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1、,7.1 为什么要证明,第七章 平行线的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学上（BS）教学课件,学习目标,1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理（重点）2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确（难点）,导入新课,观察与思考,两图中的中间圆大小一样吗？,这两个色块颜色有什么不同？旋转再看看,线段AB和CD长度完全相等,虽然它们看起来相差很大!,是静还是动？,平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!,你觉得观察得到的结论正确吗？,讲授新课,判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、实验还不够；,必须经过一步一步
2、、有根有据的推理.,请举例说明，你用到过的推理.,考考你的眼力,线段a与线段b哪个比较长？,谁与线段d在一条直线上？,a,b,检验你的结论,a=b,做一做,如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？,解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道 之间的间隙为：,它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.,费 马,对于所有自然数n，的值都是质数.,欧 拉,举出反例是检验错误数学结论的有效方法.,大数学家也有失误,归纳总结,这个故事告诉我们：1.学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.,2.没有严
3、格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.,3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.,【类型一】实验验证,例1：先观察再验证,(1)图中实线是直的还是弯曲的？(2)图中两条线段a与b哪一条更长？(3)图中的直线AB与直线CD平行吗？,解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与DC不平行而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a与b一样长；(3)AB平行于CD.,方法归纳,有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论
4、,【类型二】推理证明,例2：当n为正整数时，代数式(n25n5)2的值都 等于1吗？,解：当n1时，(n25n5)2121；当n2时，(n25n5)2(1)21；当n3时，(n25n5)2(1)21；当n4时，(n25n5)2121；当n5时，(n25n5)252251.所以当n为正整数时，(n25n5)2不一定等于1.,【方法总结】验证特例是判断一个结论错误的最好方法,【类型三】举出反例,例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OAOC，OBOD.(1)若BOC30，求AOB和COD的度数；(2)若BOC54，求AOB和COD的度数；(3)由(1)、(2)你发现了什么？
5、(4)你能肯定上述的发现吗？,分析：图中AOB、COD均与BOC互余，根据角的和、差关系，可求得AOB与COD的度数通过计算发现AOBCOD，于是可以归纳AOBCOD.,例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OAOC，OBOD.(1)若BOC30，求AOB和COD的度数；,解：(1)OAOC，OBOD，AOCBOD90.BOC30，AOBAOCBOC903060，CODBODBOC903060.,例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OAOC，OBOD.(2)若BOC54，求AOB和COD的度数；,解：(2)AOBAOCBOC905436，COD
6、BODBOC905436.,例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OAOC，OBOD.(3)由(1)、(2)你发现了什么？,解：(3)由(1)、(2)可发现：AOBCOD.,例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OAOC，OBOD.(4)你能肯定上述的发现吗？,解：(4)AOBBOCAOC90，BOCCODBOD90，AOBBOCBOCCOD.AOBCOD.,【方法总结】检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验猜想归纳结论推理正确结论,当堂练习,1.下列结论中你能肯定的是（）A.今天下雨，明天必然还下雨B.三个连续整数的积一定能被6整除C.
