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1、第四章 实验数据分析与处理,数据差值与拟合方法；数据线性回归分析；方差分析；正交试验分析与判别分析；多元数据的相关分析。,4.1 曲线拟合,概念：利用实验中测量的数据，得到一个光滑的曲线来反映某些工程参数的规律。,4.1.1 最小二乘法拟合,试验测得数据：(xi,yi),i=0,1,.,m目标函数：y=S(x)误差:要求得使误差最小的函数S(X),4.1.1 最小二乘法拟合,polyfit：p=polyfit(x,y,n)p,S=polyfit(x,y,n)p,S,mu=polyfit(x,y,n),4.1.1 最小二乘法拟合,例：x=0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3;x=0.1
2、,0.2,0.15,0,-0.2,0.3;y=0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72;p=polyfit(x,y,2)p=1.7432-1.6959 1.0850,4.1.1 最小二乘法拟合,绘图比较：xi=-0.2:0.01:0.3;yi=polyval(p,xi);plot(x,y,*,xi,yi,r),4.1.1 最小二乘法拟合,例：x=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1;y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;p=polyfit(x,y,2)p
3、=-9.8108 20.1293-0.0317y=9.8108x2 20.1293x0.0317,4.1.1 最小二乘法拟合,绘图比较：xi=linspace(0,1,100);z=polyval(p,xi);plot(x,y,o,x,y,xi,z,:),4.1.1 最小二乘法拟合,多项式阶次的选择是有点任意的。两点决定一直线或一阶多项式。三点决定一个平方或2阶多项式。按此进行，n+1数据点唯一地确定n阶多项式。于是，在上面的情况下，有11个数据点，我们可选一个高达10阶的多项式。然而，高阶多项式给出很差的数值特性，人们不应选择比所需的阶次高的多项式。此外，随着多项式阶次的提高，近似变得不够光
4、滑，因为较高阶次多项式在变零前，可多次求导。,4.1.1 最小二乘法拟合,以10阶多项式拟合：pp=polyfit(x,y,10);format short e pppp=-4.6436e+005 2.2965e+006-4.8773e+006 5.8233e+006-4.2948e+006 2.0211e+006-6.0322e+005 1.0896e+005-1.0626e+004 4.3599e+002-4.4700e-001,zz=polyval(pp,xi);plot(x,y,o,xi,z,:,xi,zz),4.1.1 最小二乘法拟合,例：x=0:0.1:pi;y=sin(x);p=
5、polyfit(x,y,9);x1=0:0.1:2*pi;y1=sin(x1);y2=polyval(p,x1);plot(x1,y2,r*,x1,y1,k-),4.1.2 直线的最小二乘拟合,可以采用多项式拟合的命令实现；利用矩阵除法进行直线最小二乘拟合 由于最小二乘法的直线拟合在数据处理中有其特殊重要作用，所以单独予以介绍。,4.1.2 直线的最小二乘拟合,编写linefit函数：function k,b=linefit(x,y)n=length(x);x=reshape(x,n,1);y=reshape(y,n,1);A=x,ones(n,1);bb=y;B=A*A;,bb=A*bb;y
6、y=Bbb;size(B)size(bb)k=yy(1);b=yy(2);,4.1.2 直线的最小二乘拟合,例：clear x=0.5 1 1.5 2 2.5 3;y=1.75 2.45 3.81 4.8 8 8.6;k,b=linefit(x,y)k=2.9651b=-0.2873,y1=polyval(k,b,x);plot(x,y1);hold onplot(x,y,*),4.2 数值插值,在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。插值（Interpolat
7、ion），有时也称为“重置样本”，是在不生成像素的情况下增加图像像素大小的一种方法，在周围像素色彩的基础上用数学公式计算丢失像素的色彩。有些相机使用插值，人为地增加图像的分辨率。,4.2.1 Lagrange插值,数学原理：已知插值节点(x1,x2,.,xn),函数值(y1,y2,.,yn)。则n次Lagrange插值多项式：其中,4.2.1 Lagrange插值,编写函数function yy=lagrange(x,y,xx)m=length(x);n=length(y);if m=n,error(向量x与y的长度必须一致);ends=0;for i=1:n t=ones(1,length(
