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1、第七章 静定结构的位移计算,本章提要,本章主要介绍了变形体的虚功原理，利用虚功原理，建立了结构在荷载作用下的位移计算的一般公式及其应用；建立了静定结构在支座位移时位移的计算公式。同时介绍了线弹性变形体系的互等定理。通过本章的学习，应掌握：1.理解虚功原理；2.掌握荷载作用下位移计算的一般公式及其应用 3.掌握静定结构在支座位移时位移计算公式；4.了解线弹性变形体系的互等定理。,本章内容,7.1 概述7.2 变形体的虚功原理7.3 荷载作用下位移计算的一般公式7.4 静定结构在荷载作用下的位移计算7.5 图乘法7.6 静定结构在支座移动时位移计算7.7 弹性变形体系互等定理,7.1 概 述,7.
2、1.1 结构的位移,结构在荷载作用、温度变化、支座移动、制造误差与材料收缩等因素影响下，将发生尺寸和形状的改变，这种改变称为变形。结构变形后，构件上各点的位置会发生变动，这种位置的变动称为位移。结构的位移通常有两种：线位移，即各截面形心的移动量；角位移，即截面转动角度。如图1，图2所示。其中：A、B-绝对线位移；AB=A+B-相对线位移；A、B-绝对角位移；AB-相对角位移。,图1,图2,7.1.2 结构位移计算的目的,(1)为了校核结构的刚度，即保证结构的位移不超过允许值。(2)为计算超静定结构奠定基础。在计算超静定结构时，仅仅利用静力平衡条件无法完全求解，还必须考虑位移条件。另外，在结构的
3、制作、架设、养护等过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。,7.2 变形体的虚功原理,7.2.1 实功和虚功 一.实功 力在自身所引起的位移上做功，称为实功。如图(a)中，力P的相应位移=AAcos，力P所做的功:T=PAAcos 如图(b)中,转盘受力偶M=PD作 用,力偶所做的功应为:T=M.,可以用一个公式来统一表达力或力偶做功：T=P.其中:P 称为 广义力，称为 广义位移。,二、虚功 力在沿其它因素引起的位移上所做的功，称为虚功。其它因素如另外的荷载作用、温度变化或支座移动等。,如图示简支梁，在P1作用下达到平衡时，P1作用点沿P1方向
4、上产生的位移为11如图a示。然后再施加P2产生位移12，12由零增加至最终值的过程中，P1保持不变是常力，因此P1沿12做虚功为：T12=P1.12,7.2.2 虚功原理 变形体的虚功原理可概括表述为：外力虚功W=内力虚功W 做功的外力和内力称为力状态或第一状态，它们必须满足平衡条件；位移和变形称为位移状态或第二状态，它们必须满足变形和支座约束条件。若取第一状态为实际状态，第二状态为虚拟状态，也就是虚功中力状态是实际的，位移状态是虚拟的，这时，虚功原理也称为虚位移原理；反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为实际状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位移状态是实际的，这时，虚功原理也称为虚力原理
5、。,7.3 荷载作用下位移计算的一般公式,如图5(a)所示结构在均布荷载q作用下发生了图中虚线所示变形。现在欲求结构上任一截面沿任一指定方向上的位移，如K截面的水平位移K。首先，由虚功原理，确定两个状态：位移状态和力状态。已知状态欲求位移，故定为位移状态。还须建立力状态，为此，在K点上作用一个水平的单位荷载PK=1，它应与K相对应，如图5(b)所示。其次，求外力虚功和内力虚功。外力所做虚功为：W=PKK=K 内力所做虚功为：在图5(a)上取ds微段，其上由于实际荷载所产生的,图5,内力MP、QP、NP作用下所引起的相应变形为d、d、d分别如图5(c)、(d)、(e)所示，分别为：相对转角d=1
