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1、1,10 动态电路的复频域分析,罗明,2,本章知识要点：拉普拉斯变换的定义及性质;利用部分分式法求拉普拉斯反变换;运算电路与运算法;动态电路的拉普拉斯变换分析;网络函数;网络函数的零极点分布与时域响应;,3,为什么要引入拉普拉斯变换？,（1）对一般的二阶或二阶以上的电路，建立微分方 程困难。（2）确定微分方程所需要的初始条件，以及确定微 分方程解中的积分常数也很烦琐。（3）动态电路的分析方法无法与电阻性电路和正弦 稳态电路的分析统一起来。,用拉普拉斯变换分析动态电路（也称为运算法），可以完全解决上述问题。所以，运算法是研究动态电路的最有效方法之一。,4,小资料：,拉普拉斯，十九世纪法国著名数学
2、家、天文学家，被誉为法国的牛顿。他的著作有：宇宙体系论、分析概率论、天体力学等。,5,10.1 拉普拉斯变换,10.1.1 拉普拉斯变换的定义,1.拉普拉斯变换定义,(10-1),6,2.拉普拉斯反变换定义,其原函数和象函数都是一一对应的，简记为：,(10-3),7,例10.1 求下列函数的拉普拉斯变换。(a)单位冲激函数；(b)单位阶跃函数；(c)指数函数。,8,令 实数，则,令 虚数，则,9,10.1.2 拉普拉斯变换的基本性质,1.线性性质,10,例10.2 求下列函数的拉普拉斯变换。(a)余弦函数；(b)正弦函数。,（欧拉公式）,（欧拉公式）,11,2.延迟性质,若，则 的拉普拉斯变换
3、为,上式就是拉普拉斯变换的延迟性质。它表明，一个函数延迟时间后的象函数等于这个函数的象函数乘以,(10-5),12,例10.3 求下列函数的拉普拉斯变换。(a)延迟的冲激函数；(b)矩形波。,13,3.微分性质,若，则有,上式就是拉普拉斯变换的微分性质。,(10-6),例10.4 求如图10-1(a)所示波形的拉普拉斯变换。,图 10-1 例10.4电路图,14,解,波形的表达式为,其导数为,由(1),图 10-1 例10.4电路图（续）,(1),而,（2）,（2）,15,4.积分性质,上式就是拉普拉斯变换的积分性质。,(10-7),例10.5 利用积分性质求 的拉普拉斯变换。,解,已知,所以
4、,16,5.频移性质,上式就是拉普拉斯变换的频移性质。它表明，一个函数乘以 后的象函数等于将该函数的象函数中的s换成。,(10-8),17,例10.6 利用频移性质求下列原函数的拉普拉斯变换。(a);(b)。,18,根据拉普拉斯变换的定义和基本性质，可以方便地求得一些常用的时间函数的拉普拉斯变换。一些常用函数的拉普拉斯变换如表10-1所示。,表10-1 一些常用函数的拉普拉斯变换表,19,10.2 利用部分分式法求拉普拉斯反变换,拉普拉斯反变换的最简单方法是从拉普拉斯变换表中查出原函数。但是一般表中给出的是有限的一些常用的拉普拉斯变换对。拉普拉斯反变换可以用(10-3)式求得，但这是一个复变函
5、数的积分，计算通常是困难的。所幸集中参数电路中响应的拉普拉斯变换一般是s的有理分式。当象函数为s的有理分式时，求拉普拉斯反变换可以用代数方法进行。,20,对于有理真分式，可以用部分分式展开法（或称展开定理）将其表示为许多简单分式之和的形式，而这些简单项的反变换容易得到。部分分式法简单易行，避免了应用式(10-3)计算复变函数的积分问题。现分几种情况讨论。,10.2.1 单实根情况,21,解,将分母因式分解，可知分母多项式有三个单实根:,。故 可展开为,其中各系数为,22,所以，原函数为,10.2.2 多重根情况,则 进行分解时，与 有关的分式要有三项，即,(10-16),（续前）,23,式中，
