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1、数学分析中反证法的应用理学院 数学082 董泽刚 指导师：胡亚红 摘要：本文研究了数学分析中不同问题的反证法。对数学分析中的反证法进行总结研究，共分为数列极限的唯一性和收敛性，函数的连续、有界、极限和单调性，导数和积分，级数等四个部分，各部分之间并非完全独立。本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处。关键词：反证法 ；命题；应用 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟
2、了数学领域的新天地.数学是在归纳、发现、推广中发展的。反证法在数学的发展中功不可没。反证法不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反证法.因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反证法作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反证法去证实，并从反证法中得到修补的启示。反证法是一种重要的反证手段，往往会成为数学殿堂的基石。学会构造反证法是一种重要的数学技能。反证法的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反证法。至于反证法的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。1 反证法的基本思想反证法是一种间接的证明方法，它的基本
3、思想是“否定-推理-矛盾-肯定”，这种证明方法之所以令学生难以理解，是因为在证明过程中，每一步的结论到下一步完全符合逻辑，但每一步的结论却其实不能发生，从逻辑的观点来看，反证法实际上是通过证明与命题逻辑等价的命题为真，从而间接证明了命题，显然这个等价命题的条件中含有命题的结论的否定，反证法历史悠久，曾被用来解决数学中许多重要结论. 所谓反证法是指通过证明论题的否定论题不真实而肯定论题真实的方法.通常包括以下三个步骤:(l)反设假定原命题的结论不成立；(2)归谬根据反设进行严密推理，直到得出矛盾；(3)结论肯定原命题正确。一般来说，如果命题的结论不易直接证明，结论的反面却容易否定，那么反证法是可
4、行的。但是由于数学命题的多样性、复杂性，要对哪些命题宜用反证法做出确切的回答是困难的。2 怎样正确写出数学分析中一些命题的否命题反证法是分析问题和解决问题的一种科学方法,它是通过证明与论题相矛盾的反正题虚假,来确定论题是正确的间接证明法。在应用反证法时,首先要假设,即假定原命题的反面正确,然后从假设出发,利用正确的逻辑推理推导出谬误的结果,即从反设出发作为推论引出违背科学的基本规律(定律或概念)与已知条件相矛盾的结果,最后肯定原结论正确。在运用反证法论证命题时，首先要求能很正确的否定命题的结论，这是正确证明命题的基础，在有些情况下，一个结论的否定往往很容易得到。例如命题“”的否定就是“”，但对
5、命题“在上有界”，尽管其否定很显然就是“在上无界”，若要用它做进一步推理时，还需要对函数有界与无界的定义深刻的认识，所谓“在上有界”是指“存在某个正数，对所有的，使得 成立”，这类命题中出现了量词“对所有的”和“存在”，要写出它们的否定形式相对就比较困难了.一般地，命题中若出现量词“对所有的”或“存在”时，其否定形式必须将“对所有的”变成“存在”，“存在”变成“对所有的”，并否定“这件事情发生”。于是，要将命题“在上有界”否定，其形式应为“对所有的正数，存在，使得成立”。在数列中的否定：一个数列收敛于a的数学表述为：|-a|N时，有，令N=max，则当nN时，有.由的任意性可知:A=B，矛盾，
6、从而知收敛数列的极限是惟一的例2. 证明命题“数列与均为发散数列，因而数列发散”是错误的.对于此类证明题，不妨寻找一个相反的梨子从反面论证起收敛如：取数列1，0，1，0，1，0 ，及数列0，0，0， ，显然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是1，1，1，它是一个收敛数列，因此命题是错误的由此可见某些发散数列经过四则运算，结果也是收敛的.数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定收敛。在数列题型中，证明它们的极限的唯一或者是它们的极限等于某个确定的数时，在这些题型中，反证法有很大的优势，容易证明，过程明了简单，学者看了容易理解接受，如果这类题型直接去证明，难度