6、/ds=Kds相对剪切变形d=ds 相对轴向变形d=ds 由材料力学公式，有：,微段上所做内力虚功为：,整根杆件的内力虚功可由积分求得为：,整个结构的内力虚功等于各杆内力虚功的代数和，即：,则，由虚功原理得荷载作用下位移计算的一般公式：,其中：,7.4 静定结构在荷载作用下的位移计算,1、梁和刚架,2、桁架,一、计算公式：,二、计算步骤,(1)根据欲求位移建立相应的虚拟状态；(2)列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作用下的内力方程；(3)将各内力方程分别代入位移计算公式，分段积分求总和即可计算出所求位移。,三、虚拟单位荷载的建立,(1)欲求A点的水平线位移时，在A点沿水平方向加一单位集中力如
7、图6(b)所示；(2)欲求A点的角位移，在A点加一单位力偶如图6(c)所示；,(3)欲求A、B两点的相对线位移，在A、B两点沿AB连线方向加一对反向的单位集中力，如图6(d)所示；(4)欲求A、B两截面的相对角位移，在A、B两截面处加一对反向的单位力偶，如图6(e)所示。,图6,例1.求图示悬臂梁B端的竖向位移BV。EI为常数。,解:(1)取图(b)所示虚力状态。(2)实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以下侧受拉为正B为原点)MP=1/2qx2(0 xl)M=x(0 xl)(3)将MP及M代入位移公式，得,例2 求图示简支梁在均布荷载q作用下：(1)B支座处的转角；(2)梁跨中C点的竖向线
8、位移。EI为常数。,解：(1)求B截面的角位移。在B截面处加一单位力偶m=1，建立虚力状态如图(b)。实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原点)：MP=ql2x-q/2x2M=-1/lx 将MP、M代入位移公式得：,B的结果为负值，表示其方向与所加的单位力偶方向相反，即B截面逆时针转动。,(2)求跨中C点的竖向线位移在C点加一单位力P=1，建立虚力状态如图(c)所示 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原点)，当0 xl/2时，有,由对称关系得：,CV的计算结果为正值，表示C点竖向线位移方向与单位力方向相同，即C点位移向下。,例3 求图示悬臂刚架C截面的角位移C。刚架EI为常数
9、。,解：(1)取图18.9(b)所示虚力状态。(2)实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以内侧受拉为正)横梁BC(以C为原点)MP=-Px1(0 x1l)M=-1(0 x1l)竖柱BA(以B为原点)MP=-Pl(0 x2l)M=-1(0 x2l)(3)将MP、M代入位移公式：,7.5 图乘法,一.图乘法 计算梁和刚架的位移时，当荷载较复杂或杆件数目较多时，积分计算相当繁琐。但当组成结构各杆段符合下述条件：(1)杆轴为直线；(2)EI为常数；(3)M与MP弯矩图中至少有一个是直线图形。则可用下述图乘法来代替积分运算，使计算得到简化。如图所示，设结构上AB杆段为等截面直杆，EI为常数，M图为一段
10、直线，而MP图为任意形状。现以M图的基线为x轴，以M图的延长线与x轴的交点O为原点，建立xOy坐标系，则积分式(a)可写成:,由此可知，计算位移的积分就等于一个弯矩图的面积w乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yC，再除以EI，于是积分运算转化为数值乘除运算，此法即称图乘法。,二.图乘法步骤(1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP；(2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位弯矩图M；(3)分段计算一个弯矩图形的面积w及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖标yC；(4)将w、yC代入图乘法公式计算所求位移。,三.常见弯矩图图乘,四.常见图形的面积和形心,例1 求图(a)所示简支梁A端角位