7、小明在数学竞赛中一定能获奖D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人2.下列问题用到推理的是（）A.根据a=10，b=10,得到a=bB.观察得到三角形有三个角C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘D.由经验可知过两点有且只有一条直线,B,A,4.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：罪犯不在A,B,C三人之外；C作案时总得有A作从犯；B不会开车.在此案中肯定的作案对象是（）A嫌疑犯A B嫌疑犯B C嫌疑犯CD嫌疑犯A和C,D,3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（）A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形,D,为什
8、么要证明,数学结论必须经过严格的论证,课堂小结,实验验证,举出反例,推理证明,论证方法,7.2 定义与命题,第七章 平行线的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 定义与命题,八年级数学上（BS）教学课件,学习目标,1.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果那么”的形式（重点）2.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例（难点）,导入新课,观察与思考,小华与小刚正在津津有味地阅读我们爱科学.,这个黑客终于被逮住了.,是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但.,这个黑客是个小偷吧？,可能是个喜欢穿黑衣服的
9、贼.,坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.,小明的百米成绩有进步，已达到9秒9.,好！继续努力,争取超过10秒.,不要再抢啦！每个人发一个球！,有一位田径教练向领导汇报训练成绩；,相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争抢非常激烈.于是命令:,讲授新课,交流必须对某些名称和术语有共同的语言认识才能进行.,根据上面的情境，你能得出什么结论？,要对名称和术语的含义加以描述，作出明确规定.也就是给出它们的定义.,请你举出你所熟知的一些定义例子,例如:1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义;2.“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距
10、离”是“两点之间的距离”的定义;3.“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.,你还能举出曾学过的“定义”吗?1.无限不循环小数称为无理数；2.两条边相等的三角形叫做等腰三角形；3.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；4.一般的，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y有唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x的函数.,想一想,下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流.1.任何一个三角形一定有一个角是直角；2.对顶角相等；3.无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都
11、是质数；4.如果两天直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；5.你喜欢数学吗？6.做线段AB=CD.,2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么 它就不是命题.,如：画线段AB=CD.,1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.,如：相等的角是对顶角.,注意：,像这样判断一件事情的语句，叫作命题（statement）.,命题的概念,概念学习,典例精析,例1：下列句子都是命题吗？(1)熊猫没有翅膀.如果一个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.(2)对顶角相等.如果两个角是对顶角，那么它们就相等.(3)平行于同一条直线的两条直线平行.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两
12、条直线也互相平行.,都是命题,命题一般都可以写成“如果那么”的形式.反之,如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.,例如,下列句子都不是命题:(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.清新的空气.不许讲话！,1.如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；3.如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；这些命题有什么共同的结构特征？,观察下列命题：,命题一般都可以写成“如果那么”的形式.1.“如果”后接的部分是题设,2.“那么”后接的部分是结论.,如命题：熊猫没有翅膀.改写为：,如果
13、这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.,注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.,命题,题设,结论,已知事项,由已知事项推出的事项,两直线平行，同位角相等,题设（条件）,结论,命题的组成：,总结归纳,例2：下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果ab,bc,那么a=c；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）全等三角形的面积相等.,解:（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角.(2)条件：ab,bc，结论：a=c.(