8、xx);for j=1:n if j=i,t=t.*(xx-x(j)/(x(i)-x(j);end end s=s+t*y(i);endyy=s;,4.2.1 Lagrange插值,x=0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3;y=0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72;xi=-0.2:0.01:0.3;yi=lagrange(x,y,xi)plot(x,y,o,xi,yi,k);title(lagrange);,4.2.2 hermite插值,数学原理：已知插值节点(x1,x2,.,xn),函数值(y1,y2,.,yn)，以及一阶导数值(y1,y2,.,yn)。插值
9、区域内任意x对应的y值为：其中,4.2.2 hermite插值,编写函数function yy=hermite(x0,y0,y1,x)n=length(x0);m=length(x);for k=1:m yy0=0;for i=1:n h=1;a=0;for j=1:n if j=i h=h*(x(k)-x0(j)/(x0(i)-x0(j)2;a=1/(x0(i)-x0(j)+a;end end yy0=yy0+h*(x0(i)-x(k)*(2*a*y0(i)-y1(i)+y0(i);end yy(k)=yy0;end,4.2.2 hermite插值,t=0.1 0.5 1 1.5 2 2.5
10、 3;y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.5 0.72 1.9;y1=1 1.5 2 2.5 3 3.5 4;yy=hermite(t,y,y1,1.8)t1=0.1:0.01:3;yy1=hermite(t,y,y1,t1);plot(t,y,o,t,y1,*,t1,yy1),4.2.3 分段线性插值,x=-5:1:5;y=1./(1+x.2);x0=-5:0.1:5;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.2);y2=interp1(x,y,x0);,plot(x0,y0,o);hold onplot(x0,y1,-);hold onplot(x0,y2
11、,*),clearx=0:10;y=sin(x);xi=0:0.25:10;yi=interp1(x,y,xi);plot(x,y,o,xi,yi),4.2.3 分段线性插值,4.2.4 三次样条插值,spline命令 可以实现插值曲线的二阶光滑，即连接点处曲线的二阶导数连续。工程应用：高速飞机的机翼形线图形的绘制等。早期制图采用将样条固定在样点上的方法，故称为样条曲线。,4.2.4 三次样条插值,x=0:.25:1;Y=sin(x);cos(x);xx=0:.1:1;YY=spline(x,Y,xx);plot(x,Y(1,:),o,xx,YY(1,:),-);hold on;plot(x,
12、Y(2,:),o,xx,YY(2,:),:);,4.2.5 多维插值,X,Y=meshgrid(-3:.25:3);Z=peaks(X,Y);XI,YI=meshgrid(-3:.125:3);ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI);mesh(X,Y,Z);hold onmesh(XI,YI,ZI+15);axis(-3 3-3 3-5 20);,4.3 回归分析,确定性函数关系变量之间关系 不确定性统计关系统计分析统计分析重要方法：回归分析,4.3.1 一元线性回归,一元线性正态误差模型：一元线性回归即一阶多项式拟合。调用格式：ployfit(x,y,1),4.3.2 多元线性回归,
13、若y与p个自变量相关：,线性回归即求，根据已有数据估计之值,4.3.2 多元线性回归,调用格式b=regress(y,x)其中y为因变量，x为自变量。b,bint,r=regress(y,x)其中bint为回归系数b的95%置信度的置信区间，r为残差。,4.3.2 多元线性回归,y=11.922.818.720.112.921.727.125.421.319.3 25.427.211.717.812.823.922.625.414.821.1;x=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1;19.524.730.729.819.125.631.427.922
14、.125.5 31.130.418.719.714.629.527.730.222.725.2;43.149.851.954.342.253.958.652.149.953.5 56.656.746.544.242.754.455.358.648.251;29.128.23731.130.923.727.630.623.224.8 3028.32328.621.330.125.624.627.127.5;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x),4.3.2 多元线性回归,b=107.8763 4.0599-2.6200-2.0402bint=-100.7196 316.
