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1、以“绳子”为载体的数学问题探究 摘要：以绳子为背景，搜集百姓之用法，激发学生兴趣，构建数学模型；让学生触景生情，探究类似相关的数学问题。关键词：绳子；模型；测量；实验；探究。数学课程标准的基本理念是“以人的发展为目标，关注学生的可持续发展”。强调从学生的生活经验和已有的知识背景出发，为学生提供从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解数学知识、掌握基本技能、数学思想和方法农村初中存在师资、生源薄弱现象，师生交谈中也经常听到学生对数学的评价：数学课是枯燥乏味的，让人昏昏欲睡。这种评价虽说有点偏激，但至少从一个侧面反映了数学教学的现状堪忧。因此，作为一个农村数学教师应在教学中结合
2、学生的实际，设计具有激发学生求知欲望的问题情境，使学生用自己的思维方式去积极思考、主动探索有用的数学问题。下面本人就谈谈如何以绳子为载体，进行数学教学。现采撷数例，以飧读者。一、 搜集平民之用法，探究数学问题。农村有句俗语：“带个人不如带根绳”。可见绳子在农村生活中，用途极其广泛，它不仅跟人们生活息息相关，而且与数学有着密切关系。载体一：测量的妙用农村百姓常常以一根绳子测定墙体的平直，地面的方整，测量建筑物的高度等，其实这些做法跟数学密切相关，不妨作些探究。案例1：泥水匠在砌墙时，绳子是他们依赖的工具。墙体是否平直，两堵墙构成的角是否垂直都需要绳子帮忙。谁都知道拉紧的绳子是直的，在没有角尺的情
3、况下，把绳子均匀分成12段，然后以3，4，5构成三角形，就可以衡量墙体是否垂直了。木工师傅制门窗、村民丈量土地是否方整，常用一根绳子在对角处拉一拉，折一折，量一量，就知道了门窗与土地是否方整了。分析：泥水匠的做法是运用数学知识“两点确定一条直线”与“勾股定理”的逆定理。木工师傅测定门窗与村民丈量土地是运用了对角线互相平分且相等的四边形是矩形”的定理。教学中，教师如能把民用的知识同数学教学结合起来，就能激发学生学习兴趣，也能激起学生对数学知识的探究。探究：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮他测出旗杆的高度吗？载体二
4、：编织中的对称问题逢年过节，老百姓常以红丝绳编织出各种图案，如“中国结”以表达新年好运来。教学中，教师如能把这些图案展示给学生，同时让学生动手操作，就能让他们更好地认识和理解图形与变换,解决对称性和旋转性问题。 载体三：圈地求积问题用一根绳子可围成各种不同的几何图形，如角、三角形、矩形、圆、扇形、椭圆等，使学生从直观上理解数学概念和计算，从而达到从直观思维向抽象思维的转化。案例2：相传有一位老人家，拥有一大片土地，三个儿子，都长大成人，分家时都争着分地，老人家明智决定让三个儿子以智谋产，于是拿出三根长度均为L米的绳子，分别叫他们去圈地，能圈多少就给多少，于是三儿子便分头行动，老大围成一个正方形
5、，老二围成一个圆，老三围成一个正三角形，你想知道三兄弟谁最聪明吗？ 探究：（函数问题）用长为L 米的一根绳子，一面靠墙，围成一个矩形的花园，怎样围才能使花圃面积最大？若围成的不是矩形而是其他平面图形，面积是否更大些？案例3：“拴羊觅食”问题。 （如右图）有一只羊，用一根6米长的绳子系在房子的墙角上，绳子另一端固定在A点，房子的周围是草地，问这只羊最多能吃多少平方米的草？分析：此题要让学生知道：羊吃到草的范围构建了怎样的几何图形，再求出相应的面积。（羊吃草的面积： （62+42+22 ）=14米2 ）探究：(面积问题)如图1-1，在草地上有一个正六边形的围墙ABCDEF（不能进入）每边长6m，C
6、D的延长线DG也是围墙，长度为19m，今有一头羊拴在D处，绳长18m，则羊能吃到围墙外_m2的草。分析:本题是羊拴在正六边形与围墙间还是围墙外不确定，当羊拴在正六边形与围墙间，羊能吃草的面积为：（182+122+62）=84m2，如图12的阴影部分，当羊拴在围墙外，羊能吃草的面积为：182+（122+62）=192 m2如图13的阴影部分，故羊能吃到围墙外草的面积为84m2或192 m2。 载体四：求腰围问题：案例4：山民在砍柴伐木时，经常用麻绳捆扎柴木。如何对捆扎物所需绳子的长短进行估计呢？如果山民上山砍伐7根毛竹（如图1，轴截面是圆形，半径均为R），则捆扎毛竹一周的绳子的长度是多少？你不难
7、知道围在七个圆周上的绳子长度。 图1图2-2图2-1探究：有一位顾客买了6罐雪碧，营业员帮他捆成如图2-1所示的矩形，但这个顾客临时改变了主意，准备再买一罐，这时营业员不解开绳子就把第7罐雪碧往里塞，你认为这营业员不解开绳子能塞进去吗？事实上，如图21所捆成的6罐雪碧，它的周长为12r+2r，如果再塞一罐雪碧进去，如图22所示，此时周长也为12r+2r所以可以塞进去，从而认识了两圆位置关系的一些知识。二、 贴近学生身边的活动，构建数学模型。载体五：二次函数问题案例5：（荡秋千问题） 秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所荡
8、过的圆弧长为（ ）（重庆中考题） A：米 B：2米 C：（4/3）米 D：4/3分析 :本题体现了数学中的建模思想， 即根据需要将某些问题转化成数学模型 求解，把荡秋千问题转化为垂径定理的几何模型。 如右上图，EF=BH-EG=2-0.5=1.5,OF=OE-EF=3-1.5=1.5,而OB=3,所以在RtOFB中，可得OBF=30,所以BOF=60，AOB=120，易求L弧长=2，故选（B）。案例6：（跳大绳问题） 你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线，正在甩绳的甲、乙两位学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5
