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1、Z 变换,1 连续时间系统的复频域分析拉普拉斯变换,傅里叶变换对一些不满足绝对可积条件的常用信号如 等，虽然其傅里叶变换存在，但带有冲激项处理不方便，尤其用傅里叶变换分析系统响应时，系统初始状态在变换式中无法体现，只能求系统的零状态响应，另外，其反变换的积分计算也不易。,我们希望有一种能扬长避短的新变换。而拉普拉斯变换的优点一是对信号要求不高一般指数阶信号的变换存在且简单；不但能将时域的卷积运算转变为代数运算，而且既能求系统的零状态响应，也能求系统的零输入响应(初始条件“自动”引入)有相对简单的反变换方法。所以拉普拉斯变换也是分析连续系统的重要数学工具，英文缩写为LT,1.1拉普拉斯变换,考虑
2、到一般实际应用的信号多为因果信号，因果信号的拉普拉斯变换也称单边拉普拉斯变换。1)单边拉普拉斯变换因果信号的傅里叶正、反变换为,式中 为收敛(衰减)因子，使 满足绝对可积条件。则：,傅里叶变换对于一些指数阶的函数处理不方便，主要原因是这类函数不收敛，例如阶跃函数,为了使函数收敛，我们在进行变换时让原函数乘以，使得 是一个收敛速度足够快的函数。即：,令 则：,的傅里叶反变换为：,两边同乘，不是 的函数，可放入积分号里，由此得到：,已知,选定 为常量，所以,代人上式且积分上下限也做相应改变，上式可写作：,式中 称为复频率，为象函数，为原函数。,可以用直角坐标的复平面(s平面)表示，是实轴，是虚轴,
3、可知傅里叶变换的基本信号元是,拉普拉斯变换的基本信号元是,不难表明傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系：傅里叶变换是在虚轴上()的拉普拉斯变换；拉普拉斯变换是傅里叶变换在s平面的推广。,2)单边拉普拉斯变换收敛区收敛区是使 满足可积的 取值范围，或是使 的单边拉普拉斯变换存在的 取值范围。,因为 的作用，使得 在一定条件下收敛，即有：,叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过 并与虚轴 平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。一旦 确定，的拉普拉斯变换的收敛区就确定了。满足此式的函数称为指数阶函数。,x(t)随时间衰减，收敛区包含虚轴，函数的傅里叶变换存在；,x(t)随时间增长
4、，收敛区不包含虚轴，函数的傅里叶变换不存在；,x(t)幅度不变，收敛区不包含虚轴，函数的傅里叶变换存在，但存在冲激项,根据x(t)随时间变化给出收敛区的大致范围,a),b),c),求象函数的方法：当拉普拉斯变换的收敛域包括 轴，可由 直接得到，仅将 换为s，即：,例1 已知 和，求f(t)拉普拉斯变换,收敛域如图a),包括虚轴,例2 求t的指数函数,(a为任意常数)的拉普拉斯变换,1.2 z 变换的定义,离散时间信号的z变换和连续时间信号的拉普拉斯变换是相互对应的，引入z变换的主要原因是傅里叶变换不是对所有序列都收敛，能有一个包括更广泛信号的傅里叶变换的推广形式的有用的。z变换把描述离散系统的
5、差分方程，变换成代数方程，使其求解过程得到简化。这一作用类似连续时间系统的拉普拉斯变换。,z变换的定义任意序列 的离散时间傅里叶变换（DTFT）可以表示为：,其反变换为,据此，序列 的z变换 定义为：,此式一般是一个无穷项的和或者无穷项幂级数，其中z是复变量。也可把它看成一个算子，它将一个序列变换成为一个函数，即将序列 变换为函数，z是一个连续复变量。这称为双边z变换，而与此相对应的单边z变换的定义为：,显然，仅当 时，双边和单边z变换才相等。,由拉普拉斯变换到z变换,是由连续信号x(t)经抽样得到的,取拉普拉斯变换,令，将采样周期Ts归一化为1，简记为,与z变换的定义一致,拉普拉斯复变量，对
