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1、眼科病床统计分析的优化安排摘要： 本文讨论了医院病床安排的优化问题，并总结些在这类问题中优化结构的有效法则。文中首先对所给数据按患者分类及周工作日，用统计分析，通过假设检验对相关指标作初步处理，以便更好的找到其潜在的在规律。根据处理所得数据，在分析当前模型优缺点和考虑医院特殊条件的的基础上，给出合理有效的模型评价指标，利用排队论方法建立了新的模型。同时，利用逐步回归分析建立了各类病人等待时间与住院时间的函数关系式，用各类病人的原始数据进行检验发现，方程及变量均显著，同时，分析该模型的稳定性及通用性。模型患者平均等待时间为9.8132天 ，原模型为 11.2155天.在要求病床的患者类型相对固定
2、的基础上，对模型适当改进，引进子系统，在患者平均逗留时间最短的条件下，计算得病床最优比例分配为：视网：青光：白（双）：白：外=32:12:17:10:8.关键词：优化问题 排队论 统计分析 显著性问题的提出在医院，每天有许多眼科病人随机的来请求医疗服务。现有一医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。目前该院是每周一、三做白内障手术，如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院。其他眼科疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Fir
3、st come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。根据附录中给出的2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况，解决以下问题：问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院
4、病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。模型假设1假设医院病床的安排完全不会受到手术条件的影响。2.假设没有突发事件（交通事故、地震等）发生,即在同一天内不会出现大量的外伤病人到达门诊。3假设所有病人在指定时间内都能被治好，不会出现病人离院、转院或死亡等情形，临时离开医院。4
5、假设只有外伤才可以看作急诊，其他眼科疾病都可不考虑急诊疾病。5对于白内障（双眼）病人的两次手术时间，中间仅且只能隔一天。6假设病人不会因为排队的时间过长，超过其承受极限，而选择其他医院。7.原题附录所提供的信息数据均真实可信。符号说明1、2、3、4、5分别表示视网膜疾病、青光眼、白内障（双）、白内障和外伤五类疾病，未特别指明时，各类疾病均是按照此顺序排列。表示该医院眼科部总的病床数，表示普通床位数，则表示留作急诊的床位数表示平均第类疾病的病人平均等待时间表示第类疾病的病人平均等待时间表示每天到门诊的平均人数表示每天到门诊的第类疾病的病人占总人数的比例所有人在系统中的平均逗留时间第类病人的平均住
6、院时间总病人的平均住院时间第类病人的等待入院时间第类病人的等待手术时间第类病人的术后观测时间t时刻系统的队长t时刻系统的等待队长t时刻系统忙的服务员个数t时刻系统队长为j的概率t时刻系统的平均队长t时刻系统的平均等待队长t时刻系统忙的服务员平均数t时刻到达系统的顾客在系统中的逗留时间t时刻到达系统的顾客在系统中的等待时间t时刻到达系统的顾客在系统中接受服务的时间显然有 第n个到达系统的顾客的到达时间相继到达时间间隔对第n个到达系统顾客的服务时间表示每天第i类疾病的j个病人所出现的频数系统内的平均病人数系统内排队等待治疗的平均病人数平均等待时间平均逗留时间表示平均到达率，表示平均服务率，则表示服
7、务强度相邻两个病人到达系统的平均间隔时间每个顾客的平均服务时间问题一模型的分析：通过调查研究发现，平均等待入院时间是反映医院工作效率的重要指标，它既反映出医院的现有资源是否充分利用，又能体现出病人的满意度，是影响医院经济效益的主要因素，在整个指标体系中占有重要的地位，它的高低直接反映着医院管理状况的好坏。平均等待入院时间为各类型的病人的等待时间的平均值，其中各类型病人的等待时间由题中所给数据即可计算得出；模型的计算：由题中的数据经过分类、统计并计算之后，可得出该医院中每类病人的平均等待时间、平均住院时间以及每天的平均看病人数，如表1所示：表1：各类型病人的相关数据总汇表视网膜疾病青光眼白内障（