14、3)条件：两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等，结论：这两个三角形全等.(4)条件：两个三角形全等，结论：它们的面积相等.,特别规定：正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.,命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”,观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？,命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.,命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”,想一想,“因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人捌了，我知道张三家没有种玉米。所以我家玉米肯定是张三捌的.”,片段1：一天早上，李老汉来到衙门里告状说：张三刚刚在他地里偷捌了一袋子
15、玉米.吕县令立即派衙役将张三拘捕到县衙审讯:吕县令问李老汉：“你怎知是张三偷了你的玉米?”,李老汉想证明什么？他是怎么证明的？,这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法.,故事分析,根据李老汉的证明，你能断定玉米是张三偷的吗？你觉得有疑点吗？,片段2：县官一时拿不定主意，就问旁边的县丞道：“师爷，你怎么看？”县丞说“这事要证明是张三干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚捌的玉米，还要看看地里的脚印是不是张三的，才行。如果袋子里装的是刚捌的玉米，且地里的脚印是张三的，那就一定是他偷的。”,从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析.,在分析的过
16、程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可从已知条件中推得.那么判断就很容易了.,说明假命题的方法：,举反例,使之具有命题的条件，而不具有命题的结论.,（1）同旁内角互补（）,（4）两点可以确定一条直线（）,（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（）,（2）一个角的补角大于这个角（）,判断下列命题的真假.真的用“”，假的用“表示.,（5）两点之间线段最短（）,（3）相等的两个角是对顶角（）,（6）同角的余角相等（）,练一练,当堂练习,下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？对顶角相等.画一个角等于已知角.两直线平行，同位角相等.a、b两条直线平行吗？温柔的李明明.玫瑰花是动物.若a24，求a的值
17、.若a2 b2，则ab.,不是,是,不是,不是,是,不是,是,是,(9)八荣八耻是我们做人的基本准则.,是,2 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）正数大于一切负数吗？（2）两点之间线段最短.（3）不是无理数.（4）作一条直线和已知直线平行.,（）,（）,（）,（）,定义与命题,定义,课堂小结,概念：判断一个事件的句子,结构：如果那么,分类：真命题、假命题,命题,7.2 定义与命题,第七章 平行线的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 定理与证明,八年级数学上（BS）教学课件,学习目标,1.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理（重点）2.体会命题证明的
18、必要性，体验数学思维的严谨性（难点）,导入新课,观察与思考,如何证实一个命题是真命题呢？,用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.,这些方法往往并不可靠.,那已经知道的真命题又是如何证实的?,能不能根据已经知道的真命题证实呢?,讲授新课,思考：如何证实一个命题是真命题呢？,了解原本与几何原本；了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例1.原名:某些数学名词称为原名.2.公理:公认的真命题称为公理.3.证明:除了公理外,其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.4.定理:经过证明的真命题称为定理.,证实其他命题的正确性,推理,推理的过
19、程叫证明,经过证明的真命题叫定理,原名、公理,一些条件,+,总结归纳,本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条:1.两点确定一条直线;2.两点之间线段最短;3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;8.三边分别相等的两个三角形全等.,公理,等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）都可以看作公理“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”
20、.这一性质也看作公理,简称为“等量代换”.,其他公理,证明定理“对顶角相等”,例1：如图，直线AB与直线CD相交于点O，AOC与BOD是对顶角.,求证：AOC=BOD,证明：,AOB与COD都是平角(),平角的定义,AOCAOD180,补角的定义,AOC=BOD(),同角的补角相等,直线AB与直线CD相交于点O(),BODAOD180,(),已知,例2 已知：bc，ab,求证：ac,证明：a b（已知）,1=90（垂直的定义）,又 b c（已知）,2=1=90（两直线平行，同位角相等）,a c（垂直的定义）.,典例精析,当堂练习,1.“两点之间，线段最短”这个语句是（）A.定理 B.公理 C.
