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1、第五章 多元函数微分学及其应用,第一节 预备知识,1.n维Euclid空间Rn与点集的概念,n维实向量,记,它满足加法和数乘，所以它构成一n维实向量空间（或n维实线性空间）,若定义内积：,则Rn构成一n维Euclid空间。,n维空间中两点（向量又称为点）,之间的距离定义为,向量x的长度定义为：,与,为以a为中心，为半径的开球或点a的邻域。称：,为点a去心邻域。可分别简记为N(a),(a),设a Rn,0,称,设A Rn,a Rn.,（3）若A中的点全是A的 内点，则称A 为开集.,(5)若M 0,使得xA,都有|x|M,则称集合A为的有界集.否则,称之为无界集.,A为区域:A为连通开集.如,A
2、为闭区域:区域连同它的边界.如,A为连通集:对任意的,都可用一条包含在A内的折线把x,y连起来.,区域 A 的直径：,2 多元函数的概念,定义2.1 设A Rn是一个点集，称映射f:AR是定义在A上的n元数量值函数。简称为n元函数。记为y=f(x)=f(x1,xn),其中x=(x1,xn)A称为自变量,y称为因变量。D(f)=A称为f的定义域，R(f)=y|y=f(x),x D(f)称为f的值域。,除非特别说明,或有实际意义,凡用算式表达的多元函数,其定义域都是指自然定义域,即全体使得算式有意义的自变量所成的点集.,(x,y)R2|x|1,|y|1;,而z=ln(x+y)的定义域为(x,y)R
3、2|x+y0.,定义2.2 设A Rn是一个点集，称映射 f:ARm(m 2)是定义在A上的n元向量值函数。也可记为y=f(x)=f(x1,xn),其中x=(x1,xn)A称为自变量,y=(y1,ym)Rm 称为因变量。f=(f1,fn),其中x=(x1,xn)A为自变量,y=(y1,xm)B为因变量.,一个n元m维向量值函数y=f(x)对应于m个n元数量值函数,若用列向量表示,即,例1 空间R3中曲线的参数方程为：x=x(t),y=y(t),z=z(t)t,R,为一元向量值函数，可写成：r=r(t),第二节 多元函数的极限与连续性,定义 2.3(二重极限）设 函数z=f(x,y)=f(M)在
4、点集E上有定义,点 M0(x0,y0)是E的聚点,aR是一个常数.若 0,0,使得,恒有|f(M)a|,则称(x,y)(x0,y0)时，f(x,y)有极限，且称a为当(x,y)(x0,y0)时f(x,y)的极限，记作：,或,这个极限常称为二重极限.,以二元函数为例.,否则，称(x,y)(x0,y0)时，f(x,y)没有极限。,二重极限的定义与一元函数极限的定义无多大差别，因此一元函数极限的许多性质（如：唯一性，局部有界性，局部保号性，夹逼准则，heine定理，有理运算法则等）可推广到二重极限上来。,证明:,的定义域E=R2(0,0),故 0,取=,则当,时,恒有|f(x,y)0|.,故,例2.
5、证明:,但二重极限远比一元函数的极限复杂.二重极限存在,指点(x,y)以任何方式趋于点(x0,y0)时,函数f(x,y)都无限接近于a.,若(x,y)按两种不同的方式趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于两个不同的值,则可断定函数极限不存在.,解:当点(x,y)沿直线y=x趋向于(0,0)时,有,当点(x,y)沿直线y=2x趋向于(0,0)时,有,定义2.4(二元函数连续性）设有点集E R2,f:E R是一个二元数量值函数。点 M0(x0,y0)是E的聚点,并且M0(x0,y0)A,如果,则称函数f(x,y)在点M0(x0,y0)处连续,并称M0(x0,y0)为f的连续点,否则称f 在(x0,
6、y0)处间断。,若f 在点集E中每一点处都连续,则称f在集合E上连续，称f 为E上的连续函数.,注:1.一元函数中关于连续函数的有关结论可推广到多元函数中,如四则运算及复合等:多元连续函数的和,差,积,复合均为连续函数,连续函数的商在分母不为零处仍连续.,注:2.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续,则一元函数(x)=f(x,y0)和(y)=f(x0,y)分别在x0和y0处连续,但反之未必,如,在(0,0)处.,二元函数的极限和连续性很容易推广到n(n2)元数量值函数与向量值函数。,定理2.1 设f(x,y)是有界闭集E上的连续函数，则,(1)（有界性）f在E上有界，即存在M 0,使得x E,有|f(x)|M.,(2)（最值）:f 在E上必能取到最大值与最小值。,（介值性）若函数f(x)在有界连通闭集E上连续,m与M分别是 f 在E上的最小值与最大值，则对,m M,必x0 E,使f(x0)=.,定理2.2,作 业习题5.2(P1011),2.(2)(4)(5)3.(2)4.(2)7.(4)(6)8.(1)(3)10,
