材料力学扭转教学课件PPT.ppt

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1、第三章 扭转,3.5 等直圆杆在扭转时的变形、刚度计算,3.2 传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图,3.3 纯剪切（薄壁圆筒的扭转）,3.4 等直圆杆在扭转时的应力、强度条件,3.1 扭转的概念和实例,作用在垂直于杆件轴线的平面内的力偶矩，使得杆件的任意两个横截面都发生了绕轴线的相对转动。,扭转变形,3.1 扭转的概念和实例,扭转变形杆件的内力,扭矩（T）,轴,主要承受扭矩的构件,实例,电动机传动轴扭转,工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如示的攻丝丝锥，桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。,机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。,

2、3-2 传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图,一、传动轴的外力偶矩的计算,图示的传动机构，通常外力偶矩m不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率P 和转速n计算得到的。,若功率 P 采用公制马力（PS）表示，则外力偶矩为,轴在m作用下匀速转过角度，则功：,1PS=735.5Nm/s,1HP=745.7Nm/s,1kW=1.36PS,3 扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。,二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2 截面法求扭矩,4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,绘制扭矩图基本步骤：,确定外力建立轴

3、线坐标根据外力确定外力影响控制面、分段应用截面法分段在各控制面内求扭矩绘制扭矩图,例题 图示圆轴，受到四个绕轴线的外力偶矩的作用，各力偶的大小和方向如图所示，力偶矩的单位为Nm，试画出该圆轴的扭矩图。,解：1.确定控制面，分段2.应用截面法确定圆轴各段内的扭矩,讨论：如何布置外力偶使圆轴受力更合理？,解：其计算简图如图所示。为求得横截面上的扭矩T，先计算外力偶矩 m.,由截面法求得横截面上的扭矩T,一水轮机的功率 P=10000 PS。连结水轮机与发电机的竖轴是直径 d=650 mm、长度 l=6000 mm 的等截面实心钢轴。求当水轮机转速 n=57.7 r/min扭转时横截面上的扭矩。,例

4、题,一传动轴如图所示，其转速 n=300r/min，主动轮输入的功率为有 P1=500 kW。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为 P2=150 kW、P3=150 kW及P4=200 kW。试做轴力图。,(a),A,B,C,D,P1,P2,P3,P4,n,例题3-2图,例题,B,C,D,P1,P2,P3,P4,n,解:1.计算外力偶矩,2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图,最大扭矩在 CA段内。,例、试作轴的扭矩图。,解：根据载荷分布情况，应分三段研究。,AB段：,Mx=0：T1-3x=0,T1=3x,BC段：,Mx=0：-T2+9-3=0,T2=-6kN.

5、m,CD段：,Mx=0：T3+3=0,T3=-3kN.m,33 薄壁圆筒的扭转,一、实验：,1.实验前：,预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。施加一对外力偶 m。,2.实验后：,圆周线不变；纵向线变成斜直线。,3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。圆周线保持不变；纵向线发生倾斜,平面假设成立,相邻截面绕轴线作相对转动,横截面上没有正应力，只有剪应力,剪应力在截面上均匀分布

6、，各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切(垂直于半径)。,结论,圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为 相对扭转角，用 表示。,圆筒表面上每个格子的直角的改变量，称为 剪应变。用 表示(c,d)。,无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,微小矩形单元体如图所示：,由静力关系，得到,得到,与 的关系：,二、薄壁圆筒剪应力 大小：,三、剪应力互等定理：,上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,单元体的四个侧面上只

7、有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,T=m,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，剪应力与剪应变成正比关系。,四、剪切虎克定律：,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,外力的功：,功能原理：V=W,单位体积的剪切变形能（应变能密度）：,剪切应变 能,34 等直圆

8、杆在扭转时的应力 强度条件,等直圆杆横截面应力,变形几何方面物理关系方面静力学方面,（1）.横截面变形后 仍为平面；（2）.轴向无伸缩；（3）.纵向线变形后仍为平行。,等直圆杆扭转实验观察：,一、横截面上的应力,1.变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。,扭转角沿长度方向变化率。,T,2.物理关系：,虎克定律：代入上式得：,剪应力方向垂直于半径,根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时,2、物理关系(剪切虎克定律),极惯性矩,3.静力学关系,3.静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。,4.公式讨论：仅适用于各向同性、线弹

9、性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。,式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,单位：mm4，m4。,尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。,D,d,O,O,d,应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。,确定最大剪应力：,Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。,应力公式,1)横截面上任意点：,2)横截面边缘点：,其中：,一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆

10、管，承受扭矩 T=180 kNm。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。,解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得,(2)利用精确的扭转理论可求得,例题,在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?,解：设实心轴的直径为 d1，由,得：,0.8,0.8,1.192,0.8,0.512,例题,二、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件：沿横截面断开。,铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,1.点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(c),2.斜截面上的应力；取分离体如图

11、(d)：,(d),(d),n,t,转角规定：轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+”顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,分析：,当=0时，,当=45时，,当=45时，,当=90时，,t,由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。,低碳钢扭转破坏,铸铁扭转破坏,三、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,(称为许用剪应力。),强度计算三方面：,校核强度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kNm，t=10