21、定义 D.只是命题,2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（）A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题,B,C,命题,证明：推理的过程,课堂小结,公理：公认的真命题,定理：经过证明的真命题,分类,7.3 平行线的判定,第七章 平行线的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学上（BS）教学课件,学习目标,1.了解并掌握平行线的判定公理和定理（重点）2.了解证明的一般步骤（难点）,导入新课,观察与思考,请找出图中的平行线！它们为什么平行?,讲授新课,公理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行,据说,人类知
22、识的75%是在操作中学到的.小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？通过这个操作活动,得到了什么结论?,实验猜想,定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.这个定理可以简单说成:内错角相等,两直线平行.,你能运用所学知识来证实它是一个真命题吗?,如图,1和2是直线a,b被直线c截出的内错角,且1=2.求证:ab.,证明:1=2(已知),1=3(对顶角相等).2=3.(等量代换).ab(同位角相等,两直线平行).,定理证明,判定方法2：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.,简单说成：内错角相等，两直线平行.,3=2(已知)ab（
23、内错角相等，两直线平行）,应用格式：,总结归纳,如图，1和2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且1与2互补.求证：ab,定理证明,证明:1与2互补(已知),1+2=180(互补的定义).1=180-2(等式的性质).又3+2=180(平角的定义),3=180-2(等式的性质).1=3(等量代换).ab(同位角相等,两直线平行).,判定方法3：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.,简单说成：同旁内角互补，两直线平行.,应用格式：,1+2=180(已知)ab（同旁内角互补，两直线平行）,总结归纳,2=6（已知）_(),3=5（已知）_(),4+_=180o（已知）_(
24、),AB,CD,AB,CD,5,AB,CD,A,C,1,4,2,3,5,8,6,7,B,D,同位角相等,两直线平行,内错角相等,两直线平行,同旁内角互补,两直线平行,F,E,典例精析,例1：根据条件完成填空.,1=_（已知）ABCE(),1+_=180o（已知）CDBF(),1+5=180o（已知）_(),AB,CE,2,4+_=180o（已知）CEAB(),3,3,1,3,5,4,2,C,F,E,A,D,B,内错角相等,两直线平行,同旁内角互补,两直线平行,同旁内角互补,两直线平行,同旁内角互补,两直线平行,练一练：根据条件完成填空.,ABMN（内错角相等，两直线平行.）,解：,MCA=A（
25、已知）,又 DEC=B（已知）,ABDE（同位角相等，两直线平行.）,DEMN（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.）,例2：如图，已知MCA=A，DEC=B，那么DEMN吗？为什么？,已知3=45，1与2互余，试说明？,解：1=2（对顶角相等）1+2=90(已知)1=2=45 3=45(已知)2=3 ABCD(内错角相等，两直线平行),AB/CD,练一练,例3：如图所示，已知OEB=130，OF平分 EOD，FOD=25，ABCD吗？试说明,解：ABCD；OF平分EOD，FOD=25 EOD=50 OEB=130 EOD+OEB=180 ABCD.,做一做,内错角相等，
26、两直线平行.,同旁内角相等，两直线平行.,做一做,同位角相等，两直线平行.,内错角相等，两直线平行.,同旁内角相等，两直线平行.,当堂练习,1.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到ab的是()A.1=2 B.2=4C.3=4 D.1+4=180,【解析】1的对顶角与4是同旁内角，若1+4=180，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到ab.,D,2.如图所示，1=75，要使ab,则2等于()A.75B.95C.105D.115,【解析】1的同位角与2互为补角，所以2=180-75=105.,C,3.如图，请填写一个你认为恰当的条件_，使ABCD.,【解析】此题答案不唯一，填写的条件可以是CD
27、A=DAB或PCD=BAC或BAC+ACD=180等.答案：答案不唯一，如CDA=DAB.,4.如图,已知1=30,2或3满足条件_ _ _，则a/b.,2150或330,5.如图.（1）从1=4，可以推出，理由是.,(2)从ABC+=180，可以推出ABCD，理由是.,AB,内错角相等，两直线平行,CD,BCD,同旁内角互补,两直线平行,(3)从=，可以推出ADBC，理由是.,(4)从5=，可以推出ABCD，理由是.,2,3,内错角相等，两直线平行,ABC,同位角相等,两直线平行,判定两条直线平行的方法,同位角,内错角,同旁内角,1=2,3=2,2+4=180,课堂小结,a,b,c,1,2,
