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1、1,第九章 直线、平面、简单几何体,线面平行与面面平行,第 讲,3,2,3,1.若直线与平面_公共点，则这条直线在这个平面内；若直线与平面_公共点，则这条直线与这个平面相交；若直线与平面_公共点，则这条直线与这个平面平行.2.若两个平面_公共直线,则这两个平面相交；若两个平面_公共点则这两个平面平行.,有无数个,有且只有一个,没有,有且只有一条,没有,4,3.如果_的一条直线和这个平面内的一条直线_，则这条直线和这个平面平行.4.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和_平行.,平面外,平行,交线,5,5.如果一个平面内有_直线分别平行于另一个平面，那么这两
2、个平面平行；如果一个平面内有_ 直线分别平行于另一个平面内的 _直线，那么这两个平面平行.6.如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么 _互相平行.7.如果两个平面平行，那么一个平面内的任一条直线都与另一个平面 _.,两条相交,两条相交,两条相交,它们的交线,平行,6,8.经过平面外一点有 _条直线和这个平面平行；有 _个平面和这个平面平行.,无数,且仅有一,7,1.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()A.异面 B.相交C.平行 D.不能确定,C,8,解：如图，设=l，a，a.过直线a作与、都相交的平面，记=b，=c，则ab且ac，所以bc.又b=
3、l，所以bl,所以al.,9,2.、是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定的是()A.、都平行于直线a、bB.内有三个不共线的点到的距离相等C.a、b是内两条直线，且a，bD.a、b是两条异面直线且a，b，a，b,D,10,解：A错，若ab，则不能断定；B错，若A、B、C三点不在的同一侧，则不能断定；C错，若ab，则不能断定；D正确.,11,3.在四面体ABCD中，M、N分别是 A CD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是，.,平面ABC,平面ABD,12,解：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为
4、CD的中点E，由，得MN A B，因此，MN平面ABC且MN平面ABD.,13,1.如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且A M=FN，求证：MN平面BCE.证法1：过M作MPBC，NQBE，P、Q为垂足(如图)，连结PQ.因为MPAB,NQAB,所以MPNQ.,题型1 线面平行的判定与证明,14,因为正方形ABCD和ABEF全等，AM=FN，所以NQ=MP，所以四边形MPQN是平行四边形.所以MNPQ，又PQ 平面BCE，而MN平面BCE，所以MN平面BCE.,15,证法2：过M作MGBC，交AB于点G(如图)，连结NG.因为MGBC，BC平面BCE，M
5、G平面BCE，所以MG平面BCE.又，所以GNAFBE，同样可得GN平面BCE.,16,又MGNG=G，所以平面MNG平面BCE.又MN 平面MNG,所以MN平面BCE.点评：证线面平行，既可转化为证线线平行，即证明直线与平面内的一条直线平行，也可转化为证面面平行，即证直线所在的某一平面与已知平面平行.,17,18,19,20,2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点，试推断平面AMN和平面EFBD的位置关系，并说明理由.,题型2 面面平行的判定与证明,解：连结B1D1.因为E、F、M、N分别是所在棱的中点，所以EFB1D1，
6、MNB1D1，所以EFMN.连结NF，则,21,因为 所以 所以ANBF因为AN和MN是平面AMN内两相交直线，BF和EF是平面EFBD内两相交直线，所以平面AMN平面EFBD.点评：本题证面面平行的方法是分别在两个平面中找两组平行直线，需注意的是平面内的两条直线必须是相交直线.证面面平行还有其他方法，如证两平面同垂直于一条直线，两平面同平行于第三平面等.,22,设a、b为异面直线，、为平 面，已知a，b，且a,b，求证：.证明：经过直线a作平面，使=c.因为a，所以ac.又a，c，所以c.因为a、b为异面直线，所以b、c为平面内两相交直线.又b，所以.,23,1.在正四棱锥S-ABCD中，P
7、为SC上一点，且，M、N分别是SB、SD上的点.若BD平面PMN，SA平面PMN，求MNBD的值.,题型 线面平行背景下的求值问题,解：连结AC交BD于O点，连结SO交MN于E点，连结PE并延长交AC于F点.因为SA平面PMN，所以SAPF.,24,因为BD平面PMN，所以BDMN.因为，所以，所以，即，所以.因为EFSA，所以.因为MN/BD,所以,25,2.在空间四边形ABCD中，已知AB=4，C D=6，且异面直线AB与CD所成的角为60.用一个与直线AB、CD都平行的平面截这个四面体，求截面四边形EFGH的面积S的最大值.解：因为AB平面，所以ABHE，且ABGF，所以HEGF.同理，
8、EFHG.所以截面四边形EFGH为平行四边形，且HEF=60.,题型 线面平行背景下的最值问题,26,设=x(0 x1)，则=x.因为CD=6，所以EF=6x.又因为 AB=4，所以HE=4(1-x).所以 故当x=，即E为BC的中点时，S取最大值.,27,1.判定一条直线和一个平面平行，一般利用线面平行的判定定理，或者转化为经过这条直线的平面和这个平面平行.判定两个平面平行，一般利用面面平行的判定定理.2.对线面平行、面面平行的认识一般按照“定义判定定理性质定理应用”的顺序.其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用
9、.,28,3.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是随题目的具体条件而定，决不可过于“模式”化.,29,第九章 直线、平面、简单几何体,空间向量及其运算,第 讲,5,30,31,1.空间向量：在空间，我们把具有_和_ 的量叫做向量，空间向量也用_表示，并且 _ 的有向线段表示同一向量或相等的向量.2.空间向量的加法，减法与数乘向量：如下图，我们定义空间向量的加法，减法与数乘向量为：=_，=_,=_(R).,大小,方向,有向线段,方向相同且长度相等,a+b,
