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1、城市供水量预测摘要本文根据某城市2000-2006年七年间日供水量数据，就该城市供水量的预测及水资源的定价等问题进行了讨论，建立了相应的数学模型，对各问题进行了求解。对于问题一，经过对数据进行统计、作图分析，可以发现该城市供水量随时间变化而呈现逐年递增规律，又结合实际考虑到供水量不会随时间无限增长下去。因此根据指数函数具有渐近线的特点，建立了指数函数增长模型，得到2007年1月供水量预测值为4572.5 万吨。对于问题二，首先计算出2000-2006年7年间84个月两水厂每月供水量占月供水总量的比例，得知一二水厂的供水比例接于近定值，故对84个月两水厂的供水比例取算术平均值，作为2007年1月
2、两水厂的供水比例，然后根据问题一得到的总供水量预测值计算出：2007年1月一号水厂供水量预测值2801.9万吨，二号水厂供水量预测值1757.8万吨。对于问题三，在求出2000-2006年每月供水量后得知，用水量最大的月份出现在每年8月，通过绘制水价与每年8月供水增长率的关系曲线图，剔除不合理数据后，选用反比例函数进行拟合，求出增长率随价格改变的函数方程，由此求出2007年8月初将水价调至6.1元，可使该月用水量少于5045万吨。关键词：指数增长；曲线拟合；MATLAB一、问题重述 世界水资源严重紧缺，为了节约能源和水源，供水公司需要根据日供水记录估计未来一段时间（未来一天或一周）的用水量，以
3、便安排未来（该时间段）的生产调度计划。城市在不同时刻由于经济生产和居民生活情况不断变动，用水量会有一定的波动。在短期内，城市用水量的变化具有周期性，如月用水量的年周期性、时用水量的日周期性等。从较长时间来看它又具有年增长的趋势，这种增长趋势的变化受到城市发展、经济因素等条件的制约城市供水量预测就是根据城市历史用水量数据的变化规律，并考虑社会、经济等主观因素和天气状况等客观因素的影响，利用科学的、系统的或经验的方法，对城市未来短时间内的需水量进行预测。现在有某城市7年的历史记录，记录中给出了日期，每日用水量（吨/日）；当日的最高温度和最低温度；一号水厂和二号水厂日供水量。需根据所给数据确定以下问
4、题：1预测2007年1月份城市的计划供水量。2预测2007年1月份城市中每个水厂的计划供水量。3由于水资源的匮乏，必须要节约水资源。除制定法规和加强宣传外，提高水价格也是节水的主要措施。采用每年调一次水价的措施，希望2007年8月份的供水量不超过5045万吨，请确定合理的水价调整方案。二、问题分析2.1问题一的分析数据给出了2000-2006年每一天的供水量，利用MATLAB绘制出供水量随时间变化的走势图，由走势图可知，供水量随时间变化呈现周期性变化，故对2007年一月用水量的预测只能针对2000-2006年每年1月的数据进行处理。将2000-2006年1月的每天的供水量进行加总，得到月供水总
5、量，分析其随时间的变化走势发现，每年1月的用水总量在逐年递增，曲线较为平滑，但供水总量不会随时间的增长无限增长下去，这与实际情况不符，根据上述情况，可选择指数模型进行预测。2.2问题二的分析一号水厂和二号水厂供水量之和应该等于总预测供水量，对于各个水厂供水量的预测，需要由2007年1月份的预测水量决定，故求出2000-2006年各月两个水厂供水比例，然后对供水比例进行算术平均，确定两水厂的供水比例标准，再应用预测出的2007年1月的用水总量，可得出两水厂2007年1月的供水量值。2.3问题三的分析由于水资源的匮乏，必须要节约水资源。提高水价格是节约用水的主要措施。采用每年调一次水价的措施，使2
6、007年8月份的供水量不超过5045万吨。根据消费心理学方面的知识可知，水不仅仅是人类生存须臾离不开的物质，它同样是一种商品。当一种商品的价格上涨时，其销售量必然会受到影响。因此，当水价提高后，城市居民的用水量必然会受到抑制，但考虑到社会的发展、经济水平的提高 、人口的增长等因素，用水量不会明显减少，在数学上应表现为用水量的增长率随价格的提高而减小。三、模型假设 (1) 假设历史数据具有较高的准确性；(2) 假设没有大的自然灾害的发生以影响用水量的多少；(3) 假设在短期内可以认为不同年同一日的最高、最低气温相差不大，即在选取不同年同一日的用水量进行建模时,可排除气温的影响；(4) 假设水价的
7、调整抑制用水量的增长率。四、符号说明用水量增长率随价格变化的函数一号水厂第年第月供水量占月供水总量的比例二号水厂第年第月供水量占月供水总量的比例一号水厂平均供水量的比例二号水厂平均供水量的比例五、模型建立与求解5.1问题一5.1.1指数增长模型从实际情况出发可知，供水总量不会随时间的增长无限增长下去，而供水总量的增长是增长率不断减小的过程，指数函数的特点是它有一条渐近线，经过适当的变形后，可使供水量的增长率随时间增长不断减小，故可利用此性质构造模型。设用水量随时间变化的指数模型为： （1）5.1.2指数增长模型的求解 利用已知数据进行曲线拟合，通过MATLAB编程（程序见附录1）运算可求出的值