7、就提高了一个档次。3.2 函数的极限、连续性、有界以及单调性反证法的应用定义2.1 设为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个，有M，则称为D上的有界函数 无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似.然而，这两个概念有本质上的差别.若时，则在 的每个邻域内必定无界。反之，函数在的任何邻域内都是无界的，但当时,并不趋于无穷大。例3 设，则对无论多大的正数M，总有充分接近于x =0的点，使证明 取，则，故当 时，就有因此，函数在x =0的任何邻域内都是无界的然而，若取，则当n时,，此时即并不趋于无穷大例4 试证明：若函数在有限区间内可微，但无界，则其导函数也无界。证明 设 在内有界，即,取
8、定由拉格朗日中值定理知,在与之间存在，使得，而，故，此与已知无界相矛盾，故无界例5 设 ，则，使证明 假设即有，1=令 例6 设函数在上连续，则在 上有界证明 假若在上没有上界，则，必有，使得依次取，便得一列含于 的数列因而它含有一个收敛子列设，则，则在上连续可知而由的选取方法有 ，从而产生矛盾于是证得在 上有界.类似可证有下界故的在上有界例7 设在上满足函数方程,并且，证明 ,。 证明 假设存在，使得，则由已知的函数方程推得：另一方面由于，则对于， 当时，有 ，取足够大的设，此时应满足 导致出现矛盾的关系式于是证明了 , 例8 设函数在上连续，对上任意两个有理数，有，则在上为递增函数。证明
9、假设存在 ，但（即若不是单调递增函数）由于的连续性，对于数必定存在使得因为有理数具有稠密性，故必存在有理数与，且这与假设相矛盾，所以在上为递增函数（且必为严格地增） 例9 函数在区间上一致连续的充要条件是：，当时，有 。 证明 必要性 因为一致连续，故当时，有在已知时，对于，自然数，必有，因而 充分性 设在上不一致连续，则有由，取由，这显然时，有矛盾所以在上必然一致连续例10 设f(x,y)在有界闭区域上连续，证明：一定存在点()，使对有。证明 因为f (x,y)在有界闭区域上连续，所以f (x,y)在上有界，从而有上确界,记以下证明一定存在点,使.若否，则.令则F（x,y）在上连续且恒为正，
10、从而对，这说明为函数f (x,y)在上的一个上界.这与是函数f (x,y)在上的上确界矛盾”故一定存在点，使对有当然，在函数中的很多定理是充分而非必要条件.，所采用的证明方法往往不是单一的，应根据题目的条件、结论综合分析，选择适用的证明方法，例如在需要证明其逆命题是否成立时，若考虑一般情况很难说明，不妨从一些反面能举一些反例，则既简单又明了，而且也很容易掌握.。3.3导数及其积分反证法的应用定理1 若函数f 在点可导，则f 在点连续.可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件.如函数= x 在点x =0处连续，但不可导.而且，函数f 在某点可微，只能保证f 在该点连续，而不能保证f 在该
11、点的某个邻域内连续.。 例11 若函数在区间内可导，则其导函数不可能有第一类间断点。证明 设为在区间I内的第一类间断点，则在处的左、右极限都存在，由存在可推知： ，同理由存在可推得于是得，因而在处连续此与假设矛盾，从而证明了不可能有第一类间断点注：命题中的结论若以 “不可能”的形式出现，采用反证法较容易，只需举一反例证明即可。例12 设满足 ，其中为任意函数，证明：若，则在上恒等于0。证明 假设存在一点 ，使得，不妨设则必在 的某一内点 处取得最大值（同时也是极大值），因此有 =0，从而由题设条件于是为严格极小值，这与 为极大值矛盾，则得证注：若命题中采取“恒等于”的形式，那只需猜度一个特解，
12、使得原方程等于0，就可以更为简单的解答题目。例13 设函数在上递增，对任何，在上可积，且）证明： 。证明 假若不然,设，则存在 ，都有 ，使得 设对某一个自然数，有，即由于是递增的，所以当时，便有 ，由此知：此与题设矛盾.若上述，从而，亦与题设矛盾.因此必有： 例14 设 ,且 ，证明：在 (0,内至少有两个零点。 证明若在(0,内没有零点，则在(0,内恒正或恒负.不妨设 恒证，即0，则这与 矛盾所以在(0,内至少有一个零点，下面证明零点不唯一 若在(0,内只有一个零点（除 外无零点），则在(0, )与 (，内分别保持不变号 在(0, )与(，若符号相异，恒正或恒负,即这与矛盾 在(0, )与
13、(，若符号相同，则同样可以推出矛盾则由，知：在(0,上可能只有一个零点又由（1）知肯定存在一个零点，则至少存在两个零点注：再利用反证法证明命题时，必须注意命题的否定形式，才可正确的假设命题的另一方面。例15设a，b上不恒为零的函数f(x)满足：证明 f(x)在(a，b)内至少变号n次 若否，即f(x)在(a，b)内至多变号n一1次由知f(x)在(a，b)内至少改变一次符号,于是存在k个分点,使f(x)在以点a,b为端点的每个小区间中不变号;但经过分点 (i=1，2，k)要变号，从而函数在(a，b)上保持同号，再依据题设条件有:，故只有f(x)0，这与题设矛盾，故原结论成立。因此在积分与导数的证
