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1、2010北京交通大学 数 学 建 模 竞 赛,成员：刘丽琴 连莲 杨鹏浩,为自然数e谱曲,摘要,本文首先分析了音乐的基本组成要素，根据音乐要素的量化需要，对e的特性及数字串规律进行挖掘。最后通过e的规律和特性，量化了音乐要素，进一步谱出e的乐谱。,汇报内容,1 问题的提出 2 基本假设3 问题分析4 模型的建立与求解5 乐谱的生成6 模型评价,1问题的提出,问题关键,根据自然数 e=2.71828的数字串特点及数本身的含义，同样可以谱出有规律的乐曲。,数学建模就是从定量的角度分析和研究一个实际问题，而音乐通常更多的是感性上的表达，数学建模则需要严格的定量分析。,如何通过数学建模的方法，将e的规
2、律特性通过乐谱表达出来,2.基本假设,音的频率只与弦长有关，其他变量固定；设定曲谱不存在无效的音符，即所有乐谱都能唱出；通过级数对e的计算在允许的误差范围内。,3.问题分析,基本思路,自然数e的数据分析 运用统计知识进行，根据乐谱的要素确定所需要的统计量，从e中提取 e的本质 通过对e的定义、来源以及e的一些重要性质进行探究等,音乐,音高、节奏等要素可以量化,对应关系,3.问题分析,具体分析,将音乐的要素转化成乐谱的要素。明确e的定义，探究e表现出的特殊性质。计算出e的值，保留10001位，从中找出e取值的规律。将音乐的要素进一步量化，与e的特性和取值规律建立对应关系。根据所确定的音乐要素，写
3、出对应的曲谱。对形成的曲谱进一步分析完善，使得e的特性得到充分的体现。,4 模型的建立与求解,4.1 音乐要素的分析4.2 e的定义及特征分析4.3 e数字串特征分析 4.4 乐谱要素的量化,4.1音乐要素的分析,音乐的要素：音的高低由物体在一定时间内的振动次数（频率）决定 音的长短是由于振动的延续时间决定的 振幅大音就强，振幅小音就弱 音色是由发音物体所产生的谐波决定的简谱中的要素：主音，即乐谱中的基准音，相当于其他调号的参考系 节拍，每一下就是一拍 音符，记录音的高低和长短的符号,4.2 e的定义及特性分析,e的极限取值分析自然数e的值是由极限来明确的。无论在x趋向正无穷大的时还是负无穷大
4、时，极限等于e=2.71828,e的“自然律”分析自然数e也是“自然律”的一种量的表达，由e经过一定变换和复合的形式。“自然律”的形象表达是螺线，收缩的螺线永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。,e的微分与积分性质自然数e表现出的另一个重要性质就是微分与积分不变性质。即有，,费马螺线,对数螺线,双曲螺线,4.3 e数字串特征分析,利用matlab计算出e的10001位数值，10001位、1001位e值所表现出的规律如下图：,4.4 乐谱要素的量化,主音频率之间关系 其中，L是弦的长度；T是弦的张力，只要不旋转调弦器旋钮，T就不会变化；是弦单位长度的质量。音乐上，正是依据这个原理，定义
5、了各个音符之间的相对频率。并且定义，频率为原来的2倍的音与原来频率的音之间的音程为八度。其中，最常用的西方的十二平均律，作为音乐的基础音阶。,4.4.1主音的确定,主音频率之间关系 其中，L是弦的长度；T是弦的张力，只要不旋转调弦器旋钮，T就不会变化；是弦单位长度的质量。音乐上，正是依据这个原理，定义了各个音符之间的相对频率。并且定义，频率为原来的2倍的音与原来频率的音之间的音程为八度。其中，最常用的西方的十二平均律，作为音乐的基础音阶。,4.4.1主音的确定,确定主音的函数 确定主音可以从主音的主音的频率入手。通过频率，确定主音。而频率，又可以从弦长L进行控制。在e的值中，能与弦长L 进行匹
6、配的，则是两个相邻数之间差的绝对值，用di表示。设ai为e第i（i=1,2,3,）位取值，主音=G1（f）=G2（L）=G3（d）其中，f 表示频率，L表示弦长，d表示e相邻位取值差的绝对值。由于主音与频率f是一一对应的关系，而f与L 成反比，L 与d成正比，因此主音与d成反比关系。,4.4.1主音的确定,4.4.1主音的确定,对d序列进行单位根检验，得d序列没有单位根，d序列稳定。因此，这里取10000个di的平均值作为总体特征d.即：,根据G3函数的对应关系，得到主音应该定为B,特征d的确定,一一,4.4.2节拍的确定,音乐中，根据平均十二音律法，相邻音的频率比值是一定的，为1.059倍。
7、由此，可以联想到对这10000个距离d的比值进行探究。这里距离的比值用Qi表示，即,4.4.2节拍的确定,可以较好得出以710/6300280/2300 1/8音符为一拍，从图上看一节基本为9拍，即乐谱的整个节拍可以表示为9/8。,由于在比值中除数等于0时设定了比值最高值10，因此，出现10的点可以看成一个周期。9999个比值中，一共出现了1020个10。从图15可以看出，周期依然很不稳定。进一步计算，得到10出现的间隔为：,4.4.3音符的确定,根据找到的e位相邻距离比值的最合适的周期，对一个周期内的Qi按一定函数进行转化，得到最后的音符。转换函数的确定：首先，利用单位根检验，分析9999个
8、Qi的稳定性，判断Qi稳定。在Qi稳定的基础上，得到Qi的平均值为Q=9.810.在Qi平均值接近10的情况下，如表2所示，定比值10的音为高C，频率为1040。其他音根据与C音频率的倍数，确定频率，由频率再转化成对应音符。其中，转化后频率范围在2603900 Hz。,5 乐谱的生成,以上对乐谱要素的分析，包括：主音定位B调；节拍为9/8，即以1/8分音符为一拍，一节9拍；音符来源于螺旋演进周期的一段，改演进周期为e数字串中相邻数的比值Qi=10出现的时间间隔所形成的。同时，考虑到e的其他一些特性，包括微分和积分不变、正负无穷极限相同等因素，根据以上的初步分析和转化，得到e的乐谱。,5 乐谱的生成,6 模型的评价,优势：巧妙地利用了声音频率与弦长的关系，有效地结合了e的数字串和音乐要素。充分应用了统计分析技术，对e数字串进行了大量的分析、变换、处理，得到了可以反映音乐要素的规律和统计量，从而解决了音乐基本要素的确定。在乐谱中，也很好地结合了e的定义及其相关特性，使得乐谱的旋律更加流畅自然，充分体现出了e的特征。不足之处：受限于计算机技术，没有对数字串进行更加严格拟合模拟，以得到更准确的信息和参量。,不当之处，望老师多多指正！,谢谢！,