9、m处，绳子在甩到最高处刚通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如右图所示） （ ）（济南市中考题）A:1.5m B：1.625m C:1.66m D:1.67m分析： 本题是一道二次函数的应用题，它以学生熟悉的跳大绳为背景，使学生感受到数学的应用性与趣味性，解题的关 键是求出抛物线的解析式，而学生丁的身高就是 当x=1.5米时函数y的值。设抛物线解析式为y=ax2+bx+c由题意得A(-1,1)、B(3,1)、C（0，1.5），所以抛物线的解析式为y= - x2+ x+ ,当x=1.5时，y=1.625，故选(B).载体六：统计量问题案例7： （跳小
10、绳问题） （2004年江苏省镇江市中考题）为了解初三毕业班学生1min跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三毕业生进行1min跳绳次数的测试，将所得数据进行处理，可得频率分布表:组别分组频数频率189.5-99.540.04299.5-109.530.033109.5-119.5460.464119.5-129.5bC5129.5-139.560.066139.5-149.520.02合计a1.00（1）在这个问题中，总体是_，样本容量a=_（2）第四小组的频数b=_，频率c=_（3）若次数在110次（含110次）以上为达标，试估计该校初三毕业生1min跳绳次数的达标率是多少？（4）在这次测试中
11、，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？分析：根据频数与频率的关系，可以先确定样本容量a，再求出第四小组的频数b和频率c,结合频率分布表，易知达标率和中位数的位置。 此题结合跳绳活动考查频数、频率、频率分布等概念，并由此引出中位数、达标率等问题，解决这类问题的关键是根据频数与频率、频数与样本容量的关系找出确定相关量的突破口。载体七：三角函数问题案例8：(放风筝问题)三月是放风筝时节,当一定长度(Lm)的绳子与地面成角, 风筝的高度是随角度的增大而升高等设计数学问题,从而加深学生对三角函数的增减性的理解。三、 从学生操作实验中探索计数问题载体八： 古代有一个数学家伏羲氏，以结绳记数，即在绳子上打一
12、个结表示一个数。而古埃及人用带结的绳子就能拉出直角来你能说出其中的道理吗？就是把绳子均匀打12个结，将其围成三边分别是3，4，5的三角形，因为32+42=52所以这个三角形是直角三角形。案例9： （2005年河北省）一根绳子弯曲成如图1所示的形状，当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪成5段，当用剪刀像图3那样沿虚线b（ba）把绳子再剪开一次时，绳子就被剪为9段，若用剪刀在虚线a、b之间把绳子再剪（n-2）次剪刀的方向与a平行，这样一共剪n次时绳子的段数是( )(A)4n+1 (B)4n+2 (C)4n+3 (D)4n+5分析： 本题将等差数列与实际问题联系起来，有利于培养学生的动手
13、操作能力和猜想能力，更能激发学生学习数学的兴趣，通过动手操作，按要求分别剪1，2，3，4刀绳子分别被剪成5， 9，13，17段，可以发现每多剪一刀，绳子便多出4段，然5，9，13，17是一个等差数列，容易猜想出本题的结是4n+1，故应选(A)。针对这样计数的问题，教学时引导学生探究:探究1：（拉面问题） 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，这样捏合到第_次后拉出128根面条。（济南市中考题）探究2：一根拉直的绳子从中剪一刀被分成两段，但是如果将一根绳子对折后再剪一刀，绳子就变成了三段，将一根绳子对
14、折两次后再从中剪一刀，绳子就变成五段，将一根绳子对折五次后，再从中剪一刀，绳子就变成了（ ）(A)17段 （B）33段 （C）54段 （D）65段四、 学科知识渗透探究案例10：“猴子爬绳”。一根绳子穿过无摩擦力的定滑轮时，其一端悬挂着一只重10磅的砝码，绳子的另一端有只猴子，同砝码正好取得平衡。当猴子开始向上爬时，砝码将如何动作呢？（不计绳子的重量） 教学中，教师能利用学科知识整合到数学教学中，扩展学生的视野，让学生去探究：有一只猴子在拉吊桥，当吊桥拉到与水平成30（或60或90）角时，绳子应拉下多长？除上述列举之外，还有纤绳过河，遮阳篷的起放，食品盒的包装等都离不开绳子。以绳子为载体建立数学模型，在新课标考题中也时时出现。教师在教学中，能融会贯通，旁敲侧击，改变传统问题呈现信息的方式，变“直接信息”为“图形信息”，变“封闭”为“开放”。从学生日常生活中所遇到的问题出发，以贴近现实生活中的事和物为载体，结合教材渗透其他学科知识，建立数学模型，去解决实际问题。这样既激发了学生学数学的兴趣，又拓展了学生思维，真正使学生认识到数学之美，学数学的价值。参考文献:1. 数学课程标准.北京师范大学出版社2. 李正平.现实生活中的分类问题.数理化解题研究.2006.123. 曾庆丰.新课程下数学建模教学.中学数学教育.2006.12