8、： 模型可表示为： （2）最终得到2007年供水量的预测值为4572.5万吨。5.1.3指数增长模型的检验由MATLAB程序绘制拟合曲线与实际曲线的对比图形： 图1 拟合曲线与实际曲线的对比由MATLAB软件求得的拟合值如下表：表一 拟合值与实际值的比较2000120002200032000.42000.52000.62000.7实际值（万吨）4162.34186.04296.94374.94435.24435.24517.7拟合值（万吨）4072.14219.94329.44410.54470.64515.14548.15.2问题二5.2.1对1月两水厂供水量的预测根据数据可知，一号水厂和二
9、号水厂供水量之和应该等于总预测供水量，因此各水厂的供水量由一月供水量的预测值决定。由MATLAB软件得到2000年1月两水厂供水量随天数变化得走势图（如图2）：从图中可以发现，两个水厂的供水量均呈现周期性变化。设：为一号水厂第年第个月的供水总量为二号水厂第年第个月的供水总量；为第年第个月的供水总量。且。图2 2000年1月两水厂供水量走势图则：一号水厂第年第个月的供水比例：=;一号水厂第年第个月的供水比例：=.且 =1-.具体由MATLAB求出一号水厂20002006年间84个月的供水量比例并制图3。图3 一号水厂供水总量比例走势图从上图中可以看出，一号水厂各月的供水量占月供水总量的比例只在很
10、小的区间：0.606-0.617内波动，由此知二号水厂各月的供水量占月供水总量的比例在：0.393-0.404内波动，变化量不大。故可将84个月的供水比例取算术平均值作为两水厂的供水比例的预测值。计算两个水厂2000-2006年中84个月每月供水量所占月供水总量的比例的算术平均值：一号水厂平均供水量的比例：；二号水厂平均供水量的比例：。以此作为2007年1月两水厂的供水比例，结合预测得到的2007年总供水量计算出2007年1月各水厂的供水总量。一号水厂供水总量：万吨二号水厂供水总量：万吨5.3问题三5.3.1反比例模型 图4 2000-2006年每月供水总量 由图4可知，每年供水量的最大值出现
11、在8月，故应选择8月进行调价。取各年8月的供水总量，求得调价前后的供水量增长率，由此绘出图5：图5 用水量增长率关于随间变化走势图从图5可看出，2007年的增长率数据点应出现在下一波谷处，故可选取水价为3.4元、4.3元、5元的三组数据点，进行曲线拟合求出2007年8月的增长率，其他三组数点视为伪数据剔除。图6 剔除伪数据后的增长率与水价散点图观察其走势选择反比例函数建立模型： （3）其中为水价，为待求系数5.3.2反比例模型的求解利用已知数据进行曲线拟合，通过MATLAB编程（程序见附录4）运算可求出的值： 0.0263模型可表示为： （4） 其函数图形如图7：图7 水价与用水量增长率拟合曲
12、线由2006年8月的用水总量（4971.3万吨）与增长率可预测出2007年8月的用水总量，由题中条件知2007年8月份的供水量不超过5045万吨，可得下式： （5）求解（5）时取等号，得水价=6.09706.1元，即在2007年8月初时把水价提高到6.1元以上可使供水量少于5045万吨。 六、模型改进与推广针对本题背景的一些实际情况，同时针对定价的方案我们提出了如下一些改进：由于以上模型均只考虑了单一变量的影响，而忽略了调整价格时间、最低最高温度、调价幅度等因素的影响，这会产生一定的误差，由此想到采用多元线性回归模型进行预测：多元线性回归模型进行用水量控制：可以通过建立各年8 月份的总用水量与
13、调整价格X，调整价格时间Y，年份Z 的多元线性回归方程：其中 是待估计的回归系数，是随机误差。 对于问题二的求解选择了比例预测法，也可利用2000-2006年每年一月份两水厂供水量结合问题一的模型直接进行预测。指数增长模型可用于生活必须品的销售预测上，利用模型并结合往年的销售量，可对未来一段时间的销售情况进行预测。七、模型评价本文主要有以下优点：(1) 模型将历史数据按照月份来处理，这样可以减少个别日期的用水量会发生剧烈变动，方便我们从整体上把握规律； (2)鉴于两个水厂供水量呈现周期性变化（每7天为一个周期），且变动较为稳定，我们找到两水厂供水量之间的关系，对水厂供水方案的确定提供依据。本文
14、主要有以下缺点：(1) 由于历史数据有限，我们在预测的过程中，预测精度受到了限制；(2) 影响用水量的因素有很多如：人口增长、地理位置、降雨量、经济增长等，但由于数据不全面，模型并没有反应上述因素对用水量的影响。八、参考文献1 薛定宇等，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京：清华大学出版社，2004年8月第一版。2 陈杰，MATLAB宝典，北京：电子工业出版社，2007年。3 曾正，陶佳燕，林志敏，城市供水量预测的数学模型，第2卷第2期： 11-15页，2008年。4 郑爽英，城市供水量的预测买模型研究，总第87期：19-26页，1995年。附录附录1：指数函数求解程function f=
15、nihe(a,n)f=a(1)*exp(-a(2)*n+a(3)+a(4);具体MATLAB程序x0=40311990,41860254.15,42969866.24,43748519.85,44352343.8,45054273.6,45176993.1/10000;n=1:length(x0);a0=0.2,0.5,0,4700;a,resnorm,residual=lsqcurvefit(nihe,a0,n,x0);i=1:length(x0)+1;y=nihe(a,i); i=i+1999;plot(i,y,r,i,y,ro,n+1999,x0,n+1999,x0,*); grid o
