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1、怎样利用割补法解立体几何中的问题,执教：李雪峰,华东师范大学附属东昌中学,1、用割补法求体积,2、用补形法求二面角,3、用补形法求异面直线所成角,二、用割补法解决立体几何中的几类问题,提问:什么叫割补法呢?,一、引言,提问:什么叫割补法呢?,如图：ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD=3，FC=4，AE=5。求：此几何体的体积？,一、补形法,用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。,分析：,V几何体=V三棱柱,二、分割法,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱 和一个四棱锥。,如图：取 CM=AN=BD,连结 DM,MN,DN。,分析：,V几何体=V
2、三棱柱+V四棱锥,如图：ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD=3，FC=4，AE=5。求：此几何体的体积？,例1.如图:斜三棱柱的一个侧面 ABB1A1的面积为 S，侧棱 CC1 到这个侧面的距离为 h。求：斜三棱柱的体积。,如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体）,则 V四棱柱 Sh,V三棱柱 sh,1、求体积,例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，求：此多面体的体积。,解一：,例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结
3、成一个多面体，求：此多面体的体积。,解二：用分割法,例3.如图：已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 CC1、AA1的中点,求：四棱锥 AMB1ND 的体积,VADMN=VM ADN,底面积：,V四棱锥=2VA DMN=,解(简):,2、求二面角,例4.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA平面ABCD，如果AB=PA。求：平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角的大小。,如图所示、将左图补成一个正方体。,平面 ABP 即为平面 ABB1P 所在平面,平面 PDC 即为平面 PDCB1 所在平面,所求二面角即为正方体的对角面 PDCB1与侧面 ABB1
4、P所成角,即：CB1B=,解：,例5.如图：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB=90。，BC=5，AC=9，CC1=12 求：CB1与 AC1所成的角的大小,如图,补一个相同的直三棱柱,连结C1B2，AB2，则CB1C1B2 AC1B2（或其补角）就是 AC1和 CB1所成的角。,在AC1B2中，有余弦定理得：,AC1和B1C所成的角为AC1B2的补角。其值为：,解,3、求异面直线所成角,1、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10，BC=AD=12，求：四面体 ABCD 的体积。,2、如图：正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3。求：侧面 PAB 与 PCD 所成的二面角的大小
5、。,3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点，求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角的大小。,练习：,（第1题）,（第3题）,（第2题）,1、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10，BC=AD=12，求：四面体 ABCD 的体积。,取 BC 的中点 E，,则 AEBC，DEBC。,V四面体=VBADE+VCADE,2、如图：正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 3。求：侧面 PAB 与 PCD 所成的二面角。,3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点，求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角。,如图，补一个正方体，取 C1F 的中点 E1，则 BE
6、CE1,A1CE1（或其补角）为 A1C与 BE 所成的角。,在A1CE1中，有余弦定理得：,A1C和 BE 所成的角即为A1CE1，其值为,可得：,解:,复杂的几何体都是由简单几何体组成，在求体积时，注意利用分割的思想。另外，应注意改变对几何体的观察角度，以得到最佳求积法。,在立体几何中利用补形的方法可以既简单又巧妙地解决很多问题。,割补法是重要的数学方法之一。,小结,注意！,谢谢指导！,例3.如图：已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 AA1、CC1 的中点,求：四棱锥 AMB1ND 的体积,四棱锥 AMB1ND的底面为菱形，高：A到底面的距离为多少？,连接 MN，把四棱锥分割成两个三棱锥,MB1ND为菱形，SB1MN=SDMN,VAB1MN=VADMN,V四棱锥=2VA DMN,分析：,分割：,高相等,如图：在正方体AC1中，棱长为 a，有一截面，其中 M、N 分别为 AD、CD 的中点，求：截面分正方体所成大小两部分的体积之比。,思考：,
