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1、直接证明与间接证明,反证法,复习,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时如何运用？,1.综合法,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,2.分析法,3.用分析法寻求思路，再由综合法书写过程,注意：分析法要格式规范,A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？,分析:假设C没有撒谎,则A、B都撒谎.,由A撒谎,知B没有撒谎.,那么这个假设：C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.,这与B撒谎矛盾.,思考？,这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明,理
2、论,这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明,反证法是最常见的间接证法,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），,经过正确的推理，,最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做反证法。,理论,反证法的一般步骤：,假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立；,从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。,例1：已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。,证明：假设a不是偶数，则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n
3、(n+1)+1 a2是奇数，与已知矛盾。假设不成立，所以a是偶数。,注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。,例题,例2：不可能成等差数列,注：否定型命题(命题的结论是“不可能”，“不能表示为”，“不是”，“不存在”，“不等于”，“不具有某种性质”等)常用反证法,例3 已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,证：,注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法,假设方程不只一个根，不妨设x1,x2（x1 x2)是方程的两个根.,例4：已知x0,y0，x+y2，求证：中至少有一个小于2。,分析：所谓至少有一个,就是不可能没有
4、,要证“至少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可.,注:“至少”、“至多”型命题常用反证法,（1）直接证明有困难,正难则反!,归纳总结：,哪些命题适宜用反证法加以证明？,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”,（2）否定性命题,（4）至多，至少型命题,（3）唯一性命题,归纳总结：,三个步骤：反设归谬存真,归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）与假设自相矛盾。,反设：注意原结论的反面要全面、正确、准确,存真：格式规范不能少,证明：素数有无穷多个,趣味数学,证明：假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p，设q为所有素数之积加上1，那么，q=（235p）+1不是素数，那么，q必然被2、3、p中的至少一个素数整除，而q被这2、3、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾所以，素数是无限的,求证：是无理数。,假设不成立，故 是无理数。,趣味数学,练习1,练习2,练习3,求证：拋物线 上不存在关于直线x+y=0对称的两点,练习4,总结提炼,1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?,用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等,反设 归谬 存真,2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?,3.反证法的思想,课外作业,个人或者几位同学合作出一到正面处理很难的题。,