15、4721-2.2526 10.3723-8.0200 2.7801-5.3790 1.2986,r=-2.8541 2.6523-2.3515-3.0467 1.0842-0.5405 1.5828 3.1830 1.7691-1.3383,0.7572 2.1928-3.3433 4.0958 0.9780 0.1931-0.6220-1.3659-3.6641 0.6382,4.3.3 部分最小二乘回归,又称为“偏最小二乘回归”，产生于化学领域的光谱分析。当自变量与因变量（函数值）之间多重相关时，采用此方法回归。提取自变量X和因变量Y数据表中具有代表性，且相关程度最大的成分t1和u1，然后
16、分别实施X对t1的回归及Y对u1的回归，重复此过程直至获得满意的精度。,4.3.3 部分最小二乘回归,beta,VIP=entirepls(X,Y)beta=-0.0778-0.1385-0.0604-0.4989-0.5244-0.1559-0.1322-0.0854-0.0073VIP=0.9982 1.2977 0.5652,4.8 matlab数理统计基础4.8.1 样本均值,调用格式：M=mean(A)M=mean(A,dim)Nanmean 算术平均geomean 几何平均harmmean 和谐平均trimmean 调整平均,4.8.1 样本均值,trimmean(1,3,4,2,
17、6,5,7,8,50)ans=4.5000 harmmean(2,5,3,6)ans=3.3333,4.8.2 样本方差与标准差,样本方差：V=var(X)X是向量则输出各元素的样本方差；若X是矩阵则输出各列向量的方差，输出一个行向量。样本标准差：s=std(X)X是向量则输出各元素的样本标准差；若X是矩阵则输出各列向量的标准差，输出一个行向量。,4.8.2 协方差与相关系数,E(X-E(X)(Y-E(Y)称为随机变量X和Y的协方差，记作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)。协方差是描述X和Y相关程度的量。调用格式：cov(x),4.8.2 协方差与相关系数,相
18、关系数：相关系数 又称皮（尔生）氏积矩相关系数，说明两个现象之间相关关系密切程度的统计分析指标。其中D(X)是X的样本方差。调用格式：corrcoef(X)corrcoef(x,y),4.8.2 数据比较,常见比较函数max 求最大值nanmax 求忽略nan的最大值min 求最小值nanmin 求忽略nan的最小值median 求中值nanmedian 求忽略nan的中值sort 由小到大排序sortrows 按行进行排序,4.8.2 数据比较,A=95 27 95 79 67 70 69 95 7 48 95 75 3 31 95 7 73 65 74 27 95 95 7 14 3 39
19、 4 3 76 15 42 84 65 9 43 76 97 91 93 17 82 38,4.8.2 数据比较,sortrows(A)ans=76 15 42 84 65 9 43 76 97 91 93 17 82 38 95 7 14 3 39 4 3 95 7 48 95 75 3 31 95 7 73 65 74 27 95 95 27 95 79 67 70 69,4.8.2 数据比较,sortrows(A,1)ans=76 15 42 84 65 9 43 76 97 91 93 17 82 38 95 27 95 79 67 70 69 95 7 48 95 75 3 31 9
20、5 7 73 65 74 27 95 95 7 14 3 39 4 3,4.8.2 数据比较,sortrows(A,1,7)ans=76 97 91 93 17 82 38 76 15 42 84 65 9 43 95 7 14 3 39 4 3 95 7 48 95 75 3 31 95 27 95 79 67 70 69 95 7 73 65 74 27 95,4.8.2 数据比较,练习 median(2,5,3,6,4)median(2,5,3,6)sort(2,5,3,6,4),4.8.5 数据累积与求和,常用命令：sum 求累和nansum 忽略nan，求累和cumsum 求此元素之
21、前的元素和cumtrapz 求梯形累和cumprod 求当前元素与所有前面元素之和,4.8.5 数据累积与求和,cumsum(1:5)ans=1 3 6 10 15A=1 2 3;4 5 6;cumsum(A)ans=1 2 3 5 7 9,cumsum(A,2)ans=1 3 6 4 9 15,4.8.5 数据累积与求和,A=1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 sum(A)ans=6 9 12 15,sum(A,2)ans=10 14 18,4.8.5 数据累积与求和,Y=0 1 2;3 4 5;cumtrapz(Y,1)ans=0 0 0 1.5000 2.5000 3.5000cumtrapz(Y,2)ans=0 0.5000 2.0000 0 3.5000 8.0000,
