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1、实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程十,例1 设 为可测集，试证,证明 若 或 ， 则结论显然,若 且 ，则由 可测，取,例2 考察康脱闭集 与相应的开集 由上面定义知， =1- =0,注意：这里我们得到了一个测度为0 的不可数集的例子,第三节 可 测 集（续）,定理1 （1） 凡外测度为零的集合是可测集， 我们称为零测集。（2） 零测集之任何子集仍为零测集。（3） 有限个或可数个零测集之并仍为 零测集。,证明：设 ，则对任何集合 ，有,定理 2 区间都是可测集，且 定理 3 开集、闭集都是可测集。,证明 因为任何非空开集可表示为可数多个互不相交的左开右闭区间之并，而区间是可测的，故开集可测
2、。闭集作为开集之余集也是可测的 。,我们指出重要的一类集，它从开集出发，通过取余集，作至多可列次或并或交的运算，所得到的集统称为波雷尔集。这样，一切波雷尔集是可测的。特别，波雷尔集中有这样的集值得注意，一种是可表为可列个开集的交，称为 集；另一种是可表为可列个闭集的并，称为 集。它们可用来构造任意可测集的测度。,定理 5 凡波雷尔集都是可测集。,定理6 设E是可测集，则存在 型集 使 且,证明 （1）先证 任意给的 ， 存在开集G, 使 ，且 。,为此，先设 ，则由测度的定义，有一列开区间 使,令 ，则 为开集， ，,其次，设 ，这时 必为无界集，但它总可表示成可数多个互不相交的有界可测集的并
3、,则 为开集，且,（2）依次取 ， 由证明中的（1）存在开集 ，使 ，,则 为 型集且,定理7 设E是可测集，则存在 型集 使 且,证明 因 可测，由定理6存在 型集 G使 ， 。令 ，则 为 型集且,注意1 定理 6和定理7表明，可测集E是与某个 集或某个 集仅相差一个零测集。由于其逆也成立，这样我们就获得了一切可测集的构造。注意2 不可测集是存在的。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程十一,第四章 可测函数,本章引进一个新的函数类可测函数类，并讨论它的性质，为下一章的勒贝格积分作准备。我们将看到，可测函数与我们熟悉的连续函数有密切的联系，在可测函数类中进行运算，如代数运算、取极限运算等
4、是相当方便的，所得结果仍是可测函数。,第一节可测函数及其基本性质,本节主要介绍可测函数的概念及其性质，通过本节的学习，我们要掌握可测函数的概念，可测函数的基本性质，即可测函数的四则运算和极限运算仍为可测函数，同时我们要知道可测集上的连续函数，简单函数，区间上的单调函数均为可测函数。另外，本节最后给出的“几乎处处”概念是一个很重要的概念,设E是 一个可测子集（有界或无界）， 是定义在E上的实函数（其值可以为无穷大）。,关于包含 在内的实数运算作如下规定：,是全体有限实数的上确界， 是全体有限实数的下确界：,上（下）方无界的递增（减）数列,对于任何有限实数,无意义,设 是任一实数，记,=,定义1
5、设 是定义在可测 集 E上的实函数。如果对每一个实数 集 恒可测（勒贝格可测），则称 是定义在 E上的（勒贝格）可测函数。,定理1 设 是定义在可测 集 E上的实函数，下列任一个条件都是 在 E上（勒贝格）可测的充要条件：（1） 对任何有限实数 ， 都可测；（2） 对任何有限实数 ， 都可测；（3） 对任何有限实数 ， 都可测；（4） 对任何有限实数 ， 都可测,证明 与 对于E是互余的，同样 与 对于E也是互余的。故在前三个条件中，只须证明（1）的充要性。事实上，易知,=,=,关于（4）的充要性，只需注意表示式 = 时 =,定义2 定义在 的实函数 称为在 连续，如果 有限，而且对于 的任邻
6、域 ，存在 的某邻域 ，使得 ，即只要 且 时，便有 。如果 在E中每一点都连续，则称 在E上连续。,定义 3 设 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集 ， = ，使 在每个 上都等于某个常数 则称 为简单函数。,例4 可测集E上的连续函数是可测函数。,事实上，设 ，则由连续性假设，存在x的某邻域 ，使,令 =,=,证 （1）对于任何有限数 ， = ，由假设等式右边是可测集。,（2） E是可测集而且对于任何有限数 ，有 =,由假设等式右边是可测集。,例1任何简单函数都是可测函数。 事实上，定义在可测集上的常值函数显然是可测 的，由定理2便知任何 简单函数都是可测函数。,定理3 设 是 上一列