6、、为待定系数。这些系数可按下述方法确定。将上式两边乘以 得,(10-17),(10-19),再对式(10-17)两边对s求导一次，得,(10-20),再令，代入上式，则 就分离出来，即,24,(10-21),其系数为,同样方法可得,（续前）,25,(10-24),例10.8 已知，求。,解,令，共有五个根，其中 为三重根，为单根。所以,其中,26,所以，原函数为,10.2.3 共轭复根情况,由于 是s的实系数多项式，若 出现复根，则必然是共轭成对的。设 中含有一对共轭复根，则 可展开为,(10-25),（续前）,27,原函数为,(10-28),(10-25),（续前）,28,例10.9 已知，
7、求。,其中各系数为,原函数为,29,10.3 运算电路与运算法,运算电路：采用拉普拉斯变换分析动态电路时，画出的含动态元件电路的复频域模型，称为运算模型（电路）。,运算法:采用拉普拉斯变换分析动态电路的方法。,30,10.3.1 动态元件的运算模型,上式就是电阻元件伏安关系的运算形式。图10-2(b)为电阻元件的运算模型。可见，s域中的欧姆定律与时域中具有相同形式。,图10-2 电阻元件,31,2.电感元件,图10-3 电感元件,图10-3(a)所示电感元件的伏安关系为,两边取拉普拉斯变换，并根据拉普拉斯变换的微分性质，得,(10-33),式中，为电感的运算阻抗，表示电感中的初始电流。这样就得
8、到图10-3(b)所示的运算模型。表示电压源，是电感元件的初始电流演变而来，它体现了电感元件的初始贮能对电路的作用，称之为初值电源或附加电源。附加电压源从负极到正极的方向与电流 的方向相同。式(10-33)还可以写成,32,(10-34),就得到图10-3(c)所示的运算模型。为电感的运算导纳，表示电流源。实际上，图10-3(b)与图10-3(c)可用电源变换等效。,3.电容元件,图10-4 电容元件,33,和 分别为电容的运算阻抗和导纳。附加电压源的极性与,的极性一致。,34,4.耦合电感元件,图10-5 耦合电感元件,两边取拉普拉斯变换,35,式中，、为自感的运算阻抗，为互感的运算阻抗。和
9、 表示自感附加电压源，方向与本支路自感电压的方向相反。,和 表示互感附加电压源，方向与本支路互感电压的方向相反。,36,10.3.2 电路定律的运算形式,1KCL与KVL的运算形式,由上可见，复频域中的KCL和KVL与时域中的KCL和KVL在形式上是相同的。,37,由于KCL、KVL的运算形式与基尔霍夫定律在直流电路中的形式相同，及电感、电容元件的运算感抗、运算容抗的伏安关系与欧姆定律的形式相同，故直流中所有的分析方法均能用于运算电路。,38,10.4 动态电路的拉普拉斯变换分析（板书）,图10-7 运算法的基本思路,39,例10.10 电路如图10-8(a)所示，开关打开前电路处于稳态，t=
10、0时开关s断开，试用运算法求电路中的电压。,图10-8 例10.10电路,对电压源求拉普拉斯变换为 100/s，该电路的运算电路如图10-8(b)所示。,40,例10.11 电路如图10-9(a)所示，开关K打开前电路已稳定，t=0时开关s打开，试用运算法求电容电压。,图10-9 例10.11的电路,41,用节点分析法列节点方程为,电容电压为,求其拉普拉斯反变换，故有,42,例10.12 求图10-10(a)所示电路的入端复频域阻抗Z(s)。,图10-10 例10.12的电路,43,例10.13 如图10-11(a)所示电路，M=1H，开关K打开前电路已稳定，t=0时开关s打开，试用运算法求电
