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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)正方体模型的解题功能模型解题法之四 以正方体的4个顶点为顶点的四面体有正四面体、直角四面体等四种,而以以正方体中的特殊点为顶点的多面体又有多种,正方体模型的解题功能在解决这些几何体的有关问题上得到充分体现;实质上,正方体中蕴涵着丰富的线面位置关系、各种角度和距离,正方体模型在解决这类问题上还有用场.母题结构:()在正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱中与棱AB:平行的有 条;垂直的有 条;异面的有 条;()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AC与A1C所成角的大小为 ;点A到直
2、线C1D1的距离与正方体棱长的比值为 ;AC1与点A到平面A1BD距离的比值为 ;()若正四面体的棱长为a,则:正四面体的外接球的半径R=a;与正四面体的六条棱都相切的球的半径r=a.解题程序:()平行的有3条;垂直的有8条;异面的有4条;()600;3;()作正四面体的外接正方体,则正方体的棱长b=a;正四面体的外接球的半径R=b=a;与正四面体的六条棱都相切的球的半径r=b=a. 1.位置关系 子题类型:(2012年上海春招试题)已知空间三条直线l、m、n,若l与m异面,且l与n异面,则( )(A)m与n异面 (B)m与n相交 (C)m与n平行 (D)m与n异面、相交、平行均有可能解析:在
3、正方体ABCD-A1B1C1D1中,取直线l为AA1;当m=BC,n=C1D1时,m与n异面;当m=BC,n=CD时,m与n相交;当m=BC,n=B1C1时,m与n平行.故选(D).点评:对于线面位置关系的判断题,可以利用正方体模型分析判断;解题策略是:构造正方体,在正方体中寻找构造满足条件的直线与平面,由此分析判断. 2.度量问题 子题类型:(2007年陕西高考试题)已知平面平面,直线m,直线n,点Am,点Bn,记点A,B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则( )(A)bca (B)acb (C)cab (D)cba解析:构造正方体,如图,由图知cba.故选(D)
4、.点评:对于非几何体中的度量问题,可以依托正方体模型,在正方体中构造满足条件的直线与平面,由此分析求解. 3.球的外切与内接 子题类型:(2000年全国高中数学联赛试题)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是 .解析:作正四面体的外接正方体,则正方体的棱长=a;由球与正四面体的六条棱都相切球的直径2R=正方体的棱长=aR=a球的体积V=R3=a3.点评:关于正四面体的外切与内接球的问题,可依托正方体模型,巧妙解决.这正是正方体模型的解题功能的体现. 4.子题系列:1.(2007年湖北高考试题)平面外有两条直线m和n,如果m和n在平面内的射影分别是和,给出下列四个
5、命题:mn;mn;与相交m与n相交或重合;与平行m与n平行或重合.其中不正确的命题个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)a,b,c是三条两两异面的直线,与a,b,c都相交的直线的条数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)无数多3.(2015年四川高考试题)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为,则cos的最大值为 .4.(2006年北京高考试题)平面的斜线AB交于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交于点C,则
6、动点C的轨迹是( ) (A)一条直线 (B)一个圆 (C)一个椭圆 (D)双曲线的一支5.(2010年重庆高考试题)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( ) (A)直线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线6.(2006年第17届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一个球与正四面体的各个棱都相切,且球的表面积为8,则正四面体的棱长为 .7.(2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为R1,能包容此框架的最小球的半径为R2,则等于 8.(2007年
7、华南理工大学保送生考试试题)已知A、B、C、D是某球面上不共面的四点,且AB=BC=AD=,BD=AC=2,BCAD,则此球的表面积等于 . 5.子题详解:1.解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取m=A1B,n=A1D,=AB,=AD,则错;取m=A1B,n=C1D,=AB,=CD,则错;取m=A1C,n=B1D1,=AC,=BD,则错;取A1B,n=C1D,=AB,=CD,则错.故选(D).2.解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取a=AB,b=B1D1,c=CC1,则直线AB上任意一点P与直线CC1共面于,设直线B1D1与平面相交于点Q,则直线PQ与a,b,c都相交.故选(D
8、).3.解:构造正方体如图,不妨设正方体的棱长为4,取BF的中点K,作KNAD于N,NHPQ于H,设HM=t,则EM=,KM=,EK=;由EKAF异面直线EM与AF所成的角=MEK的补角cos=-cosMEK=;令=x(0x),则cos=.4.解:构造正方体,取下底面为平面,B为一顶点,动直线l在平面PQR内,则动点C的轨迹是直线QR.故选(A).5.解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,不妨设正方体的棱长为1,取互相垂直的异面直线AD、C1D1,并建立空间直角坐标系如图,设平面ABCD内的点M(x,y,0)满足条件,作MM1AD于M1,MNCD于N,NPC1D1于P,则M1(x,0,0),P(0,y,1);由|MM1|=|MP|MM1|2=|MP|2y2=x2+1.故选(D).6.解:作正四面体的外接正方体,则正方体的棱长=球的直径2R;由球的表面积为8半径R=正方体的棱长=2.7.解:作正四面体的外接正方体,不妨设正方体的棱长为a,则能容纳得下的最大球的直径2R1=a,能包容此框架的最小球的直径2R2=a=.8.解:构造正方体模型如图,则正方体中的四面体ABCD符合题目条件,由正方体的棱长为2R=此球的表面积等于6.