6、应连续系统及连续信号的角频率，单位是弧度/秒,令,则,对应离散系统和离散信号的圆周频率，单位是弧度,只要 绝对可和，即：,x(n)的z变换存在,序列 的z变换看成是 和指数序列 相乘后的傅里叶变换。,比较离散时间傅里叶变换和z变换的定义，若令：则z变换就蜕化为离散时间傅里叶变换，即 变成 因为当序列的傅里叶变换存在时，它就是 的。,r=1时,由于z变换是复变量的函数，因此利用复数z平面来描述和阐明z变换是方便的。在z平面，的围线就是半径为1的圆，称为单位圆。z变换在单位圆上的求值就是傅里叶变换，是单位圆上的某一点z的矢量与复平面实轴的夹角。,z变换与拉氏变换的关系的闭合形式,通过上面分析给出复
7、变量s和复变量z的对应关系，也给出s平面到z平面的映射规律s平面上的复变量s是直角坐标，z平面上的复变量z是极坐标s平面上的 轴对应单位圆（）拉普拉斯变换演变为傅里叶变换，s平面的左半面，对应,单位圆内，s平面的右半面，对应,单位圆外,z变换与拉氏变换的映射关系,z变换与拉氏变换的映射关系,z变换与拉氏变换的映射关系,z变换与拉氏变换的映射关系,z变换与拉氏变换的映射关系,傅里叶变换在频率上固有的周期性就自然得到了，因为在z平面上 弧度的改变相当于绕单位圆一次，然后又重新回到原来的同一点上来。,s平面到z平面的映射不是单一的,f在虚轴上变化,每间隔，在 范围变化,称为归一化频率,1.3 典型序
8、列的z变换,1.4 z变换的收敛域,傅里叶变换的幂级数不是对所有序列都收敛，也就是说该无穷项之和可能不总是有限的。同样，z变换也不是对所有序列或对全部z值都收敛。对给定的序列，使z变换收敛的那些z值就称为z变换的收敛域，缩写ROC.,傅里叶变换的一致收敛要求序列是绝对可和的，那么z变换收敛的收敛条件为：,由于序列乘以实指数，有可能傅里叶变换不存在时，z变换收敛。如阶跃序列 不是绝对可和的，因此它的傅里叶变换不收敛。然而 在 时是绝对可和的，这表明阶跃序列 的z变换在收敛域 内存在。,和 是z的多项式，且 的根是 的零点，使 的根是 的极点，使 成为无穷大。,在其收敛域内是一个有理函数，可表示为
9、,一般收敛域用环状域表示：,令,可得：,收敛域分别是以 为半径的两个圆组成的环状域，称收敛半径，可以大到无穷大，小到0,右边序列的收敛域,为了使 收敛就要求,因此,或,一个零点，一个极点,时序列随 衰减，序列的傅里叶变换收敛，收敛域包括单位圆，,时序列随 增长，序列的傅里叶变换不收敛，收敛域不包括单位圆，,左边序列的收敛域,为了使 收敛就要求,因此,时，序列随 指数增长，序列的傅里叶变换不收敛，当然收敛域不包括单位圆。,时，序列随 衰减，序列的傅里叶变换收敛，收敛域包括单位圆,一个零点，一个极点,上述两个序列的z变换的代数表达式和零极点完全相同，差异仅在收敛域不同，则对应不同的序列因此给定z变
10、换表达式，同时一定要给出它的收敛域。,无限长双边序列,利用上面的结果,两个零点两个极点收敛域,一般性讨论,1）有限长序列,收敛域：有限项，只考虑 0 和，其余地方都收敛,无负幂项,无正幂项（因果序列）,同时有正、负幂项,2）无限长右边序列,因果序列，无正幂项,非因果序列，有正幂项,因此，收敛域为：,有限长序列,无限长序列,3）无限长左边序列,因此，收敛域为：,有限长序列,无限长序列,或,若 则无收敛域,4)无限长双边序列,左序列,右序列,若 则其收敛域为,例，a为实数，求其z变换及收敛域,第一项的收敛域,第二项的收敛域,若 公共收敛域为,若 则没有公共收敛域,零点,极点,ROC在z平面是中心在
11、原点的圆环或圆盘当且仅当x(n)的z变换的收敛域包括单位圆时，x(n)的傅里叶变换才绝对收敛ROC内不能有任何极点若x(n)是有限长序列，即除在有限区间 内，其余均为零，那么ROC就是整个z平面，可能不包含z=0或,z变换收敛域的性质,若 是右序列，那么ROC是从X(z)最大幅度的有限极点向外延伸至(可能包括)若 是左序列，那么ROC是从X(z)最小幅度的非零极点向内延伸至(可能包括)若 是双边无限序列，ROC是由一个圆环组成，内外界均有某一极点确定，且其内不能包含任何极点ROC必须是一个连通区域,零点,极点,收敛域,或,既不是零点也不是极点,零点,极点,收敛域,或,既不是零点也不是极点,1.
