可测集的判定方法及其性质大学数学毕业论文.doc

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1、江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文可测集的判定方法及其性质Determination Methods and Properties ofthe Measurable Set姓 名： 学 号： 学 院：数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 完成时间： 2011年4月20日 可测集的判定方法及其性质 【摘要】 在本论文中，我们介绍了基于Caratheodory测度理论上的Lebesgue测度理论.从可测集的定义出发，我们讨论可测集的性质.我们还讨论了可测集和Borel集之间的关系.为了更好地了解可测集的性质，我们在文中给出一些例子.通过写这篇论文，我对可测集的性质及其结

2、构有了更深刻全面的了解.【关键字】测度 可测集 性质 Determination Methods and Properties of the Measurable Set *Abstract In this paper, we introduce the Lebesgue measure theory which is based on the Caratheodory measure theory. From the definitions of measurable set, we discuss the properties of measurable set. We also disc

3、uss the relationship between measurable set and Borel set. In order to obtain a good understanding the properties of measurable set, we give some examples in the paper. Through writing this paper, I get a comprehensive and profound understanding about the construction and properties of measurable se

4、t.Keywords Measure Measurable set Properties 目录1.引言12.可测集的定义23.可测集的性质4(1)零测集4(2)可测集关于集合的运算性质5(3)单调的可测集序列94.可测集类及可测集的构成11(1)可测集类11(2)可测集与集的关系14参考文献、致谢201 引言实变函数论的核心问题是对我们在数学分析中已学过的黎曼（）积分进行推广，而建立一种应用范围更广，使用起来更灵活、便利的新的积分理论即积分理论.数学分析中积分基本上是处理几乎连续的函数，但随着理论的发展，积分理论的缺陷变得愈来愈明显，主要表面在以下两个方面：一方面是对被积函数的连续性要求太强，

5、以致于著名的函数这样一种非常简单的函数都不可积；另一方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性，而这一要求在实际问题中常常得不到满足，或虽然满足要想验证又非常的繁复，因此，无论在理论方面还是在实际应用方面改进积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的.为此,数学家通过努力建立了一种新型的积分积分.积分和积分的思路相反,不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和.19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索,逐渐形成测度概念.它作为建立积分的基础,

6、是要对中一般点集给出一种度量.它是长度、面积和体积等概念的推广.从1898年开始, 建立了一维点集的测度.法国数学家在20世纪初叶系统地建立了测度论,并成功地建立起新的积分理论.1915年法国数学家提出在一般代数上建立测度，开始创立抽象测的理论.1918年左右希腊数学家提出关于现代测度理论的关键理论.本文要介绍基于外测度理论上的测度理论.2 可测集的定义定义2.11 称是的可数开覆盖为点集的外测度，简称外测度，记作.定理2.11 外侧度具有如下性质：（1）对任意都有 （非负性）；（2）设，则 （单调性）；（3）设，则 （次可加性）；（4）设，若，则 （距离可加性）. 定义2.21 称中的点集为

7、可测集，如果对于任意，都有 （1）可测集的外测度就称为它的测度，简称测度，记作.测度为零的集合称为零测集.中所有可测集组成的集合称为可测集类.上述（1）式称为条件，它等价于：对任意都有 （2）事实上，若（1）式成立，则取反之，若（2）式成立，令 ,便有（1）式成立.注: 要证明点集可测,只需证明不等式 成立，因为相反的不等式总是成立.例11 证明对任意可测集和，都有 . 证明 可测，由条件对任意的，有 ,取,所以 (3)取 (4)综合（3），（4），得到.注: 可测集的定义方式有多种，原有的定义是通过内测度与外测度给出的，外测度如前所述，有界点集的内测度定义为 其中为包含的开区间. 的内测度记

8、作.由于是包含的开集无限外缩逼近的度量的极限值,所以实际上是包含于内的闭集向外无限膨胀的度量的逼近值,类似于用圆的内接正多边形面积逼近圆的面积,內胀于外缩能达到统一的值,这个值就自然是点集的度量.因此可以给出:定义2.31 设为中有界点集，如果=，则称是可测的.如果为中无界点集,若对于任何开区间,有界集都是可测的,则称是可测的. 可测集的外测度称为它的测度.注: 定义2.2和定义2.3是分别从两个方面对可测集下的定义,可以证明这两个定义是等价的,但是由于定义2.3中有界集和无界集受到不同对待,而且同时出现内外两种内外两种测度,使用起来很不方便 ,因此一般以定义2.2作为可测集的正式定义.3 可

9、测集的性质(1) 零测集例21 若的外侧度为零，则是可测集.证明 对，, 从而.所以可测.注: 测度为零的点集就为零测集.显然我们有:(1)零测集的子集也是零测集.(2)有限个或可数个零测集的并集也是可测集. 例31 可测集与零测集的并集也是可测集.证明 设是中可测集，是中零测集.因为 , = .由定义知可测. （2）可测集关于集合运算的性质.定理3.11 (1)若可测,则可测.(2)若可测,则,都可测. 证明 (1)由于 , 故可测能推出可测 .(2)对任意,它均可分解为,（如上图 ） A.集.可测集.显然互不相交，且,故由的可测性，得,同理，取则，从而有，又因可测，所以取，得，联立以上三式