11、流 和。,图10-11 例10.13的电路,44,电压为,求其拉普拉斯反变换，故有,例10.14 电图如图10-12(a)所示，已知：V，V，。试求电路的网孔电流。,图10-12 例10.14的电路,45,网孔方程为,可解得：,求其拉普拉斯反变换，故有,46,10.5 网络函数,在复频域分析中，网络函数起着十分重要的作用。利用网络函数可以求解任一激励源作用时的零状态响应。利用系统(网络)函数的零极点分布还可以方便地确定系统响应的特性。,10.5.1 网络函数的定义,网络函数是描述电路在单一的独立激励下，当所有初始条件均为零时，零状态响应的拉普拉斯变换与激励信号的拉普拉斯变换之比。设输出信号为，
12、输入信号为。则网络函数可表示为,(10-49),47,该式对于任意激励信号均成立。这里需要注意以下几点：(1)网络函数是网络本身的特性，与具体的输入信号无关；(2)网络函数是在所有初始状态均为零的情况下得出的；,按网络函数的定义，则有,(10-50),式中，如果，则，,两边取拉氏反变换,可见，网络函数的原函数为冲击响应。,48,网络函数中的激励与响应既可以是电压，也可以是电流，因此网络函数可以是阻抗、导纳，也可以是电压放大倍数或电流放大倍数。所以，网络函数有时也称为“策动点函数”（两变量处于同一端口）或“转移函数”（两变量不处于同一端口）。,例10.15 求如图10-13(a)所示电路的网络函
13、数。,图10-13 例10.15的电路图,49,解,方法一，用网孔法，设网孔电流为、。列网孔方程为,(1),(2),50,方法二，用戴维南定理：,根据戴维南等效电路，输出电压为,所以，网络函数为,51,10.5.2网络函数的零极点分布,其中、均为实数，和 都是s的有理多项式。令 的根,称为 的零点，的根,称为 的极点。由于分子多项式 和分母多项式 均为实系数，这表明它们的根为实数或者共轭复数。上式可表示为,(10-53),式中，为一实系数。将 的零点和极点画于s平面上，用“”表示零点，用“”表示极点。这就是网络函数 零极点分布图。,52,解：,已知,应用频移性质，有,系统冲激响应为,的零、极点
14、分布如图10-14所示。,图10-14 例10.16的零极点图,53,10.6 网络函数的零极点分布与时域响应,10.6.1 零极点分布与冲激响应,下面讨论 为有理真分式的情况.,设网络函数 具有单极点时，则,冲激响应 的性质完全由网络函数 的极点 决定。(见图10-15）称为网络的自然频率或固有频率。,54,图10-15 零极点分布与冲激响应,极点位于左半平面：当极点 为负实数时，冲激响应为衰减的指数函数；当极点 为负实部的共轭复数时，冲激响应为衰减的正弦函数，这种电路是稳定的。极点位于虚轴：极点为一对虚数，冲激响应为等幅的正弦函数，这种电路是临界稳定的。极点位于右半平面：当极点 为正实数时
15、，冲激响应为增长的指数函数；当极点 为 正实部的共轭复数时，冲激响应为增长的正弦函数，这种电路是不稳定的。,55,10.6.2 网络函数与频率响应,根据R、L、C等电路元件的运算阻抗与导纳的相似性可知，只要将网络函数 中的s换成 便得到正弦稳态情况下的网络函数。可写为,其中它的模 称为幅频特性，相位 称为相频特性。统称为频率响应。,仿真举例：图3-29是一RC双T选频网络，它的特点是在一个较窄的频带内有极显著的带阻特性。试求该网络的频率特性。已知,56,3-29V1 1 0 AC 1R1 1 3 10KR2 3 4 10KR3 2 0 5KC1 1 2 100PC2 2 4 100PC3 3 0 200P.AC DEC 10 100HZ 10MEGHZ.PROBE.END,1,0,3,4,2,57,58,
