包含的基本事件是无限多个，并且每个事件发生
11、的可能性都是一样的，故是几何概型问题.,解 每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时刻t可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区间(0,10上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是指点落在区间3,10上.,如图所示.设第一辆车于时刻T1到达，而第二辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长度等于7.记“等车时间不超过7分钟”为事件A，事件A发生即点t落在线段TT2上，则D的长度=T1T2=10,A的长度=TT2=7,所以P（A）=.故等车时间不超过7分钟的概率是.,学后反思 我们将每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地
12、取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定的区域内的点.这样的概率模型就可以用几何概型求解.,举一反三1.两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m的概率.,解析：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)=.,题型二 与面积（体积）有关的几何概型【例2】在5升高产小麦种子中混入了一种带白粉病种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有白粉病的种子的概率是多少？,分析 因为带病种子的位置是随机的，所以取到这种带病种子只与取得种子的体积有关.,解 病种子在这5升中的分布可以看作是随机的，取得的10
13、毫升种子可视作构成事件的区域，5升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.“取出10毫升种子中含有病种子”这一事件记为A，所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.002.,学后反思 解决此类问题，应先根据题意确定该试验为几何概型，然后求出事件A和基本事件的几何度量，借助几何概型的概率计算公式求出.,2.如图，射箭比赛的箭靶上涂有5个彩色的分环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色.金色靶心叫做“黄心”.奥运会的比赛靶面直径是122 cm,靶心直径是12.2 cm,运动员在70 m外射箭.假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是
14、多少？,举一反三,解析：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为 1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为 12.22cm2的黄心时，事件B发生.于是事件B发生的概率为,题型三 会面问题中的概率【例3】(14分)两人约定在20:00到21:00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.,分析 两人不论谁先到最多只等40分钟，即 小时,设两人到的时间分别为x、y,则当且仅当|x-y|时，两人才能见面，所以此问题转化为面积性几何概型.,解 设两人分别于x时和y时到达约
15、见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见，当且仅当|x-y|.3如图，两人到达约见地点的所有时刻（x,y）的可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示；6,两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）的点来表示.9因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，12即P=S阴影部分S单位正方形=12-13212=89.14,学后反思 对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率.根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系;在
16、此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域.解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题.,3.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时段中随机地到达，试求这两艘轮船至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.,举一反三,解析：如图，设甲到达时间为x，乙到达时间为y,则0 x24,0y24.设“至少有一艘轮船在停靠泊位时必须等待”为事件A,则0y-x6或0 x-y6.所以P（A）=.,【例】向面积为S的矩形ABCD内任投一点P，试求PBC的面积小于 的概率.,易错警示,错解 如图甲所示，设PBC的边BC上
17、的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E,则当P点到底边BC的距离小于 EF，即0PF EF时,有0 BCPF BCEF,即0SPBC.,设“PBC的面积小于”为事件A，则A表示的范围是(0,),即A=,而=S，所以由几何概型求概率的公式得.所以PBC的面积小于 的概率是.,易错分析 如图乙所示，P为矩形ABCD内任意点，PBC的边BC上的高PF为矩形ABCD内任意线段，但应满足PBC的面积小于.当PBC的面积等于 时，即 BCPF=BCEF,所以PF=EF.过点P作GH平行于BC交AB于G、交CD于H,点P的轨迹是线段GH.满足条件“PBC的面积小于”的点P应落在矩形区域GBCH内，而不是三
18、角形区域PBC内.错解的原因是不能正确构造出随机事件对应的几何图形.,正解 如图乙所示，设PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E，当PBC的面积等于 时，即 BCPF=BCEF,有PF=EF.过点P作GH平行于BC交AB于G,交CD于H.所以满足 SPBC=的点P的轨迹是线段GH.,所以满足条件“PBC的面积小于”的点P应落在矩形区域GBCH内，设“PBC的面积小于”为事件A，则A表示的范围是（0,）即A=,而=S.所以由几何概型求概率的公式得,所以PBC的面积小于 的概率是.,考点演练,10.(2009济宁模拟)甲、乙两人约定上午7:00至8：00之间到某站乘公共汽车，在这
19、段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7:20,7：40,8：00.如果他们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率.,解析：如图，设甲到达汽车站的时刻为x,乙到达汽车站的时刻为y,则7x8,7y8，即甲乙两人到达汽车站的时刻（x,y）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形.将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要想乘同一班车，必须满足7x,7y;x,y;x8,y8.即（x,y）必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，所求概率.,11.设关于x的一元二次方程.若a是从区间0,3任取的一个数,b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率
20、.,解析：设事件A为“方程 有实根”,当a0,b0时，方程 有实根的充要条件为ab.试验的全部结果所构成的区域为(a,b)|0a3,0b2,构成事件A的区域为(a,b)|0a3,0b2,ab,如图.由几何概型的定义得,12.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱可玩一次；若压在塑料板的顶点上，可获得1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上（包含压在顶点上）的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？,解析：小圆板中心用O表示，考虑O落在正方形
21、ABCD的哪个范围时，能使小圆板与塑料板ABCD的边相交，以及O落在哪个范围时能使小圆板压在塑料板ABCD的顶点上.,(1)因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交是在小圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1时，所以O落在图1中的阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交.因此，区域是边长为9 cm的正方形，图中阴影部分表示事件A：“小圆板压在塑料板的边上.”于是=99=81,=99-77=32.故所求概率P（A）=.(2)小圆板与正方形的顶点相交是在中心O到正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1时，如图2所示阴影部分，图中阴影部分表示事件B：“小圆板压在塑料板顶点上”.于是=99=81,.故所求的概率P（B）=.,