8、双）白内障外伤平均等待时间12.5412.2612.5112.671平均住院时间12.5410.498.565.247.04每天平均看病人数1.890.721.521.311由于将外伤看作急诊，其等待时间短，是个例外，所以在计算平均等待入院时间时不予考虑，由以上表格中的各类病人的平均等待时间数据计算可知平均等待入院时间为，病人的平均等待时间较长，使其满意度下降，并对医院的经济效益有负面影响。对原模型进行评价：优点：先来先服务规则保证了每个病人就诊的公平性，同时也消除了一些插队现象，避免了不必要的误会和不理解。缺点：由计算结果平均等待入院时间可知，病人的平均等待时间较长，会使病人的满意度下降，也
9、会使得医院的经济效益不好，对医院的管理状况也不利。问题二模型的分析：在医院眼科部总的床位数有限的，病人的来源数量在理论上是无限的前提下，要使经济效益达到最大，根据题中所给数据以及实际经验，在建模时应考虑以下几点：（1） 最大限度地满足病人的基本住院需求，平时尽可能使病床负荷率保持在一定水平，从而减小对急诊病人的拒绝率；（2） 尽可能提高床位的周转率，以充分利用现有的资源；（3） 尽量减少非急诊病人的等待时间，缩短病人的排队队长。将题中所给数据的某段时间内（2008.7.132008.8.29）的病人按疾病的类型进行分类处理并累计，可得各类型病人的比例分布图，如图1所示：由图1易知，由此可知白内
10、障（单双眼的总和）病人大约占整个病人的44%，化成分数大概为，由此可以将每周做白内障手术的时间延长至三天，又由于白病型比率外伤0.1235视网膜0.322白0.1889白（双）0.2494青光眼0.1162 图1 各类病人比例分布图内障（双）的病人的两次手术时间中间要相隔一天，所以只要将所安排手术的三天时间中有两天中间隔开即可，比如安排在周一、三、四就符合条件；而将视网膜疾病与青光眼的手术平均分配到其余的四天里，而这些病人所用总的床位数不能超过；对于急诊（即外伤）病人只需将其安排到专门留作急诊的床位数上即可。此时需要考虑每天安排多少个病人做手术合适。由于该医院眼科手术条件比较充分，可以不考虑手
11、术条件和手术医生的安排问题，就需要根据医院表2：各类型病人在一天内所到达医院人数的频数表人数j视网膜疾病f1j青光眼f2j白内障（双）f3j白内障f4j外伤f5j01828211620110171119172678914372663480430540310610100总的床位数来确定每天能够做的各类疾病的手术的个数，从而确定所安排的住院 人数，使得平均每天每类病人的等待时间也达到最短，进行床位的合理安排。每天病人的平均到达率根据表2的数据可以计算出每天视网膜疾病病人的平均到达率每天青光眼病人的平均到达率每天白内障（双）病人的平均到达率每天白内障病人的平均到达率每天外伤病人的平均到达率由以上数据
12、取平均值，可得每天病人的平均到达率每天病人的平均服务率根据表3的数据可以计算出表3：各类型病人住院天数的频数表住院天数视网膜疾病f1j青光眼f2j白内障（双）f3j白内障f4j外伤f5j3000904000142500120126011551072018998229411977915101111120311141010031213360013182200141230001580000169000017300001820000每天视网膜疾病病人的平均服务率每天青光眼病人的平均服务率每天白内障（双）病人的平均服务率每天白内障病人的平均服务率每天外伤病人的平均服务率由以上数据取平均值，可得每天平均服
13、务率显然可以看出来，每天的病人平均到达率远大于每天的平均服务率，由此可以看出来，如果按照原模型继续管理医院的话，显然会使医院排队等待的看病人数越来越多，模型显然不合理。在建立新模型时，要提高医院的平均服务率。图2 各类型病人的平均等待时间和平均住院时间汇总由上图2可以看出外伤病人的等待时间很短，需要立即安排住院，不容许有等待时间，属于例外，先不予考虑；而其他四种病人的的等待时间基本一致，都比较长，但是其平均住院时间却相差较大，而且白内障病人的平均住院时间要比其平均等待时间小的多，但是体中模型却没有做任何调整，显然不合理。此时应该根据住院时间长短进行适当的调整，将住院时间短的病人可以优先住院，这
14、样就不仅提高了病人的满意度，也使现有的资源得到了充分的利用，从而增加了医院的经济效益。表4 各工作日病人入住医院统计表在各工作日病人入住医院统计星期外伤视网膜疾病白内障白内障（双）青光眼总数比率一1010584370.106二95582290.0831三4156154440.1261四1313785460.1318五815131010560.1605六928172112870.2493日31118126500.1433接待总数5697718243349比率0.16050.27790.20340.2350.1232星期比率一0.1525二0.1283三0.1768四0.1525五0.155六0.