16、n;title(曲线拟合曲线); xlabel(年份); ylabel(各年一月总用水量（万吨）);text(2001,4550,红线为预测线);cancha1=sum(abs(y(1:length(x0)-x0)/length(x0);cancha2=sum(abs(y(1:length(x0)-x0)./x0)/length(x0)附录2：7年84个月各月总供水量与一号水厂供水比例求解程序function modeldata=xlsread(out.xls);a=data(:,1);b=data(:,5);c1=zeros(7,12);d1=floor(a./10000);d2=floor
17、(a./100)-d1.*100;for j=2000:2006 for k=1:12 for i=1:2557 if (d1(i)=j)&(d2(i)=k) c1(j-1999,k)= c1(j-1999,k)+b(i); end end endendc1附录3：反比例模型求解程序function f=yi(a,b)f=a(1)./(b+a(2)+a(3)；b=3.4,4.3,5.0;h=0.0189,0.0179,0.0170;a0=0.01,35,0.5;a,resnorm=lsqcurvefit(yi,a0,b,h); k=3.0,3.4,3.9,4.3,4.7,5.0,5.2;y=y
18、i(a,k)；plot(b,h,*,k,y)；grid onylabel(同比每年8月增长率); xlabel(调价后综合水价（元/吨）)；tittle(水价与用水量增长率的拟合曲线);a=0.0436,1.9607,0.0108 附录4：一号水厂个月供水比例d=0.6177 0.6156 0.6098 0.6168 0.6162 0.6109 0.6134 0.6179 0.6136 0.6177 0.6119 0.61470.6177 0.6145 0.6099 0.6166 0.6160 0.6106 0.6179 0.6131 0.6134 0.6176 0.6120 0.61470.
19、6172 0.6143 0.6097 0.6165 0.6155 0.6101 0.6177 0.6129 0.6135 0.6176 0.6118 0.61340.6177 0.6143 0.6098 0.6168 0.6161 0.6109 0.6134 0.6179 0.6136 0.6177 0.6119 0.61460.6177 0.6136 0.6118 0.6166 0.6131 0.6134 0.6180 0.6100 0.6167 0.6157 0.6106 0.61780.6154 0.6143 0.6116 0.6165 0.6127 0.6131 0.6177 0.60
20、97 0.6167 0.6158 0.6105 0.61660.6177 0.6143 0.6098 0.6167 0.6161 0.6108 0.6134 0.6179 0.6136 0.6178 0.6119 0.614600.6177 0.6156 0.6098 0.6168 0.6162 0.6109 0.6134 0.6179 0.6136 0.6177 0.6119 0.6147;p=d(1,:) d(2,:) d(3,:) d(4,:) d(5,:) d(6,:) d(7,:)mean(p)ans = 0.6145附录5：2000-2006年每月供水总量2000年2001年200
21、2年2003年2004年2005年2006年1月4031.19904186.02544296.98664374.85194435.23434505.42734517.69932月3663.81903767.46833880.87033970.88664135.96084233.71764186.63373月3919.74403882.81704154.69604198.74404474.74854643.30164644.00634月3775.48703982.52484009.11804045.48704257.75794475.95474475.85165月4034.07103823.62
22、104181.30404313.07104132.97904463.18304627.15906月4110.41003982.63704176.89704380.41004282.79304442.92704680.41007月4305.12904425.35404540.45504584.12904739.91204813.81904894.12908月4382.30504464.96204579.37504661.30504771.54404852.62704971.30509月4028.78704049.86104421.11804298.78704320.93204669.44204776.559610月3906.19503914.82604306.07204185.19504223.31504574.43904675.002811月3763.60804013.39024116.97704082.0112424.81934379.48304506.952312月3961.73303841.03504048.52214240.73304340.26634314.79114732.7623附图一附图二
