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1、第3章 电阻电路的一般分析,本章重点,重点,熟练掌握电路方程的列写方法：支路电流法 回路电流法 结点电压法,线性电路的一般分析方法,普遍性：对任何线性电路都适用。,复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和结点电压法。,元件的电压、电流关系特性。,电路的连接关系KCL，KVL定律。,方法的基础,系统性：计算方法有规律可循。,1.网络图论,哥尼斯堡七桥难题,图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。,3-1 电路的图,右图是不能一笔画出的图形，哥尼斯堡七桥难题是无解的。一笔画出的图形中的
2、各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。,2.电路的图,一个元件作为一条支路,元件的串联及并联组合作为一条支路,有向图,图的定义(Graph),G=支路，结点,电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。,图G中的结点和支路各自是一个整体。,移去图G中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。,如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。,3-2 KCL和KVL的独立方程数,1.KCL的独立方程数,1,4,3,2,n个结点的电路,KCL的独立方程数为(n-1)。,结论,从图G的一个结点出发，沿着一些支路移动到达
3、另一结点（或回到原出发点），所经过的支路构成图G的一条路径。,(1)路径,(2)连通图,图G的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。,2.图论中的几个概念,(3)子图,若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。,回路(Loop),如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其他结点不重复出现，这条闭合路径就构成图G的一个回路L。,不是回路,回路,树(Tree),包含图G的全部结点但不包含任何回路的连通子图。,树支：构成树的支路。,连支：属于G而不属于T的支路。,树支的数目是一定的,连支数：,对应一个图有很多的树；,明 确,基本回路(单连支回路
4、),基本回路组：由连支形成的全部基本回路。,网孔（mesh)：平面图G中自然的“孔”，它限定的区域 不再有支路。,例,图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。,3.KVL的独立方程数,对网孔列KVL方程：,可以证明这是一组独立方程。,结 论,KVL的独立方程数=基本回路数=b(n1),n个结点、b条支路的电路,独立的KCL方程数为：(n1),1,2,3,3-3 支路电流法,对于有n个结点、b条支路的电路，要求解支路电流，未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。,1.支路电流法,2.独立方程的列写,以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,从电路的n
5、个结点中任意选择(n-1)个结点列写KCL方程；,选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程。,1,3,2,有6个支路电流，需列写6个方程。,KVL方程:,回路1,回路2,回路3,KCL方程:,（1）支路电流法的一般步骤：,标定各支路电流（电压）的参考方向；,选定(n1)个结点，列写其KCL方程；,选定b(n1)个独立回路，指定回路绕行方向，列写KVL方程；,求解上述方程，得到b个支路电流；,进一步计算支路电压和进行其它分析。,小结,（2）支路电流法的特点：,支路电流法列写的是KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。,例1,求各支路电流及各电压源
6、发出的功率。,n1=1个KCL方程：,结点a：I1I2+I3=0,b(n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3=6,7I111I2=70-6=64,a,例2,结点a：I1I2+I3=0,(1)n1=1个KCL方程：,列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）,解1,(2)b(n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3=U,7I111I2=70-U,增补方程：I2=6A,设电流源电压,+U_,解2,由于I2已知，故只列写两个方程,结点a：I1+I3=6,避开电流源支路取回路：,7I17I3=70,a,例3,I1I2+I3=0,列写支路电流方程.(电路中含有受控源）,解,11I2+7I3=5U,
7、7I111I2=70-5U,增补方程：U=7I3,有受控源的电路，方程列写分两步：,先将受控源看作独立源列方程；将控制量用未知量表示，并代入中所列的方程，消去中间变量。,注意,3-4 网孔电流法,基本思想,为减少未知量(方程)的个数，假想每个网孔中有一个网孔电流。各支路电流可用网孔电流的线性组合表示，来求得电路的解。,1.网孔电流法,以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅适用于平面电路。,网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此网孔电流法是对网孔回路列写KVL方程，方程数为网孔数。,列写的方程,2.方程的列写
8、,网孔1：R2(im1-im2)+uS2-uS1+R1 im1=0,网孔2：R3 im2+uS3 uS2+R2(im2-im1)=0,整理得：,(R1+R2)im1-R2im2=uS1-uS2,-R2im1+(R2+R3)im2=uS2-uS3,以网孔电流为变量的网孔电流方程,网孔的自阻,自阻 R11=R1+R2 R22=R2+R3,一个网孔中所有电阻之和,网孔的互阻,两个网孔的共有电阻,互阻 R12=R21=R2,用uSii表示网孔 i 中所有电压源电压的代数和,(R1+R2)im1-R2im2=uS1-uS2,-R2im1+(R2+R3)im2=uS2-uS3,方程的标准形式：,R11 i
9、m1+R12im2=uS11,R21im1+R22 im2=uS22,对于具有 m 个网孔的电路，有:,自阻总为正。,当两个网孔电流在共有电阻上的参考方向相同时，互阻取正号；不同时取负号；没有共同支路或共同支路上电阻为零时互阻为零。若所有网孔电流都取顺(或逆)时针，互阻总是负的。电路不含受控源时Rik=Rki。,当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取负号；反之取正号。,注 意,例1,用网孔电流法求解图示电路中各支路电流。,解：,(1)选取网孔电流。,(2)列网孔电流方程。,80I1,20I2,=110,60I2,20I1,40I3,=70,40I2,80I3,=20,(3)用消去法或行列式