12、5 z变换性质,线性设：,则,收敛域至少是两个单一收敛域的交集，若有零极点相消的情况，那么收敛域将一如某些零点抵消的极点，收敛域将扩大。,时移设双边z变换,则,置换变量,证明,时移设单边z变换,则,对于因果序列,但左移,右移,乘以指数序列设,则,证明,所以,或,X(z)的微分设,证明,复序列的共轭设,则,证明,初值定理设 是因果序列，,则,证明,考虑每一项的极限，可得证,终值定理设 是因果序列，其z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其他极点均在单位圆内，则：,证明，利用序列的线性和位移性质,是因果序列,因为 在单位圆上没有极点，上式两端对取极限,序列的卷积设,证明,则：,1.6 z反
13、变换,z变换的重要作用之一是在离散时间线性系统分析中。这种分析往往涉及求序列的z变换，再将该代数表达式经过某种运算处理后，求z反变换得到处理后的序列已知序列的z变换及其收敛域，求序列称为求z反变换1)观察法2)长除法(幂级数展开法)3)部分式展开法4)留数定理法,1)观察法,本方法就是由某些熟悉的，或凭观察就能辨认出来的变换对所构成。如根据：,可以求,2)长除法(幂级数展开法),按照z变换的定义，长除法可以将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)若x(n)是右序列，级数应该是负幂级数若x(n)是左序列，级数应该是正幂级数,复杂情况下难以得到封闭解,例,根据收敛域，此序列是右序列，分
14、子和分母按照的z-1升幂排列,因此，根据z变换的定义，同时，序列是右序列,例,根据收敛域，此序列是左序列，分子和分母按照的z-1降幂排列,因此，根据z变换的定义，同时，序列是左序列,可能不是直接给出的简单形式，我们可以将它表示成一些简单项之和，每一项都可以从表格中查到。对于任意一个有理函数就属于这种情况，因为可以对有理函数求得一个部分项展开，而相对应单个项的序列非常容易辨认：,3)部分分式展开法,是一种等效表示，这样的函数在z平面非零区域有M个零点，N个极点；若MN，在z=0处还有M-N个极点；若NM，在z=0处还有N-M个零点，表示成如下形式最方便：,ck是非零值零点，dk是非零值极点,两边
15、乘以 并对 求值，系统 就能够由下式求得,若MN且极点都是一阶的，则可以表示成：,例,根据收敛域分析，序列是右序列，极点都为一阶，所以可以表示为,可求,由于序列是右边序列，所以,若,那么应该表示为：,可以用长除法直至余式的阶数低于分母的阶数，然后使用上述方法确定Ak,例,M=N，且极点均为一阶,B0用长除法求得，根据收敛域可知序列是右序列,此时，第二项MN，可用上述方法确定Ak,因此：,序列,X(z)有多重极点,X(z)有一个s阶级点z=di,其余都是一阶级点且,或,已知,求x(n),4)留数定理法,围线积分，积分是沿曲线c进行的，曲线c是收敛域 中 一条逆时针的封闭曲线。直接计算围线积分非常
16、麻烦，一般采用以下方法：留数定理,若围线c内的极点用zk表示，那么根据留数定理，将求围线积分转换为求围线内所有留数的和：,表示 在极点z=zk处的留数,zk是单极点：,zk是N阶极点：,对于N阶极点，需要求导N-1次，比较麻烦，可以通过留数辅助定理来计算曲线c外面极点的留数之和。设在z平面上有N个极点，围线c将他们分成两部份：N1个c内极点z1k和N2个c外极点z2k，,条件：的分母的阶次比分子的阶次高二阶以上,例,极点：,N阶，用留数辅助定理，围线外无极点因此：,所以：,例,没有给定收敛域，分别讨论：,右序列，只求 的情况,有两个极点,左序列，只求 的情况，围线内n阶极点,改求围线外极点,双边序列,c内有一个极点z=a,c内有两个极点z=a，z=0（n阶），c外有一个极点z=a-1,所以,1.7 DFT、DTFT、z变换的关系,为N点有限长序列,在z平面上的收敛域内取值，仅在单位圆上取值，是在单位圆上N个等距点上取值(采样值),说明N点序列的z变换可以用其N点DFT系数来表示,令,说明N点序列的连续谱 可以用其离散谱 插值后得到,