15、0944日0.1404 图3 各工作日接待患者比例图 由上图3可以看出相对而言，周六到门诊的病人相对来说较少；周三到达人数的相对来说较多，其余时间到达的人数基本相当，所以如果能将入院时间与手术时间同时做调整的话，就可缩短病人入院后等待做手术的时间，又由于手术之后的住院时间基本上是定值，这样就可以缩短病人在医院里的住院时间，从而减少床位的占用时间，便于安排排队等待入院的病人入院,此时床位的周转率已经提高,使得医院床位得到更合理的利用。综上所述，建模过程中应该遵从以下准则：准则一：留出部分床位给外伤病人，以备急用；准则二：尽量将每星期的各类病人的入院时间平均分配到每一天中（白内障病人除外）；准则三
16、：由于白内障（双眼）病人的手术必须在只间隔一天的两天时间里分别做一只眼睛，所以此时可将白内障病人（不区别单双眼）的入院时间尽量调整到急诊病人较多的时间里；准则四：每天病人的到达率不同，所以找出一个合适的周期，按此周期来进行住院安排。模型的建立： 经检验，患者每天的达到数不服从泊松分布，但是如果不计外伤人数则服从泊松分布，可看成M/M/1系统。该系统有如下的特性：（1）患者达到数为Poisson流，设平均达到率为；（2）对每个患者的服务时间相互独立，并有负指数分布。其平均服务时间为；（3）各类患者遵守先来先服务的原则；（4）系统容量为，因而该系统的等待空间亦为，从而使每一位到达系统的患者总能进入
17、系统或接受服务，或排队等待（即不会造成患者流失）；（5）到达过程M（t）,t0与服务过程,n=1,2,相互独立。平均队长平均等待队长平均等待时间平均逗留时间生灭过程N(t),t0有统计平衡解得充要条件为，当该条件满足时，有队长（天数）分布其中系统服务强度为在系统中，当时1 时，有， ， 当系统达到系统平衡状态时（c时，才有等待队长，并有分布列012kP(=k)于是，平均等待队长有由以上推导公式可求出，,这样，可以对医院服务的状况进行定量分析，计算出服务系统性指标。结果分析：比起原模型来，新建模型已经有效的缩短了病人的平均等待时间，病人的等待队长也得到了控制，而且也能及时准确地预测医院住院人数，
18、可为医院管理提供科学依据，它有助于为病人提供可靠的相关信息（比如具体的入院时间，等待时间以及出院时间等），使得顾客满意度提高，同时医院的床位也得到了充分的利用，从而获得了最大的社会效益和经济效益。问题三问题分析：首先统计各类病人的等待入院时间、等待手术时间、术后观测时间，然后通过逐步回归拟合三者之间的关系，将所拟合的关系再利用假设检验是否合理；如果检验合理，就利用这些关系和各类病人门诊时医院的床位情况和等待住院人数的情况来预测门诊病人的大概入院时间和手术时间。问题求解与结果分析：根据前面分析及问题二所建模型，在综合考虑各类病人比例、手术时间长短和病床利用率最大化的前提下，以及题目所给数据根据当
19、时住院情况和等待病人的统计情况，在病人门诊时可告知其大致入住时间，其关系式如表4所示，这五个关系市在显著性水平的情况下，均通过检验，且给出其标准误差：表5 各类病人相关时间的函数表线性关系相关系数估计均方误差视网膜疾病y=0.556x11+1.0318x120.972.543青光眼y=0.659x210.9861.3929白内障（双）y=0.395x310.9910.679白内障y=0.227x410.9690.746外伤y=60118x510.9571.883：表示第类病人的等待入院时间：表示第类病人的等待手术时间：表示第类病人的术后观测时间（）由上表5的数据可以看出每组数据的相关系数较高，
20、且估计均方误差都较小，视网膜疾病患者的术后观测时间与等待入院时间、等待手术时间具有明显的线性关系，其余四类疾病患者的术后观测时间只与等待入院时间有明显的线性关系，由此关系就可以根据等待入院时间来预测病人的入院时间、手术时间和出院时间等。此时如果病人到门诊就可以根据当时的住院病人及等待入院的情况以及这些线性关系就可以告知其大致的入院时间。问题四问题分析：如果医院周六、周日不安排手术，那么就要根据各类病人在整个病人总数中的比例重新调整病人的入院时间、手术时间等以及一周内每天每类病人所做手术的大概人数，而且由图1的各类病人的比例可知,此时的白内障病人的手术也应调整为一周内的两天时间来做，且这两天依然