10、法解方程。,I1=2A,I3=1A,I2=2.5A,(4)求出各支路电流。,Ia=I1=2A,Id=I3=1A,Ib=I1I2=0.5A,Ic=I2I3=1.5A,(5)校验。,例2,列图示电路的网孔电流方程。,解：,(1)选取网孔电流。,(2)列网孔电流方程。,（1）网孔电流法的一般步骤：,选网孔为独立回路，并确定其绕行方向；,以网孔电流为未知量，列写其KVL方程；,求解上述方程，得到 m 个网孔电流；,其它分析。,求各支路电流；,（2）网孔电流法的特点：,仅适用于平面电路。,小结,3-5 回路电流法,1.回路电流法,以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。它
11、适用于平面和非平面电路。,回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：,列写的方程,与支路电流法相比，方程数减少n-1个。,重点,树：支路（4,5,6）,连支：支路（1,2,3）,i4=il1+il2,i5=il1 il3,i6=il1+il2 il3,i1=il1,i2=il2,i3=il3,全部支路电流都可以通过回路电流表达。,基本回路：（1,4,6,5）、（2,4,6）、（3,6,5）,解,(1)作出电路的图。,(2)选择基本回路。,R1Il1+us1+R6(Il1Il3)+R5(Il1+Il2Il3)us5+R4(Il1+Il2)=0,(3)对基本回路列KVL方程。,图示直流电路中
12、，R1=R2=R3=1，R4=R5=R6=2，us1=4V，us2=2V。试选择一组独立回路，并列出回路电流方程。,例1,R2Il2+R5(Il1+Il2Il3)us5+R4(Il1+Il2)=0,R6(Il3 Il1)+R3Il3+us5+R5(Il3 Il1 Il2)=0,7Il1+4Il2 4Il3=2,4Il1+5Il2 2Il3=2,4Il12Il2+5Il3=2,方程的标准形式：,对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有:,Rjk：互阻,+:流过互阻的两个回路电流方向相同；,-:流过互阻的两个回路电流方向相反；,0:无关。,Rkk：自阻(总为正),2.方程的列写,uSkk：回路
13、中所有电压源的代数和，电压源与回路电流方向一致时，电压源前取“-”，否则取“+”。,（1）回路法的一般步骤：,选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；,对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,求解上述方程，得到 l 个回路电流；,其它分析。,求各支路电流；,（2）回路法的特点：,通过灵活的选取回路可以减少计算量；,互阻的识别难度加大，易遗漏互阻。,小结,3.无伴电流源支路的处理,引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。,例2,方程中包括电流源电压,增补方程：,用回路法列电路的方程。,解1：,独立回路有三个，选网孔为独立回路，列KVL方程：,选取独立回路
14、，使无伴电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 IS。,已知电流，实际减少了一个方程,解2：,推荐使用,4.受控电源支路的处理,对含有受控路的电路，可先把受控源看作独立电源按前面的方法列方程，再将控制量用回路电流表示。,例3,列回路电流方程。,解1,选网孔为独立回路,增补方程：,解2,回路2选大回路。,增补方程：,3-6 结点电压法,2.结点电压法,以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。,1.结点电压,在电路中任意选择某一结点为参考结点，其它结点为独立结点，独立结点与参考结点之间的电压即为结点电压，方向为从独立结点指向参考结点。,结点电压法列写的是结点上的KCL
15、方程，独立方程数为：,，与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。,重点,3.方程的列写,选定参考结点，标定其余n-1个独立结点的电压；,列KCL方程。,u1=un1,u2=un2,u3=un3,u4=un1un2,u5=un2 un3,u6=un1 un3,在结点、处列KCL方程。,i1+i4+i6=0,i2i4+i5=0,i3i5 i6=0,把支路电流用结点电压表示：,整理得：,也可写为：,归结为一般形式的结点电压方程：,Gkk 结点k的自导,Gkj 结点k与结点j之间的互导,iSkk 流入结点k的电流源的代数和,Gkk 自导，总为正，等于连接在结点k上的所有支路电导之和。,iSkk
16、流入结点k的所有电流源电流的代数和，流入结点为正，流出为负。还包括电压源和电阻串联组合经等效变换后形成的电流源。,Gkj=Gjk互导，总为负，等于连接在结点k与结点j之间所有支路电导之和的负值。,结点法标准形式的方程：,电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。,例1 列图示电路的结点电压方程。,选定参考结点，对其余结点编号，设结点电压为un1、un2、un3 和 un4。,解：,例2 用结点电压法求图示电路的支路电流及输出电压 U0。,选定参考结点，设结点电压为un1、un2、un3。,解：,0.2Un1-0.1Un2=-2,-0.1Un1+0.15Un2-0.05Un3=10,-0.05Un2+
17、0.15Un3=-2,Un1=40V,Un2=100V,Un3=20V,I1=Un1/10=4A,I2=(Un1-Un2+30)/10=-3A,I3=(Un2 Un3)/20=4A,I4=Un3/10=2A,U0=Un2 Un3=80V,4.无伴电压源支路的处理,以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系。,(G1+G3)Un1-G3Un2=i,-G3Un1+(G2+G3)Un2=iS2,Un1=US1,增补方程,看成电流源,结点电压方程为：,取包含无伴电压源的2个结点的闭合面列KCL，可 避免附加电流变量的出现。,-G3Un1+(G2+G3)Un2=iS2,Un1=US1,结点电压方程为：,选择合适的参考结点（无伴电压源连接的其中一个结点）。,5.受控电源支路的处理,对含有受控电源支路的电路，先把受控源看作独立电源列方程，再将控制量用结点电压表示。,设参考点;,用结点电压表示控制量。,列写电路的结点电压方程。,例3,解,把受控源当作独立源列方程；,+,结点电压法的一般步骤：,(1)选定参考结点，标定n-1个独立结点，通常以参考结点为各结点的负极性。,(2)按标准公式列出结点电压方程，注意自导总是正的，互导总是负的；并注意各结点注入电流前面的正负号；,(3)当电路中有受控源或无伴电压源时需另行处理。,小结,
