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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)玩转正方体.妙解几何题模型解题法之三 正方体模型不仅可以妙解其内接四类特殊四面体问题,如果再考虑以正方体中的特殊点(如各面中心,各棱中点等)为顶点的多面体,将拓展正方体模型的解题范围,玩转正方体,可妙解一类题.母题结构:在正方体ABDC-A1B1D1C1中,考虑面ABCD与ADD1A1的中心E,F,则ADE与ADF是全等的等腰直角三角形,沿AD展开于一平面内,四边形AEDF是正方形;以正方体各面中心为顶点的多面体是正八面体;考虑正方体各棱中点,则其中有6点共面,且以这6点为顶点的多边形是正六
2、边形.母题解析:显然正确;如图,由八面体的各棱长均等于正方形面的对角线长的一半以正方体各面中心为顶点的多面体正八面体;如图,证明略; 1.正方形的折叠 子题类型:(1996年全国高考试题)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为( ) (A) (B) (C) (D)解析:设AC的中点为O,则OB=OD=aOB2+OD2=BD2ODOB,所以,可把三棱锥D-ABC放置于如图所示的正方体中三棱锥D-ABC的体积V=a2a=.故选(D).点评:将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,则在折叠后的四面体ABCD中,平面ACD平面ABCBD=a;故当BD=
3、a时,四面体ABCD可放置于正方体的内部,由此可把四面体ABCD的问题转化为正方体问题,直观求解, 2.棱的中点构成 子题类型:(2011年上海春招试题)有一中多面体的饰品,其表面由6个正方形和8各正三角形组成(如图),AB与CD所成的角的大小是 .解析:如图,该多面体是以正方体的各棱中点为顶点的多面体,AB与CD分别平行于正方体的两条相交的面对角线AB与CD所成的角=600.点评:探究以正方体中的特殊点为顶点的多面体性质,是高考命题的常用手法,如本题中,以正方体的各棱中点为顶点的多面体;解答该类试题的根本方法是“复源”法,即把该几何体放置到正方体中,利用正方体模型解决问题. 3.面的中心构成
4、 子题类型:(2005年全国高考试题)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且ADE、BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为( )(A) (B) (C) (D)解析:如图,把多面体ABCDEF放置到正方体中,由图知,该多面体的体积=棱长为2的正四面体体积的一半=23=.故选(A).点评:以正方体的中心、面的中心、棱的中点等特殊点为顶点,可以构造出许多形状各异,且具有独特性质的多面体;以此方法可命制具有原创性的试题;掌握了此类试题的“前世”,何愁解决不了她的“今生”. 4.子题系列:1.(2010年全国高考试题)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC
5、=900,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )(A)300 (B)450 (C)600 (D)9002.(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC,ABAC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,点P在A1B1上,则直线PQ与直线AM所成的角等于( ) (A)300 (B)450 (C)600 (D)9003.(2002年第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)如图,设ABC-A1B1C1是直三棱柱,AB=AC,BAC=900,M、Q分别是CC1、BC的中点,P点在A1B1上且A1PPB1 =12,如果AA1=AB,则
6、AM与PQ所成的角等于( ) (A)900 (B)600 (C)450 (D)3004.(2004年湖南高考试题)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD与平面ABC所成的角的大小为( ) (A)900 (B)600 (C)450 (D)3005.(2006年安徽高考试题)表面积为2的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为( )(A) (B) (C) (D)6.(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .7.(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)三个12cm12cm的
7、正方形的纸都被连接两邻边中点的直线分成两片,把这6片粘在一个正六边形的外面,然后折成一个多面体,则这个多面体的体积等于 cm3.8.(2005年上海交通大学保送生考试试题)将3个12cm12cm的正方形沿邻边中点剪开,分成两部分,如图,将这6部分接于一个边长为6的正六边形上,如图,若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图,则这个多面体的体积等于 .9.(2009年复旦大学保送生考试试题)半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球,则小球半径r可能的最大值是( )(A)R (B)R (C)R (D)R10.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设O-ABCD是正四棱锥,其中OA=,BC=2.以O
8、为球心,以1为半径作一个球,则这个球与正四棱锥相交部分的体积是 . 5.子题详解:1.解:由BAC=900,AB=AC=AA1,则直三棱柱ABC-A1B1C1可补形为正方体BA1与AC1所成的角=600.故选(C).2.解:补形为正方体ABDC-A1B1D1C1,取AC的中点R,则AMA1R,AMQRAM平面A1PQRAMPQ.故选(D).3.解:补形为正方体ABDC-A1B1D1C1,不妨设棱长=4,取CD,C1D1的中点S,T,则QR2+PQ2=PR2PQR=900.故选(A).4.解:当平面ABC平面ACD时,三棱锥B-ACD体积最大,放置到正方体中,则所成的角的大小为450.故选(C)
9、.5.解:设棱长为a,则4a2sin600=2a=1球的半径R=球的体积V=.故选(A).6.解:设侧面与底面所成二面角为,则tan=cos2=cos2=-.7.解:如图,这个多面体恰是棱长为12的正方体的一部分,其体积等于正方体体积的=123=864.8.解:构造正方体ABCD-A1B1C1D1模型如图,则拼接后的多面体是正方体中的多面体BCDQPNMRC1,其体积是正方体体积的一半,又因该正方体的棱长为12该多面体的体积等于964(cm3).9.解:设四个小球的球心分别为A,B,C,D,则四面体ABCD是正四面体,构造正方体模型,由正方体的棱长为2r正方体的体的对角线长=r,由r+2r2R小球半径r可能的最大值=R.故选(B).10.解:考虑棱长为2的正方体,将O置于正方体的中心,则ABCD恰好可以与正方体的一个面重合.于是,由对称性可知,所求体积是球体体积的1/6,即.
