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1、,2.全等三角形的判定:,一般三角形全等的判定：,SAS、ASA、AAS、SSS,直角三角形全等的判定：,SAS、ASA、AAS、SSS、HL,一般三角形 全等的条件：,1.定义（重合）法；,2.SSS；,3.SAS；,4.ASA；,5.AAS.,直角三角形 全等特有的条件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,3.三角形全等的证题思路：,1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时 要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有公共边的，
2、公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。,例题选讲,1：如图，D在AB上，E在AC上，且B=C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定ABEACD的是()AAD=AE B AEB=ADCCBE=CD DAB=AC,B,2：已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等的三角形共有()A1对 B2对 C3对 D4对,D,3.如图：在ABC中，C=900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=。,12,c,A,B,D,E,4 已知：ACBC
3、，BDAD，AC=BD.求证：BC=AD.,5:下面条件中,不能证出RtABCRtA BC的是(A.)AC=AC,BC=BC(B.)AB=AB,AC=AC(C.)AB=BC,AC=AC(D.)B=B,AB=AB,C,6：如图，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使ADBCEB。,BE=BD,BA=BC,DA=EC,7：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。,已知：如图，AD是ABC 的中线，求证：,E,证明：,中线延长它一倍,课堂练习,1.已知BDCD，ABDACD，DE、DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F，求证
4、：DEDF,2.点A、F、E、C在同一直线上，AFCE，BE=DF，BEDF，求证：ABCD。,证明：,4.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,3.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？,当顺时针旋转10时，,3.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？,当顺时针旋转60时，,3.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，
5、C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？,当顺时针旋转120时，,3.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？,当顺时针旋转180时，,3.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？,当顺时针旋转240时，,4.已知，ABC和ECD都是等边三角形，当ABC绕点C顺时针旋转时，连接BE，DA；结论BE=A
6、D还成立吗？若成立请加以证明。,引申：.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，AC与BE相交于M，CE与AD相交于N，试判定的形状,解：是等边三角形,证明：,（）先证ACE,（）证明BCEACDBECADC,（）在证MCENCDCM=CN,5：如图，已知E在AB上，1=2，3=4，那么AC等于AD吗？为什么？,解：AC=AD,6：如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。,答：,ABCDEF,证明：,ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在ABC和DEF中 AC=DF A=D AB=DE A
7、BCDEF（SAS）,7：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：EGAF 求证：,高,8.如图，在等边ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，（不是中点）且ADBECF，图中全等三角形有那些？,解：共六个,BEHCFI,BHBCICAG,BEBCFCAD,HFBIDCGE,BFBCDCAE,8引申如图，在等边ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，（不是中点）且DEF也是等边三角形，图中（）除已知相等的边外，还有那些相等的线段？（）你所证明的相等的线
8、段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程,解：（）AE=BF=CD,AF=BD=CE,（2）这些相等的线段可以看出平移 旋转而得到，如AE和BF，把AE绕这A点沿顺时针方向选旋转，再沿着AB方向平移使点A至点F即可得到BF，其余类同,8引申如图，在等边ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，（不是中点）且DEF也是等边三角形，图中（）除已知相等的边外，还有那些相等的线段？（）你所证明的相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程,解：（）AE=BF=CD,AF=BD=CE,（2）这些相等的线段可以看出平移 旋转而得到，如AE和BF，把AE绕这A点沿顺时针方向选旋转，再向下
9、然后再向左平移使点A至点F即可得到BF，其余类同,.阅读理解,（）如果两个三角形均为直角三角形，显然它们全等,1阅读：,我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等。,（）如果两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等,（）如果两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等,2证明：,请你从（）（）选择一个加以证明,（）如果两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等,已知：ABC和ABC均为锐角，且AB=AB，AC=AC，B=B，求证：ABCABC，,已知：ABC和ABC均为锐角，且AB=AB，AC=AC，B=B，求证：ABCABC，,D,D,证明：分别作B，