21、是中间仅相隔一天，由此再来确定病人的入院时间、手术时间和出院时间；而其他类型的病人还是平均分配到剩余三天的时间里来安排手术此时就可根据病人所患疾病类型和当前的床位情况确定出院时间等。 表 6 统计每周工作日各类疾病做手术的次数各病型在各工作日的手术次数统计外伤视网膜疾病白内障白内障（双）青光眼总数一2064820148二1039001867三90482095四41500625五121500431六81300526日91900634总数541016816439426表 7 各类病人周六，日做手术的次数日期星期外伤视网膜疾病白内障白内障双青光眼7.19六100008.2六220008.9六2400
22、18.16六140028.23六100008.3六030029.6六10000期望1.14291.85710.00000.00000.71437.2日200007.27日020018.3日320018.1日130038.17日040008.24日150018.31日23000期望1.28572.71430.00000.00000.8571由表中数据可知，周六、周日只做外伤、视网膜、青光眼三种疾病，且比平常做手术的次数少。由表中数据可知，周六、周日只做外伤、视网膜、青光眼三种疾病，且比平常做手术的次数少，周六三种手术做得期望次数分别为1.1429，1.8571，0.7143，周天三种手术做得期望
23、次数分别为1.2857，2.7143，0.8571。由此可以得出周六周日不做手术对问题二的模型没有太大影响，我们只需把做手术的人数平均的分配到下一个周的工作日里。结果分析：比起原模型来，新建模型已经有效的缩短了病人的平均等待时间，病人的等待队长也得到了控制，而且也能及时准确地预测医院住院人数，可为医院管理提供科学依据，它有助于为病人提供可靠的相关信息（比如具体的入院时间，等待时间以及出院时间等），使得顾客满意度提高，同时医院的床位也得到了充分的利用，从而获得了最大的社会效益和经济效益。问题五问题分析：用医院病床安排用各类病人占用病床的比例来固定医院病床的安排，也就是将问题二中的模型的一个总的服
24、务台分为五个小的服务台，那么该系统此刻就看作是一个M/M/5系统，表1中各类病人的平均住院时间即为系统的平均服务时间，各类病人的平均等待时间即为系统的平均等待时间，然后利用排队论理论来求解该问题。问题求解：在系统中，按病的类型把系统分为不同的五（n=5）部分，子系统i（i=1,2,3,4,5）的到达率为,子系统i（i=1，2，3，4，5）的服务率为.每个子系统的平均到达率为，平均服务率为，且子系统的服务强度为。指标LW方案子系统系统于是，子系统平均等待队长有由以上推导公式可求出，,这样，可以对医院服务的状况进行定量分析，计算出服务系统性指标。在要求病床的患者类型相对固定的基础上，对模型适当改进
25、，引进子系统，在患者平均逗留时间最短的条件下，计算得病床最优比例分配为：视网：青光：白（双）：白：外=32:12:17:10:8.模型的评价优点：1.在处理大量数据的过程中，将数据信息用图形来表达，直观、便于理解和发掘深层的数据意义。2.问题五的周六、周日不安排手术的这一条件，使得此模型更接近于实际中的医院管理工作。缺点：1.如果遇到突发事件时，运用此模型在短时间内很难解决此时的所有外伤病人。2.所建模型的考虑因素不够全面，不能被通用。模型推广与改进方向1本文建立三个相关模型，从医院经济的效益出发，结合实际情况，对不同的情况分别建立了合理的模型，很容易推广到医院急诊观察室床位、医院B超观察安排
26、等问题上。2对于本文的分情况、步步逼近的讨论问题的思想，以及灵活的转化思想，可以应用于各种处理多种分支情况的场合。3. 如果病床的合理安排模型在整个建模过程中考虑到手术条件对其影响的话，那么此模型又该如何建立，所以要更好地解决该问题，还是应该考虑这方面因素的影响，这正是此模型的一个改进方向。参考文献1赵静，但琦.数学建模与数学实验.北京:高等教育出版社.2000.2朱道元.数学建模案例精选.北京:科学出版社.2003.3徐全智，杨晋浩.数学建模.北京:高等教育出版社.2003.4韩新焕，朱萌纾.医院管理系统中排队模型的优化决策分析.Journal of Mathematical Medicine.21(1):16-17.2008.5杨骅，孟垂祥，陈进清.综合性医院急诊观察室待床排队系统的研究.解放区医院管理杂志.6(2):115-117.1999.6黄坪，夏婷婷，徐永利.医院B超检查患者排队系统的统计调查与分析.中国医院统计.8(2):107-108.2001.