28、4,3,7.4 平行线的性质,第七章 平行线的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学上（BS）教学课件,学习目标,1.理解并掌握平行线的性质公理和定理（重点）2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明（难点）,问题 平行线的判定方法是什么？,思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?,导入新课,回顾与思考,讲授新课,合作探究,问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？,问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？,两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.已知，如图，直线ABCD,1和2是直线AB、CD被直线E
29、F截出的同位角.求证：1=2.,文字语言,符号语言,问题3：你能说说证明的思路吗？,A,B,C,D,E,F,M,N,1,2,证明：假设1 2，那么我们可以过点M作直线GH，使EMH=2，如图所示.根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH CD.又因为AB CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明1 2的假设不成立，所以1=2.,如果1 2，AB与CD的位置关系会怎样呢？,一般地，平行线具有如下性质：,定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.,1=2（两直线平行，同
30、位角相等）,ab（已知）,应用格式:,总结归纳,议一议,利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.,尝试来证明一下,定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等.,已知：直线ab，1和2是直线a，b被直线c截出的内错角.求证：1=2.,证明：ab(已知)，23(两条直线平行，同位角相等)13(对顶角相等)，1=2(等量代换),定理3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补,已知：直线ab，1和2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.求证：1+2=180.,证明：ab(已知)23(两条直线平行，同位角相等)1+3=180(平角等于180)1+2=180
31、(等量代换).,证明：ab，1=2，同理2=3，1=3，ac.,定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.,已知：如图，直线a,b,c被直线d所截，且ab,cb.求证：ac.,平行线的性质,公理:两直线平行,同位角相等.ab,1=2.,性质定理1:两直线平行,内错角相等.ab,1=2.,性质定理2:两直线平行,同旁内角互补.ab,1+2=1800.,这里的结论,以后可以直接运用.,总结归纳,归纳总结,证明一个命题的一般步骤：(1)弄清题设和结论；(2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知,求证；(4)分析证明思路,写出证明过程.,典例精析,B,例1：如图所
32、示，已知四边形ABCD 中，ABCD，ADBC,试问A与C，B与D 的大小关系如何？,解：A=C,B=D理由：ABCD（已知）B+C=180（两直线平行，同旁内角互补）,又 ADBC（已知）C+D=180（两直线平行，同旁内角互补）B=D（同角的补角相等）同理 A=C,B,例2：已知，如图，ABCD，B=D，求证：ADBC.,证法一：ABDC（已知）B+C=180（两直线平行，同旁内角互补）B=D（已知）D+C=180（等量代换）ADBC（同旁内角互补，两直线平行）,B,例2：已知，如图，ABCD，B=D，求证：ADBC.,证法二：如图，延长BA（构造一组同位角）ABCD（已知）1=D（两直线
33、平行，内错角相等）B=D（已知）1=B（等量代换）ADBC（同位角相等，两直线平行）,B,例2：已知，如图，ABCD，B=D，求证：ADBC.,证法三：如图，连接BD（构造一组内错角）ABCD（已知）1=4（两直线平行，内错角相等）B=D（已知）B1=D4（等式的性质）2=3 ADBC（内错角相等，两直线平行）,两直线平行,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,平行线的判定,平行线的性质,线的关系,角的关系,性质,角的关系,线的关系,判定,讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）,平行线的判定与性质,素材：探索平行线的性质（播放状态下，点击画面操作）,双击
34、播放,当堂练习,1.下列图形中，由ABCD，能得到1=2的是(),B,解:A=D.理由：ABDE()A=_()ACDF()D=_()A=D(),2.如图1,若ABDE,ACDF，请说出A和D之 间的数量关系，并说明理由.,图,已知,CPE,两直线平行,同位角相等,已知,CPE,两直线平行,同位角相等,等量代换,解:A+D=180o.理由：ABDE()A=_()ACDF()D+_=180o()A+D=180o（）,如图2,若ABDE,ACDF，请说出A和D之间的数量关系，并说明理由.,图2,已知,CPD,两直线平行,同位角相等,已知,CPD,两直线平行,同旁内角互补,等量代换,3.如图，已知平行
35、线AB、CD被直线AE所截(1)从 1=110o可以知道2 是多少度,为什么？(2)从1=110o可以知道 3是多少度,为什么？(3)从 1=110o可以知道4 是多少度,为什么？,解：(1)2=110o 两直线行，内错角相等；,（2）3=110o 两直线平行,同位角相等；,（3）4=70o 两直线平行,同旁内角互补.,4.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第 一次拐的B是142o，第二次拐的C是多少度？为什么？,解：C=142o 两直线平行,内错角相等.,B,C,5.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得A=100，B=115，梯形的另外两个角分别是多少度？,解：因为梯形上、下底互相平
