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1、第三章 静定结构的位移计算Displacement of Statically Determinate Structures,3.1 结构位移计算概述,一、结构的位移(Displacement of Structures),3.1 结构位移计算概述,一、结构的位移(Displacement of Structures),引起结构位移的原因,还有什么原因会使结构产生位移?,为什么要计算位移?,铁路工程技术规范规定:,二、计算位移的目的,(1)刚度要求,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1/700 和1/900跨度,高层建筑的最大位移 1/
2、1000 高度。最大层间位移 1/800 层高。,(2)超静定、动力和稳定计算,(3）施工要求,（3）理想联结(Ideal Constraint)。,三、本章位移计算的假定,叠加原理适用（principle of superposition),(1)线弹性(Linear Elastic),(2)小变形(Small Deformation),四、计算方法,单位荷载法(Dummy-Unit Load Method),3.2 变形体虚功原理(Principle of Virtual Work),一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work),功：力对物体作用的累计效
3、果的度量 功=力力作用点沿力方向上的位移,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功,3.2 变形体虚功原理(Principle of Virtual Work),一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work),力状态,位移状态,（虚力状态）,（虚位移状态）,注意：（1）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。（3）位移状态与力状态完全无关；,3.2 变形体虚功原理(Principle of Virtual Work),二、广义力(Generalized force)、广义位移(Gen
4、eralized displacement),一个力系作的总虚功 W=P,P-广义力;-广义位移,例:1)作虚功的力系为一个集中力,2)作虚功的力系为一个集中力偶,3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶,4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力,（1）质点系的虚位移原理,具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：,三、变形体的虚功原理,对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即,（2）刚体系的虚位移原理,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零
5、。,原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立,We=Wi,（3）变形体的虚功原理,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。,变形体虚功原理的证明:,1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW=dWe+dWn,所有微段的外力功之和:W=dWe+dWn=dWe=We,2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之
6、和 W,微段外力功 dW=dWg+dWi,所有微段的外力功之和:W=dWi=Wi,故有We=Wi成立。,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。,变形体虚功原理的证明:,1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW=dWe+dWn,所有微段的外力功之和:W=dWe+dWn=dWe=We,2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W,微段外力功 dW=dWg+dWi,所有微段的外力功之和:W=dWi=Wi,故有We=Wi成立。,几个问题:,1.虚功原
7、理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。,2.原理的证明表明:原理适用于任何(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。,3.原理可有两种应用：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解。,Wi 的计算:,Wi=N+Q+Mds,微段外力:,微段变形可看成由如下几部分组成:,（4）变形体虚功方程的展开式,对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:,We=N+Q+Mds,四、虚功原理的两种应用,1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的平衡力状态之间。
8、,例.求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。,解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.,直线,由外力虚功总和为零，即：,通常取,单位位移法(Unit-Displacement Method),(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关,故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题,例.求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移.,2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。,解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C
9、点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。,由 求得：,解得：,这是单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)它是 Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method,(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力 P=1(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。(4)是用静力平衡法来解几何问题。,虚功方程为：,第一种应用一些文献称为“虚位移原理”，而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，它们和虚功原理是有区别的。,虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立.虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。,