10、B两点作BDCA于D，BDCA于D，,先证：ABDABD,再证：ABCABC,（3）由此你得出一个什么结论：,结论：两边及其中一边的对边分别相等的两个锐角（直角三角形或者钝角三角形）三角形是全等三角形,10 已知命题：如图点A，D，B，E在同一条直线上，且ADBE，A=FDE，则ABCDEF，判定这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请加以证明；如果是假命题，请 添加一个适当的条件使它称为真命题，并加以证明,解答：题设命题是假命题；可以下添加一个条件均可证明三角形全等,（1）当ACDF,（）CBAE,（）CF,证明：略,1 已知：如图线段AC与BD 相交与点O，连接AB，DC，E为OB的中点
11、，F为OC的中点，连接EF；,（1）添加条件A=D，OEF=OFE，求证：ABDC,（）分别将AD记为；OEFOFE记为；AB=DC记为；添加条件，以为结论构成命题1；添加条件，以为结论构成命题2，命题1是命题；命题2是命题（选“真”或“假”）,证明：（1）略,（）命题1为真命题；可以AAS证明；命题2是假命题，此命题的条件为SSA，不能证明全等,13 已知点A，E，F，C在同一条直线上，且AECF，过EF两点分别作DEAC，BFAC，且ABCD，（）求证：BD平分 EF（2）若将DEC的边EC沿AC方向移动，变化为2时，其余条件不变，上述结论是否成立，说明理由,E,证明：在DC上截取DEDB
12、，连接AE,。如图在三角形ABC中，BC上的高为AD，且B=2C求证：CD=ABBD,15 已知AFD和CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，有如下四个论断：（1）ADCB（）AECF（3）B=D（4)AD/BC,请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。,其中的组合是错误的，无法证明,解：由（1）（2）（3）为条件（4）为结论,由（1）（2）（4）为条件（3）为结论,由（1）（3）（4）为条件（2）为结论,由（2）（3）（4）为条件（1）为结论,下面我们以为例写出已知，求证，并进行证明 已知：AECF，B=D，AD/BC 求证：AD=BC,证明：略,16 在
13、正方形ABCD中，E是AD是中点，F是BA的延长线的一点，AF=AE，已知ABE,（）在图中可以通过平移，翻折，旋转中的哪一种方法，使ABE变到的位置,（）线段BE与DF有什么位置关系？证明你的结论,解：图中通过绕A点按逆时针方向旋转，使ABE变到的位置（图）,理由：延长BE交DF于点G，,G,ABE,ABE=ADF,又AEB=DEG,DGB=DAB,BEDF,17。如图在三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BC两点在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于点E,求证：（）=DE+CE,提示证明：ABDACE（AAS）,证明：,17。如图在三角形ABC中，BAC=9
14、0，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BC两点在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于点E,求证：（）=DE+CE,（）若直线AE绕点A旋转到右图位置时，（BDCE），其余条件不变，问BD与DE和CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明,提示证明：ABDACE（AAS）得到BD=DE-CE,17。如图在三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BC两点在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于点E,求证：（）=DE+CE,（）若直线AE绕点A旋转到右图位置时，（BDCE），其余条件不变，问BD与DE和CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明,（）若直线AE绕点A旋转到右
15、图位置时，（BDCE），其余条件不变，问BD与DE和CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明,提示证明：ABDACE（AAS）得到BD=DE-CE,17。如图在三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BC两点在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于点E,求证：（）=DE+CE,（）若直线AE绕点A旋转到右图位置时，（BDCE），其余条件不变，问BD与DE和CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明,（）若直线AE绕点A旋转到右图位置时，（BDCE），其余条件不变，问BD与DE和CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明,（）归纳（）（）（）请用简洁的语言表达BD，DE和C
16、E的关系,归纳：当B，C在AE的异侧时，BDDE+CE；当B，C在AE的同侧时，BD=DE-CE,拓展题,1.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF,2.已知AB=AE,AC=AD,ACAD,ABAE;,E,C,A,B,2,1,D,(2)怎样变换ABC和AED中的一个位置,可使它们重合?,(3)观察ABC和AED中对应边有怎样的位置关系?,(4)试证EDBC,(1)观察图中有没有全等三角形?,3.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。,要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：,1、可在长线
17、段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。,2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）,线段和（差），延长（截取）证相等,4.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1）；（2）；,5.如图，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEA
18、C交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.,6.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG求证：ADG 为等腰直角三角形。,7.已知：如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC,总结提高,学习全等三角形应注意以下几个问题：,（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；,（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；,（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；,（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”,