7、（或有限个）可测函数，则 = 与 都是可测函数。证 由于 = ， =而得证。,定理4 设 是 上一列可测函数，则= ，,也在E上可测，特别当 = 存在时，它也在E上可测。,证 由于 = ， =重复应用定理3即得证。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程十二,定理5 设 是可测集E上的可测函数，则 总可以表示成一列简单函数 的极限函数，而且还可办到,证 （1） 情形。对每个自然数n, 定义,则 为E上的简单函数，且不难证明,我们证明 = 。,如果 = + ，则 = + 。,如果 + ，则有自然数N，使 从而当 时,（2）一般情形令,=sup ,=sup,则 ， 都是非负可测函数，,对 ， 作出
8、相应的简单函数列 ， 则 = - ，即为所求。,由此得到：函数 在 E上可测 的充要 条件是 总可以表示成一列简单函数 的极限函数，其中,定理6 在可测集E上定义的两个可测函数的和、差、积、商（假定运算有意义）都是可测的。,证 设 ， 是E上可测函数。故存在两个简单函数列 ， , 使得,lim , lim = .,Lim =,lim,lim,显然两个简单函数的代数运算仍是简单函数，据定理5知结论成立。,定义 4 如果命题S在集E上除了某个零测度子集外处处成立，则说命题S在集E上几乎处处成立，记为S,a.e. 命题S也指某一性质而言。,例1，两函数f与g几乎处处相等指的是f与g不相等的点集 的测
9、度为零，而在 上处处有,容易证明， 两个几乎处处相等的函数具有相同的可测性。即改变函数在一个零测集上的函数值不改变其可测性。,例2 几乎处处有限 取值为无穷大的点集为零测集。例3 几乎处处收敛 不收敛的点集为零测集。例4 几乎处处为正 函数值不是正数的点集为零测集,第 二 节 叶果洛夫定理,本节主要介绍一个重要定理叶果洛夫定理。通过本节的学习，我们要知道，对于定义在测度有限的可测集上的几乎处处有限的可测函数列，几乎处处收敛与“基本上”一致收敛是等价的，同时我们要知道，叶果洛夫定理的逆定理总是成立的。,定理（叶果洛夫定理） 设 ， 是E上一列几乎处处有限的可测函数列， 是E上几乎处处有限的可测函
10、数， 在E上几乎处处收敛于 ，则对任意 ，存在子集， 使在 上 一致收敛，且 。,这个定理告诉我们，凡是满足定理假设的几乎处处收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”（指去掉一个测度可任意小的某点集外）一致收敛，因此在许多场合它提供了处理极限交换问题的有力工具。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程十三,第 三 节 可测函数的构造,前面我们已经知道，可测集上的连续函数一定是可测函数。反之，一般的可测函数可以说是“基本上连续”的函数。这就是下面的定理：,定理 1 （鲁津定理）设,是,使,在,上是连续函数，且,简言之， 上几乎处,，存在闭子集,上几乎处处有限的可测函数，则对任意,处有限的
11、可测函数是“基本上连续”的函数。,证明 我们从特殊到一般分三种情形来讨论。,简单函数情形。,可测互不相交，且,=,，当,由（1）知，存在闭集 。使 在 上是连续的，且,令 ，显然 且 在闭集 上是 一致收敛于 的连续函数列，从而 是 上的连续函数，且 。实际上,（3） 情形。 令 为球 。,由（2）知， 在 上是基本上连续。即存在闭子集 ，使 在 上是连续的且,令 ，由 的特殊作法，我们容易证明， 在 上是连续且 而 仍为闭集。,注1 该定理的证明方法值得注意，先考虑简单函数，再往一般的可测函数过渡。,注2 该定理使我们对可测函数的结构有了进一步的了解 ，它揭示了可测函数与连续函数的关系。在应
12、用上通过它常常可以把有关的可测函数问题归结为连续函数的问题，从而得以简化。,注3 该定理的逆定理也是成立的。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程十四,第四节 依测度收敛,本节我们引进另一个收敛概念依测度收敛，并讨论它与几乎处处收敛的关系。通过本节的学习，我们要知道，依测度收敛与几乎处处收敛有很大的区别，另一方面，黎斯定理和勒贝格定理表明，它们也有一定的联系。,在这个序列中是第 个函数。可以证明这个序列是度量收敛于零,这是因为对任何,但是函数列在（0，1上的任何 一点都不收敛。,例2 取 ，作函数列,显然 ，当 。,但是当 时，且,反过来，一个几乎处处收敛的 函数列也可以不是依测度收敛的 。,这说明 不依测度收敛于1。,