10、，得，所以可测.由De Morgan公式，故也可测.又，所以也可测.注: 设则下列三种说法是等价的:（1）是可测集;（2）是可测集;（3）对任意.定理3.21 若为可测集,则,也可测.若进一步假设,则有 (5)证明 首先考虑两两不相交的情形.我们先证明:对任意的,有 (6)事实上,由于,在(2)式中取即可.进一步,很容易将(6)推广到 (7)其中为任意正整数.现证明可测.对任意,不妨设,则 ，由于可测，故，于是，所以，因为，从（7）式知，故令,知收敛，所以有，所以可测.在(7)式中取,有 (8)再应用引理2.51，立即得到（5）式.其次,考察一般可测集序列,我们令则是互不相交的可测集序列.而由

11、,即知是可测的,也是可测的.定理证毕.从(7)式可以推出:定理3.31 设是互不相交的可测集序列,则对任意,有 (9)例41 设是互不相交的可测集，.证明.证明 由定理3.2,可测,对任意,有 ，取,所以，由定理3.3知.证毕.(3)单调的可测集序列 定理3.41 设是可测集序列,且,.则也是可测的,且 （10）证明 因为，故可测.若存在l，使，则（10）式显然成立.现设,.由的单调性及可测性，均可测且不相交,所以有由于，所以，令,则.再应用测度的可数可加性，有=.例56 设是一列可测集，证明:.证明 先将求集合序列下限集的运算转化为求单调集列极限的运算,然后利用测度的性质进行必要的讨论. 由

12、于,记,这样的()是单调增加的,且,所以，对后一式两边取下限,注意到左边实际上存在极限,故有.综上所述得 .定理3.51 设是可测集序列,且,.则也是可测的.又设,则 . 证明 由的单调性知，且是递减数列，故存在.因为 ， 所以是递增可测集序列.由定理3.4,有，由于,故上式可以写为.即得欲证.例66 设是一列可测集,是某自然数,证明： .证明 由于,记,这样的是单调减少集列，且.由题设知,时，,所以.证毕.注: 从以上各定理可知,点集的可测性关于可数并、可数交、差、余和极限运算是封闭的,有了这些性质,我们可以从已知的可测集去发现和构造更多的可测集,由一些可测集去研究另外的可测集.4 可测集类

13、及可测集的构成(1)可测集类在上一节中,给出了中可测集的定义，并且知道了可测集的一些性质，但是除了零测集外，我们还不知道哪些具体的集合是可测的.本节要研究这个问题.由于我们是将测度作为长度、面积、体积该概念的扩充,因此凡可求长度、面积、体积的集合都应该是可测的.首先从区间开始.引理4.11 设是中的开区间,则.定理4.21 中任何开区间都是可测的,且.证明 由上面的引理1,只要证明可测.设，,对任意，要证明 （1） 令，)|,则当充分大，从而，由外测度的距离可加性,有，如果能证明，则(1)式就可以通过前式取极限得到,因为，现来证.令，)|,它将在附近的点盖住了.其体积,其中是与无关的正数.对的

14、其余部分,同样可分别作出与之类似的开区间盖住.最终,可用个体积不大于的开区间覆盖.于是,所以.令,则有于是(1)式成立,故可测. 注: 从定理4.1可以看出, 中任何区间与相应的开区间只差一个零测集.因此可以由此推出中任何区间都是可测的,且体积就是它的测度.下面研究在中有哪些集合是可测的.用分割函数值域的方法作积分和时,出现了形如的点集.我们知道,连续函数是可积的，在新的积分中也应该可积因此,当连续时相应的应该可测.为两个开集之差.因此开集应该是可测的.下面证明, 中的开集是可测集.首先,给出中开集的构造定理.引理4.31 中非空开集都可以表示成可数多个互不相交的左开右闭区间的并,即,其中，)

15、|,且.证明 对每一个正整数, 都可分解为可数多个形如，)|，,2, , (为整数) （2）的互不相交的左开右闭的区间.设时上述这些区间中完全包含在内的是，（有限个或可数个）.对于,用,表示上述那些区间中完全被包含,但不被任何包含的区间(有限个或可数个).这样可以得到可数多个左开右闭的区间.显然它们是互不相交的,.现对任意,因为G是开集,故存在,使得以x为中心的为半径的邻域.于是,当充分大时，（2）式中那些区间中包含x的那个一定完全被包含在内，从而，即.定义4.11 如果点集是可数多个开集的交,则称为集.如果是可数多个闭的并,则称为集.由开集出发,通过取余集,作可数交、可数并而成的集合类称为集

