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1、第七节直接证明与间接证明,1直接证明,推理论证,成立,证明的结论,充分条件,2.间接证明反证法：假设原命题 _(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法,不成立,矛盾,1综合法和分析法的区别和联系是什么？【提示】综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”其逐步推理实际上是寻求它的充分条件在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用,2反证法的关键是推出矛盾，所谓矛盾主要是指什么？【提示】反证法的关键是在正确的推
2、理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等,1(人教A版教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设()A三个内角都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于60【答案】B,【答案】D,【答案】b,4定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：1*11，(n1)*1n*11，则n*1_【解析】由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*121*1(n1)1n1n.【答案】n,定义在x0，1上的函数f(x)若x10，x20且x1x21，都有f(x1x2)f(
3、x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数g(x)2x1(x0，1)是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由【思路点拨】根据理想函数的定义加以判定证明,【尝试解答】g(x)2x1(x0，1)是理想函数当x0，1时，g(x)2x1是增函数，201g(x)211，即0g(x)1，则函数g(x)(x0，1)满足条件(1)，当x10，x20，且x1x21时，f(x1x2)2x1x21，f(x1)f(x2)2x12x22，f(x1x2)f(x1)f(x2)2x1x22x12x21,2x1(2x21)(2x21)(2x21)(2x11)，x10，x20，2x110，2x210，f(x1
4、x2)f(x1)f(x2)0，则f(x1x2)f(x1)f(x2)满足条件(2)故函数g(x)2x1(x0，1)是理想函数,1综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性2综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理,(2012湖南高考改编)已知函数f(x)rxxr(1r)，其中x0，r为有理数(1)若0r1，求函数f(x)的最小值(2)试用(1)的结论证明命题：设a10，a20，b1，b2为正有理数，若b1b21，则a1b1a2b2a1b1a2b2.【解】(1)
5、f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，得x1，,【思路点拨】从条件难以向结论转化转换角度从结论出发，寻找使结论成立的充分条件,1对于无理不等式，常用分析法证明通过反推，逐步寻找结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键2对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，优点是利于思考，因为它的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁,即证2a2acc20，即证(2ac)(ac)0.2acab0，ac0，(2ac)(ac)0成立，原命题成立.,(2011安徽高考)设直线l1
6、：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2y21上【思路点拨】第(1)问采用反证法；(2)求直线l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证,1当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，直用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等2用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的,已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列
7、an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列,综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用,1.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论2利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的,反证法证明的关键：(1)准确反设；(2)从否定的结论正确推理；(3)得出矛盾,从近两年高考试题看，综合法、分析法是高考考查的热点，主
8、要考查考生的观察、抽象概括、联想等思维能力，同时也考查考生运用综合分析法分析问题、解决问题的能力多在知识的交汇处命题，如数列、立体几何中的平行垂直、不等式、函数、解析几何等都可能考查在具体求解时，应注意运用转化与化归思想寻求解题思路,【解析】中，a2b2(ab)(ab)1，a，b为正实数，若ab1，则必有ab1，不合题意，故正确,【答案】,易错提示：(1)解题时不注意分析题目中条件与结论的差异之处，不能化异为同，从而导致无从下手或无的放矢(2)忽视命题真假不定，而一味地证明其为真，导致事倍功半，甚至出现错误,防范措施：(1)注意培养观察能力，即观察条件、结论，且能从数学的角度揭示其差异，如“高
9、次低次”、“分式(根式)整式”、“多元一元”等，从而为我们的化归转化指明方向，奠定基础(2)注意这类判断命题真假的题目，其解法上既要规范，又要灵活当判断为真时，需严格地推理证明；而判断为假时，只需举一反例即可,1(2012江西高考改编)下列命题中，假命题为()A存在四边相等的四边形不是正方形Bz1，z2C，z1z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C若x，yR，且xy2，则x，y至少有一个大于1D对于任意nN*，2n都是偶数,【解析】选项B中，若z1z2为实数，则保证z1，z2虚部互为相反数即可，并不需要z1，z2互为共轭复数，如z11i，z22i.故B不对【答案】B,课后作业（四十二）,
