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1、2023年3月4日星期六,1,3.2 函数的增减性 曲线的凹凸性与拐点,第三章,三、小结与思考练习,二、函数的凹凸性与拐点,一、函数增减性,（Monotonicity of Function&Concavity and Convexity of Curve）,2023年3月4日星期六,2,一、函数增减性,图1,图2,2023年3月4日星期六,3,1.利用导数来判定函数的单调性,解,2023年3月4日星期六,4,解,经验,2023年3月4日星期六,5,解：,经验:从例2、例3可以看到在讨论函数的单调性或单调区间时，函数的驻点或函数有定义、但一阶导数不存在的点都可能成为单调区间的分界点.,2023
2、年3月4日星期六,6,2023年3月4日星期六,7,求单调区间的基本步骤：,（1）确定定义区间；,（2）求函数f(x)的导数；,（3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；,（4）以驻点和导数不存在点为分界点，把定义区间分成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符号，进而确定单调区间。,2023年3月4日星期六,8,2.利用导数来证明不等式,所以,2023年3月4日星期六,9,证明：,令,则,2023年3月4日星期六,10,二、曲线的凹凸性及拐点,（Inflection Point）,1、曲线凹凸的定义,显然，曲线AB与BC 都是单调增加的，,但它们单调,增加的变化方式却有所不同。,这说
3、明：,仅靠单调性来,描述曲线的性态是不够的。,为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。,2023年3月4日星期六,11,2023年3月4日星期六,12,直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，,下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性,2023年3月4日星期六,13,2、曲线凹凸性的判定,（证明略）,2023年3月4日星期六,14,解,2023年3月4日星期六,15,解,2023年3月4日星期六,16,解：,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,2023年3月4日星期六,17,1.函数单调性的判别法（定理1）,内容小结,（1）会利用导数来判定函数的单调性,（2）会利用导数来证明一些不等式,（3）利用导数来证明方程根的唯一性,2.函数凹凸性的定义,3.函数凹凸性的判别定理（定理2）,（1）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）,（2）会利用凹凸性来证明一些不等式,2023年3月4日星期六,18,习题3-4 1；3（2）（4）；5（奇数题）；6；8,课后练习,思考练习,答案：,不能断定.,例如，,2023年3月4日星期六,19,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,2023年3月4日星期六,20,2023年3月4日星期六,21,考研真题,提示：,2023年3月4日星期六,22,提示：,