36、行，所以 A与D互补，B与C互补.,所以梯形的另外两个角分别是80、65.,于是D=180-A=180-100=80C=180-B=180-115=65,同位角相等内错角相等同旁内角互补,两直线平行,判定,性质,课堂小结,7.5 三角形内角和定理,第七章 平行线的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 三角形内角和定理,八年级数学上（BS）教学课件,学习目标,2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）,1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180.（重点）,我的形状最小，那我的内角和最小.,我的形状最大，那我的内角和最大.,不对，我有一个钝角，所以我的内角和才
37、是最大的.,一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.,导入新课,情境引入,我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.,思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180呢?,折叠,还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？,锐角三角形,测量,480,720,600,6004807201800,（学生运用学科工具量角器测量演示）,剪拼,（小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程）,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.,观测的结果不一定可靠，还需要通过
38、数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？,还有其他的拼接方法吗？,讲授新课,探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.,验证结论,三角形三个内角的和等于180.,求证：A+B+C=180.,已知：ABC.,证法1：过点A作lBC，B=1.(两直线平行,内错角相等)C=2.(两直线平行,内错角相等)2+1+BAC=180，B+C+BAC=180.,1,2,证法2：延长BC到D，过点C作CEBA，A=1.(两直线平行，内错角相等)B=2.(两直线平行，同位角相等)又1+2+ACB=180，A+B+ACB=180.,E,D,E,D,F,证法3：过D作DEAC,作DFAB
39、.C=EDB,B=FDC.(两直线平行，同位角相等)A+AED=180,AED+EDF=180，(两直线平行，同旁内角相补)A=EDF.EDB+EDF+FDC=180，A+B+C=180.,想一想：同学们还有其他的方法吗？,思考：多种方法证明三角形内角和等于180的核心是什么？,借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.,试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？,知识要点,在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.,思路总结,为了证明三个角的和为180,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.,作辅助线
40、,例1 如图，在ABC中，BAC=40,B=75,AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.,解：由BAC=40,AD是ABC的角平分线，得,BAD=BAC=20.,在ABD中，ADB=180-B-BAD=180-75-20=85.,【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC，A50，B70，求EDC，BDC的度数,解：A50，B70，ACB180AB60.CD是ACB的平分线，BCD ACB30.DEBC，EDCBCD30，在BDC中，BDC180BBCD=80.,例2 如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEAB于E，交AC于F.已知A30，FCD80，求D.,解：DEAB，FEA
41、90在AEF中，FEA90，A30，AFE180FEAA60.又CFDAFE，CFD60.在CDF中，CFD60，FCD80，D180CFDFCD40.,基本图形,由三角形的内角和定理易得A+B=C+D.,由三角形的内角和定理易得1+2=3+4.,总结归纳,例3 在ABC 中，A 的度数是B 的度数的3倍，C 比B 大15，求A，B，C的度数.,解:设B为x，则A为(3x)，C为(x 15)，从而有,3x x(x 15)180.,解得 x 33.,所以 3x 99，x 15 48.,答：A，B，C的度数分别为99，33，48.,几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.,【变式题】在ABC
42、中，A B ACB，CD是ABC的高，CE是ACB的平分线，求DCE的度数,解析：根据已知条件用A表示出B和ACB，利用三角形的内角和求出A，再求出ACB，ACD，最后根据角平分线的定义求出ACE即可求得DCE的度数,比例关系可考虑用方程思想求角度.,解：A B ACB，设Ax，B2x，ACB3x.ABACB180，x2x3x180，得x30，A30，ACB90.CD是ABC的高，ADC90，ACD180903060.CE是ACB的平分线，ACE 9045，DCEACDACE604515.,在ABC中，A:B:C=1:2:3，则ABC是 _三角形.,练一练：,在ABC中，A=35，B=43，则
43、 C=.,在ABC中，A=B+10,C=A+10,则 A=，B=，C=.,102,直角,60,50,70,例4 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80 方向，C岛在B岛的北偏西40 方向.从B岛看A,C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？,三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.,解：CAB=BAD-CAD=80-50=30.,由AD/BE,得BAD+ABE=180.,所以ABE=180-BAD=180-80=100,ABC=ABE-EBC=100-40=60.,在ABC中，ACB=180-ABC-CAB=180-60-30=90,答：从B岛看A