12、0MPa，试校核轴的强度。,解：计算截面参数：,由强度条件：,故轴的强度满足要求。,例题,故轴的强度满足要求。,同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。,由上式解出：d=46.9mm。,空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：,功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力=30M Pa,试校核其强度。,T,m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核剪应力强度,此轴满足强度要求。,x,例题,一传动轴如图所示，其转速 n=300r/min，主动轮输入的功率为有 P1=500 kW。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为 P2=150 kW

13、、P3=150 kW及P4=200 kW。试做轴力图。,(a),A,B,C,D,P1,P2,P3,P4,n,例题3-2图,例题,解:1.计算外力偶矩,（同前面例题）实心等截面直轴，d=110mm，(1)试求截面上距轴线40mm处的点的剪应力。(2)若已知=40MPa，试校核轴的强度。,解：内力分析,由扭矩图得知T2=9.56kN.m,危险横截面在AC段，Tmax=9.56kN.m,应力计算,例题,强度计算,若AD轮互换位置，试校核轴的强度。,解：互调AD轮位置后，扭矩图如图所示:,强度不符合要求。,Tmax=15.9 kN.m,例题,若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保证同样强度条件

14、下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算空心与实心轴的材料消耗之比。,解：,由,得,d=0.9D=141mm,例题,一、扭转时的变形,相对扭转角：,GIp抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。,3-5等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件,单位长度的扭转角：,或,图3-6 所示等直圆杆，AB 两截面的相对扭转角为：,图 3-6,图3-7 所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB 两截面的相对扭转角为：,图3-7,从中取 dx 段，dx 段两相邻截面的扭转角为：,AB 截面相对扭转角为：,从中取 dx 段，该段相邻两截面的扭转角为：,AB 截面相对扭转角为：,式中：,二、刚度条件,取值可根据有关设计标淮或

15、规范确定。,或,称为许用单位扭转角。,刚度计算的三方面：,校核刚度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,下列框图表示了求解过程：,解：刚度计算,所以刚度符合要求。,Tmax=9560N.m,例题,变形计算,计算变形时，扭矩T应取代数值。,轴两端截面之间的相对扭转角为：,长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,例题,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m。,由扭转刚度条件校核刚度,

16、40Nm,x,T,右端面转角为：,图,实心圆轴受力如图示，已知材料的试设计轴的直径 D。,例题,扭矩图,解（一）绘制扭矩图如图。,（二）由强度条件设计 D。,解得：,（三）由刚度条件设计 D。,从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm。,解得：,某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率N1=500 马力，输出功率分别 N2=200马力及 N3=300马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？,解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：,T,x,

17、7.024,4.21,(kNm),例题,由刚度条件得：,T,x,7.024,4.21,(kNm),综上：,全轴选同一直径时,轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。,T,x,4.21,(kNm),2.814,解:(1)计算力偶距,(2)根据强度条件计算直径从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。,例题,若上题规定,且已知,按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮1的转角。,解：,例题,分析轴的扭矩:,解:,外力偶计算：,强度校核：,621,1432,该轴满足强度要求。,扭转轴刚度设计,刚度校核：,6

18、21,1432,该轴满足刚度要求。,扭转轴刚度设计,提高圆轴扭转强度和刚度的措施,为了使 与 下降，有两条途径。,使Tmax降低。(通过调整主动轮的位置),提高Wt 和 IP。,(b)采用空心轴。,(a)加大直径；,若d2d，则 Wt 8Wt IP 16IP,1、a5o2、dD,可以用直杆公式进行计算,弹簧丝横截面上的应力,3.6*圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,剪力Q在截面上均匀分布,扭矩T在截面上产生的应力与直线圆轴相同,弹簧丝横截面上的应力,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,考虑第一项剪应力的非均匀分布,弹簧丝的强度条件,弹簧丝横截面上的应力,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形

19、,弹簧的变形,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d=18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G=82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm，问：弹簧至少应有几圈？,解：最大剪应力的近似值：,例题,最大剪应力的精确值：,弹簧圈数：,（圈）,矩形截面杆的扭转,3.7*非圆截面杆的扭转,横截面将发生翘曲,矩形截面轴的扭转变形特征,矩形截面杆的扭转,矩形截面杆的扭转,矩形截面杆的扭转,矩形截面轴横截面上的切应力,角点的应力为零边缘上各点的应力沿切线方向,矩形截面杆的扭转,狭长矩形截面,典型非圆截面的最大剪应力,自由扭转与约束扭转,自由扭转与约束扭转,自由扭转与约束扭转,自由扭转与约束扭转,薄壁杆的自由扭转,杆件截面中心线是一条不封闭的折线或曲线,杆件截面中心线是一条封闭的折线或曲线,薄壁杆的自由扭转,薄壁杆的自由扭转,薄壁杆的自由扭转,薄壁杆的自由扭转,薄壁杆的自由扭转,薄壁杆的自由扭转,薄壁杆的自由扭转,薄壁杆的自由扭转,薄壁杆的自由扭转,薄壁杆的自由扭转,薄壁圆筒扭转实验,剪切虎克定律,剪应力互等定理,剪切变形比能,本节小结,