16、类，其中的元素称为集.定理4.41 中的开集、闭集以及任何集都是可测的.证明 因为中左开右闭区间是可测的,而开集又可以表为可数个左开右闭区间的并,从而开集是可测的.任何闭集都是开集的余集,故闭集也是可测的.由集的定义知任何集也是可测的.注: 从定理4.2可知,许多常见的集合都是可测的,比可求面积的(中)或可求体积的(中)的范围扩充了许多.但是上述的定理并不意味着每一个可测集都是开集、闭集或集.事实上,存在非集的可测集. (2)可测集与集的关系定理4.54 设型集，使，且 .证明 由外测度的定义知，自然数，存在一列开区间，使，记 = 显然为型集, 且，所以 ，让得 , 证毕 .定理4.64 设，

17、则下列关系等价：（1）为可测集；（2）存在开集，使且；（3）存在型集，使，且， =0 .证明 （1）（2）当, 则由外测集的定义知对,存在一列开区间, 使，记=，显然为开集，且，所以 , 而, 从而，当时，必为无界集，但它总可表示成可数个互不相交的有界可测集的并即=（）. 对每个应用上面结果, 存在开集，使,显然为开集, ,且 =，从而 .（2）（3）取,由(2)知, 存在开集使，显然, 为型集, 且，所以 ，让得, 从而 .（3）（1）由（3）知 存在型集，使, 且, ，而 , 故是可测集.注: 此定理表明任意可测集总可表示成一个与一个零测集的差集.定理4.74 设, 则下列关系等价（1）为

18、可测集；（2）, 存在闭集, 使, 且；（3）存在型集，使，且， .证明（1）（2）.可测可测存在开集，使且.现令,则F是闭集且.因为,所以.（1）（3）可测可测存在型集G，使，且，记，则 为型集， 所以 ，.定理证毕.例 71 证明中可测集经平移后仍为可测集.证明 设 是可测集，是中的固定点.记下证可测.因为可测,由定理4.4,存在集,且.记,则由集的定义可设,其中为开集.于是.其中， 显然是开集，是零测集（由外测度的平移不变性），即也是一个集与零测集的差，所以可测.注: 以上两个定理表明，只要有了全部的型或型集(它们都是集)和全部零测集，一切可测集都可以通过型集与零测集的差集或型集与零测集

19、的并集获得.推论11 如果是中的可测集，则存在一个集和一个零测集，使得.推论24 设,则存在中的型集,使,且.例81 设是可测的,且,若 证明皆是可测集.证明 由推论2:存在可测集,使得,且因为，所以,皆可测,且.所以,.同理.由例1，因为，所以.取为基本集，,所以,所以可测.同理也可测.作为可测集与集之间关系的应用，再给出乘积空间测度的计算公式.定理4.81 设、分别为和中的可测集，记，则为中的可测集,且 .证明 证明分两步(一)先证当均有界时，结论成立.（1）当都是区间时，由区间的体积公式知结论成立. （2）当都是开集时，由开集的结构知 ， ，其中，分别为和中两两不交的区间.于是，其中为中

20、两两不交的区间.所以是可测集，且 . （3）当都是集时，则， ，其中为有界开集，且单调递减；也为有界开集，且单调递减.于是为可测集，其中也单调递减，所以 .（4）当至少有一个为零测集时，不妨设，由定理4.6 存在集使， 且 ，于是由（3）得 而 ，所以 .（5）当均有界可测集时，由定理4.6 存在集 使， 且 ，记，则， 从而 ，再由（3）、（4）得 为可测集, 且 .(二)再证当至少有一个无界时，结论成立.由于分别都可表示成一列互不相交的有界可测集的并集，即，其中，都是有界可测集，而，其中互不相交，故由（一）知为可测集，且 .参考文献1李国祯实分析与泛函分析引论M北京：科学出版社，20042

21、郑维行，王声望实变函数与泛函分析概要M高等教育出版社，19803郭大钧实变函数论与泛函分析M山东大学出版社，19864曹广福. 实变函数论与泛函分析M (上册).第二版.北京：高等教育出版社,20045姚奎,梁永顺.实变函数论与泛函分析学习指导M.合肥：中国科学技术大学出版社,20086孙华清,孙昊.实变函数内容、方法与技巧M.武汉：华中科技大学出版社,20047郭懋正.实变函数论与泛函分析M.北京：北京大学出版社,20058陈建功.实函数论M.北京：科学出版社,1978 9 Taylar, A.E., Introduction to functional Analysis, New York, 198010Dunford N, Schwarty J.T, Linear Operator, Part,General Theory, New York, 195811夏道行实变函数论与泛函分析概要M上海科学技术出版社，196312 周明强.实变函数论M.北京:北京大学出版社,2001致谢在写这篇论文的过程中，感谢 老师的悉心指导，让我能顺利完成写作！