44、,C两岛的视角ABC是60,从C岛看A,B两岛的视角ACB是90.,【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40方向，C岛在A岛的南偏东15方向，C岛在B岛的北偏东80方向，求从C岛看A，B两岛的视角ACB的度数.,解：如图，由题意得BEAD,BAD=40，CAD=15，EBC=80，EBA=BAD=40，BAC=40+15=55,CBA=EBC-EBA=80-40=40，ACB=180-BAC-ABC=180-55-40=85,D,E,当堂练习,1.求出下列各图中的x值,x=70,x=60,x=30,x=50,2.如图，则1+2+3+4=_.,280,3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,A+
45、ADE=180，B=78，C=60，求EDC的度数,解：A+ADE=180，ABDE，CED=B=78又C=60，EDC=180-（CED+C）=180-（78+60）=42,4.如图，在ABC中，B=42，C=78，AD平分BAC求ADC的度数.,解：B=42，C=78，BAC=180-B-C=60.AD平分BAC，CAD=BAC=30，ADC=180-B-CAD=72.,5.如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，若BAC=60，求BPC的度数,解：ABC中，A=60，ABC+ACB=120BP平分ABC，CP平分ACB，PBC+PCB=（ABC+ACB）=60PBC+PCB+B
46、PC=180，BPC=180-60=120,拓 展,课堂小结,三角形的内角和定理,证明,了解添加辅助线的方法及其目的,内容,三角形内角和等于180,7.5 三角形内角和定理,第七章 平行线的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 三角形的外角,八年级数学上（BS）教学课件,学习目标,1.了解并掌握三角形的外角的定义（重点）2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算（难点）,导入新课,复习引入,1.在ABC中，A=80,B=52,则C=.,3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？,48,三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，,它们的和是180.,2.如图，
47、在ABC中，A=70,B=60,则ACB=，ACD=.,50,130,B,D,C,A,O,40,70,？,问题：发现懒洋洋独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒洋洋，已知BAC=40，ABC=70.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？,利用“三角形的内角和为180”来求BCD，你会吗？,思考：像BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.这节课让我们一起来探讨吧.,B,D,C,A,O,40,70,？,由三角形内角和易得BCA=180ACBA=70，所以BCD=180BCA=110.,讲授新课,定义如图，把A
48、BC的一边BC延长，得到ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.,ACD是ABC的一个外角,C,B,A,D,问题1 如图，延长AC到E,BCE是不是ABC的一个外角？DCE是不是ABC的一个外角？,E,在三角形每个顶点处都有两个外角.,ACD 与BCE为对顶角，ACD=BCE；,BCE是ABC的一个外角，DCE不是ABC的一个外角.,问题2 如图，ACD与BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？,画一画 画出ABC的所有外角，共有几个呢?,每一个三角形都有6个外角 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.,三角形的外角应具备的条件：,角的
49、顶点是三角形的顶点；角的一边是三角形的一边；另一边是三角形中一边的延长线.,ACD是ABC的一个外角,每一个三角形都有6个外角,总结归纳,F,A,B,C,D,E,如图,BEC是哪个三角形的外角？AEC是哪个三角形的外角？EFD是哪个三角形的外角？,BEC是AEC的外角;,AEC是BEC的外角;,EFD是BEF和DCF的外角.,练一练,三角形的外角,相邻的内角,不相邻的内角,问题1 如图，ABC的外角BCD与其相邻的内角ACB有什么关系？,BCD与ACB互补.,问题2 如图，ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(A，B)有什么关系？,三角形的外角,相邻的内角,不相邻的内角,A+B+ACB=180
50、，BCD+ACB=180，A+B=BCD.,你能用作平行线的方法证明此结论吗？,D,证明：过C作CE平行于AB，,A,B,C,1=B，（两直线平行，同位角相等）,2=A，（两直线平行，内错角相等）,ACD=1+2=A+B.,E,已知：如图，ABC，求证：ACD=A+B.,验证结论,如图，试比较2、1的大小；,如图，试比较3、2、1的大小.,图,图,解：2=1+B,21.,解：2=1+B,3=2+D,321.,拓展探究,性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.,性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.,三角形外角的性质：,B+C=CAD,CAD B，CAD C,归纳总