11、移A及跨中C点的竖向位移CV。EI为常数。,解：(1)求A 实际荷载作用下的弯矩图MP如图(b)所示。在A端加单位力偶m=1，其单位弯矩图M如图(c)所示。MP图面积及其形心对应M图竖标分别为：w=2/3*l*1/8*ql2*l=ql3/12 yC=1/2 计算AA=1/EI*w*yC=1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24EI,(2)求CV MP图仍如图(b)所示。在C点加单位力P=1，单位弯矩图M如图(d)所示。计算w、yC。由于M图是折线形，故应分段图乘再叠加。因两个弯矩图均对称，故计算一半取两倍即可。w=2/31/8ql2l/2=ql3/24yC=5/8l/4=5l/32 计算C
12、VCV=2(1/EI*w*yC)=5ql4/384EI(),例2 求图(a)所示梁A截面的角位移A及C点的竖向线位移CV。EI为常数。,解：(1)分别建立在m=1及P=1作用下的虚设状态，如图(c)、(d)所示。(2)分别作荷载作用和单位力作用下的弯矩图，如图(b)、(c)、(d)。(3)图乘。将图(b)与图(c)相乘，则得 A=-1/EI(Pa2/6+qa3/12)结果为负值，表示A的方向与m=1的方向相反。,计算CV，将图(b)与图(c)相乘，则得：CV=1/EI(2Pa3/3+7qa4/24)()注意的是MP图BC段的弯矩图是非标准的抛物线，所以图乘时不能直接代入公式，应将此部分面积分解
13、为两部分，然后叠加。,例4 计算图(a)所示悬臂刚架D点的竖向位移DV。各杆EI如图示。,解：(1)实际荷载作用下的弯矩图MP如图(b)所示。(2)在D端加单位力P=1，单位弯矩图M如图(c)所示(3)计算w、yC分AB、BC、CD三段进行图乘，由于CD段M=0，可不必计入。故只计算AB、BC两段。AB段：w1=2l2/3(取自M图)y1=Pl/4 BC段：w2=2l2/9y2=Pl/4(4)计算DVDV=1/EI(w1*yC1)+1/2EI(w2*yC2)=-5Pl3/(36EI)(),7.6 静定结构在支座移动时位移计算,静定结构由于支座移动或制造误差，不引起任何内力，且其内部亦不产生变形
14、，但整个结构会产生位移。如图(a)所示刚架，支座移动为C1、C2、C3，致使整个结构移动到了虚线位置。,利用虚功原理求结构上任一点K沿i-i方向的位移Ki。以图(a)为实际状态(位移状态)。为了建立虚功方程还需选取虚拟状态(力状态)，为此在K点沿i-i方向加一个单位集中力PK=1，如图(b)所示。由于PK=1而引起的与实际位移C1、C2、C3相应的支座反力R1、R2、R3。外力虚功为：W=PK*Ki+RC(a)内力虚功应等于零，即：W=0(b)由虚功原理W=W，即：PK*Ki+RC=0而PK=1，代入上式整理得 Ki=-RC,例1 已知简支梁AB跨度为l，右支座B竖直下沉，如图(a)所示。求梁
15、中点C的竖向位移CV。,解：(1)在梁中点C处加单位力P=1，如图(b)所示。(2)计算单位荷载作用下的支座反力:由于A支座无位移，故只需计算B支座反力RB即可。由对称得B支座反力 RB=1/2()(3)计算CV CV=-RC=-(-1/2)=/2(),例2 图示三铰刚架跨度l=12m，高为h=8m。已知右支座B发生了竖直沉陷C1=6cm，同时水平移动了C2=4cm(向右)，如图(a)所示。求由此引起的左支座A处的杆端转角A。,解:(1)在A处虚设单位力偶m=1，如图(b)所示。(2)计算单位荷载作用下的支座反力由于A支座无位移，故只需计算B支座反力即可。取整体为隔离体，由MA=0得:RBVl
16、-1=0RBV=1/l(),取右半刚架BC为隔离体，由MC=0得RBHh-RBVl/2=0RBH=1/2h(3)计算AA=-RC=-RBVC1+RBHC2)=0.0075rad计算结果为正，说明A与虚设单位力偶m=1的转向一致。,7.7 弹性变形体系的互等定理,一、功的互等定理 第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。,二、位移互等定理 第二个单位力(P2=1)在第一个单位力作用点沿其方向所引起的位移(12)，等于第一个单位力(P1=1)在第二个单位力作用点沿其方向所引起的位移(21)。,三、反力互等定理 支座1发生单位位移，在支座2处引起的反力，等于支座2发生单位位移，在支座1处引起的反力。,再 见,