10、a,32,3.空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律：(1)加法交换律：_；(2)加法结合律：_；(3)数乘分配律：_.,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),(a+b)=a+b,33,4.如果表示空间向量的有向线段所在的直线 _,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b,记作ab.5.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使_.,相互平行或重合,a=b,34,推论:如果直线l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式,其中向量a叫做直线l的方向向量.6.共面向量定理：如果两个
11、向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y使p=_.推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使=_.,xa+yb,35,7.空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使p=.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使=_.8.已知空间两个向量a，b，则a，b的数量积为：ab=_,其中a,b表示向量a,b的_，其范围为_.,xa+yb+zc,|a|b|cosa,b,夹角,0,36,9.空间向量的数量积有如下性质：(e为单位向量)(
12、1)ae=_;(2)ab_;(3)|a|2=_.10.空间向量满足如下运算律：(1)(a)b=_；(2)ab=_;(3)a(b+c)=_.,|a|cosa,e,ab=0,aa,(ab),ba,ab+ac,37,1.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是()A.a+b，b-a，a B.a+b，b-a，bC.a+b，b-a，c D.a+b+c，a+b，c解：由已知及向量共面定理，易得a+b，b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底,故选C.,C,38,2.在平行六面体ABCD-ABCD中，向量、是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解：因为，所以、共
13、面.,C,39,3.已知四边形ABCD中，=a-2c，=5a+6b-8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=.解：因为，又，两式相加，得,3a+3b-5c,40,因为E是AC的中点，故.同理，.所以=6a+6b-10c,所以=3a+3b-5c.,41,1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，求证：证明：因为平行六面体的六个面都是平行四边形，所以，,题型1 向量关系的化简与证明,42,所以 点评：向量的化简与证明实际上就是转化为向量的加减运算及其逆运算，利用向量的合并或分解进行转化，以求得结果.,43,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列表达式：(1)；(2).解：(1
14、)原式=(2)原式=,44,2.在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，M分 所成的比为，N分A1D所成的比为2.设=a，=b，AA1=c，试用a，b，c表示.解：如图，连结AN，则.由已知四边形ABCD是平行四边形，故=a+b.又,题型2 向量的基底表示,45,由已知N分 所成的比为2，故 于是，点评：空间向量的基底一般是取共起点的三个不共面的向量，其他向量都可转化为这三个向量的代数和形式.注意向量的方向性及加减运算.,46,47,48,49,已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB=OC，求证：PMQN.证法1：因为 所以所以故PM
15、QN.,题型3 空间向量的初步应用,50,证法2：所以PMQN.点评：空间向量是解决立体几何问题的一种工具.本题就是利用向量的垂直关系来证直线的垂直关系，而证空间向量的垂直，一般先将两向量转化为基向量的形式(基底一般是取题中已知条件中出现过的直线上的向量)，然后计算两向量的数量积.,51,如图，平行六面体AC1中，AE=3EA1，AF=FD，AG=GB，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求APPC1的值.解：设 因为,52,所以又因为E、F、G、P四点共面，所以所以,所以APPC1=316.,53,1.如左下图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1BD的重心，求证：A、M
16、、C1三点共线.证明：如右上图,连结A1M并延长交BD于E点.,题型 共线问题的判定与证明,54,因为M为A1BD的重心，所以E为BD的中点，连结AE.所以 故向量AM与AC1共线，即A、M、C1三点共线.,55,2.求证：平行六面体的四条对角线相交于一点，并且在交点处互相平分.证明：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设O、P、M、N分别是对角线AC1、BD1、A1C、B1D的中点，,题型 共点问题的判定与证明,56,则同理可证，所以O、P、M、N四点重合.故四条对角线相交于一点，且在交点处互相平分.,57,1.空间向量是平面向量的推广，空间向量的加法、减法和数乘向量运算，与平面向量的
17、运算法则一致.2.空间任意两个向量都可用同一平面内的两条有向线段表示，因此，空间两个向量的加法与减法运算，实质上是两个平面向量的加法与减法运算.,58,3.空间共线向量与平面共线向量的概念是相通的，共线向量定理也完全一致.空间共面向量定理是平面向量基本定理的变通.空间向量基本定理是平面向量基本定理的扩展.这些定理源于平面向量的加法、减法与数乘向量运算，是沟通向量之间内在联系的重要依据.,59,4.空间直线的向量参数表示式：是一个以向量形式表示的直线方程，直线l上的点P和实数t之间是一一对应的关系.若取a=，则向量式 表示P、A、B三点共线.5.向量的基底表示是向量运算的一个重点.利用三角形法则和平行四边形法则，将一个向量分解成两个向量的和或差，经过若干次分解，就能得出向量的基底表示.,