14、明中利用反证法，首先必须找出原方程的零点，利用零点的存在判断其增减性，从而达到与数值0比较大小，判断符号的的目的，以便更好更便捷的解决该类问题。3.4 级数中的反证法对于数项级数，令 =称为级数的n项和.若存在，则称级数为收敛的，并称s为级数的和，记作在相反的情形，就称级数为发散的.级数收敛的必要条件是3例16 证明：任意0(当),有收敛，则绝对收敛。分析 问题等价于：若发散，则至少存在一个序列( 当),使得级数发散.如此，问题归结为从条件=+出发，构造所需的序列的问题证明 若=+，则,使得.如此，对n=1，k=1，使得对n=m1+1，k=2,，使得，由此我们可以得到1=m1m2mn0怎么大，
15、只要n-1N时，恒有，“片段”此即说明(当时)，使得发散，与已知条件矛盾 例17 证明级数发散12。 分析 从正面证明比较繁琐，不如考虑举出一个收敛级数，使得级数发散.因为级数收敛，故an0（当时）.因此n充分大时，有 .可见级数不能绝对收敛，只能是条件收敛.这表明级数其所以收敛，不仅是因为的速度，而且是因为项级间的相互抵消.因此我们应构造这样一个变号收敛级数，它本身项级间能相互抵消，但变为级数时相级间抵消不了，以致发散.令 =1-1+- +- +-+ ( 其中有k项 )因为-=0 (k=1,2，)，可见，此级数收敛.但是=( 其中有k项 )发散 因为部分和的子序列 (= 2+3+（k+1）,
16、) 本例说明级数收敛，一般来说，不能推出级数收敛.在级数的证明题中，大多可以利用反证法证明，假设级数对满足|z|的z是收敛的. 取某一点z=满足|z|，根据上述证明， 则级数在满足|z|条件下的点必收敛，自然对于点z=满足条件|z|=|条件的级数发散.。4 总结本文简要地总结了数学分析中一些重要典型的问题与反证法，在数学分析的学习中出现的问题，往往是对数学分析中的基本概念和理论掌握的不准确、不彻底，没有准确掌握基本概念和基本理论的时候，盲目地去计算和证明。另外对一些命题的否定，也是很重要的，而且很容日出错。因此，我们学习数学分析或者更一般的说，学习任何一门学科，正确地掌握这门学科的基本概念、基
17、本理论是学好这门学科的前提。反证法就是强化概念的有力工具，可以深化学生对知识的理解。数学分析中有许多重要的典型反证法,这些反证法是数学分析理论不可缺少的重要组成部分。反证法不只是在数学分析中很重要，在其他领域，例如物理学习中也是同样的，有时在生活中遇到问题，我们百思不得其解的时，反面来思考问题，顿时茅塞顿开，反证法在数学的发展中有很长的历史，它完善了数学，美化了数学。本文的意义就旨在介绍数学分析中的一个重要的反证法思想，希望能够帮助学习数学分析的人们更好的掌握。参考文献1 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社 19932 王向东.数学分析中的概念与方法M.上海：科学技术文
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20、 of reductio ad absurdum. On mathematical analysis of the reduction to absurdity are summarized, consists of the limit of number sequence uniqueness and convergence, function is continuous, bounded and monotone, limit, derivative and integral, series of four parts, each part are not completely indep
21、endent. Based on the mathematical analysis of the basic concepts of understanding, mastering the mathematical analysis the basic theory and skill is very good.Key words: reduction to absurdity; proposition; application.致 谢本论文是在指导师本论文是在指导师胡亚红老师的指导下完成的，在此向帮助和指导过我的老师和同学表示感谢！由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，希望各位老师批评指正。
