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1、数码相机定位模型摘要本文从数码相机成像原理出发，结合坐标旋转平移变换，建立空间直角坐标系XYZ并在坐标系中将靶标坐标以参数的形式表示，根据成像的几何关系，计算其像坐标的参数表达式，通过MATLAB7.0编程进行模型求解、图形仿真，并采用最小二乘椭圆拟合的方法，对模型进行精度与稳定性分析，最后建立双目定位的空间模型.首先设定正方形靶标的平面直角坐标，通过坐标轴的旋转平移变换，建立二维到三维的映射关系，得到靶标中5个圆心在空间坐标系上的坐标表达式，根据成像原理，靶标上圆心跟光学中心两点确定的直线与像平面相交，交点的XY参量即为该圆心在像平面的像坐标，利用定比分点坐标公式求解.并通过MATLAB7.
2、0对模型进行图形检验，模型合理.在问题一的基础上，问题二引入了像距、分辨率等相机的内部参数，使问题具体化.结合问题一中的模型，建立以像素为单位的像平面坐标系，通过坐标变换公式，将高精度的像坐标映射为实际相机的像素坐标，从而得到空间点在相机中的像素坐标.并对相机观察范围、精度与被观察物位置的关系进行了讨论.并通过MATLAB7.0进行了坐标变换的验证.由于相机单位感光元件不会无限小，引入像素后便存在了精度与稳定性问题.由成像原理的几何关系可知，空间中圆的圆心与其映射在像坐标中椭圆的中心为同一点的物与像，利用此关系进行模型检验.建立空间圆上各点的坐标，根据问题二模型求得其在像平面的像素坐标，并进行
3、椭圆的最小二乘拟合，用MATLAB7.0进行求解，所求中心与该圆心的精确像点进行比较，来讨论模型的精度与稳定性，并进行图形检验.基于上述单相机定位原理的分析，在问题一模型基础上加入辅定位相机，结合相机成像原理的几何关系，建立双目定位模型.并通过MATLAB7.0进行图形检验，模型合理.图1为该模型的仿真空间图.smdw.gif为该模型的空间表示(路径:主文件夹matlabsmdw.gif).图1 双目定位的仿真空间图关键词：成像原理 坐标变换 最小二乘椭圆拟合 定比分点 双目定位一、 问题重述数码相机定位已有广泛的应用.数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置.双目
4、定位（用两部相机来定位）是最常用的定位方法.对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别得到该点在两部相机像平面上的坐标.知道两部相机精确的相对位置，用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置.给出标定的一种做法：在一块平板上画若干个点， 同时用两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用得到两组像点的几何关系可以计算这两部相机的相对位置.为了更为精确，实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），认为它们的圆心为几何点.但它们的像一般会发生几何畸变（如圆的像为椭圆），所以要想标定实现，须从像平面中精确地找到靶标中圆心的像.现设计
5、靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆.以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆.并用位置固定的数码相机摄像.现解决以下问题：问题一：假设坐标系的原点在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面，为了确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，试给出数学模型和相应的算法.问题二：假设该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位（1毫米约为3.78个像素单位），相机分辨率为1024768，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标.问题三：设计一种方法检验建立的数学模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论.问
6、题四：建立靶标与两部固定相机位置的数学模型.二、模型假设与符号系统1.模型假设1) 假设标靶的正面不会背离相机.2) 假设问题一中相机的分辨率为无穷大.3) 假设问题一中相机的像平面无穷大. 4) 假设问题二中靶标放在相机的可视内.5) 假设题目所给的数据为合理数据6）假设两部相机的内部参数完全相同.2.符号说明1) 表示三维空间坐标系中的点绕X轴的旋转角度.2) 表示三维空间坐标系中的点绕Y轴的旋转角度.3) 表示三维空间坐标系中的点绕Z轴的旋转角度.4) 表示坐标原点平移后的横坐标.5) 表示坐标原点平移后的纵坐标.6) 表示坐标原点平移后的竖坐标.7) 表示相机的相距：即光学中心到像平面
7、的距离. 8) 表示相机凸透镜的光学中心到最小像平面的距离.9) 表示在相机分辨率确定的情况下像平面的面积.10) 表示像平面的四个顶点通过光学中心后像的面积.11) 表示两固定相机光学中心的距离.12) 表示该相机单位像素的面积.13）表示该相机单位像素所采集到的面积.三、问题分析与模型建立3.1 问题一的分析与模型的建立3.1.1 分析与模型的建立根据凸透镜成像原理，实际物体与像的连线经过凸透镜的光学中心(如图2所示),即标定物的特征点、相机的光学中心和标定物特征点的像在同一直线上.在实际定位时，可通过像点与光学中心确定标定物特征点所在直线，通过双目便可得到标定物特征点的实际位置.模型的建
8、立我们采用逆向思维，通过标定物特征点的坐标，利用成像原理，计算像平面中特征点的像坐标.图2 透镜成像原理示意图首先确定靶标中的5个圆心在空间直角坐标系XYZ中坐标的参数表达形式，根据凸透镜成像原理，靶标中圆的圆心经相机光学中心交于像平面于一点，交点XY参量即为所求像平面的像坐标.求解靶标中5个圆心坐标在空间坐标系中参数表达式，可通过分别设定靶标上各圆心在空间中的独立坐标，利用各圆心之间的位置关系，其中的两个圆心可以用另外三个圆心表示.经分析,计算量较大，且坐标的参数表达式也较复杂，为了减小算法的复杂度舍弃了这种方案，而采用了坐标轴的旋转平移变换，使计算量大大简化.设定正方形靶标中心为平面直角坐
9、标系的原点.通过坐标轴的旋转平移，建立二维平面到三维空间的映射关系，得到靶标中5个圆心在空间直角坐标系上的坐标表达式.首先以靶标中心为原点，以为X轴的正方向，以为Y轴的正方向，建立平面直角坐标系.根据各点的相对位置关系， 计算得圆心A、B、C、D、E的坐标为为了将平面引入空间中，以靶标正面为Z轴正方向，建立笛卡尔直角坐标系.则相应的圆心A、B、C、D、E的空间坐标为空间直角坐标系中的点关于X、Y、Z轴的旋转角分别为 ，当Y轴Z轴固定，坐标系中的点关于X轴的旋转矩阵为当X轴Z轴固定，坐标系中的点关于Y轴的旋转矩阵为当X轴Y轴固定，坐标系中的点关于Z轴的旋转矩阵为则坐标系中的点关于X轴Y轴Z轴的总
10、的旋转矩阵为靶标平面上的点用空间直角坐标系表示等价为将靶标的坐标轴通过旋转和平移变换以后的坐标.二维平面中的点与三维空间中的点存在一个映射关系，表示二维平面中的点，则由上述的坐标的旋转和平移给出一个映射关系1,映射将中的点变成空间坐标系上的一个点.这里点为中原点平移之后的坐标.以光学中心为坐标原点，Z轴与焦距所在的直线重合，正方向指向靶标的正面，其中坐标系的YOZ平面如图2所示.则在此坐标系中靶标上的圆心A、B、C、D、E的坐标分别为，由凸透镜成像原理可知，靶标上的圆心、光学中心和像平面中的像点在一条直线上，根据三角形相似性得其中的坐标为表示靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，点表示原点坐标
11、,点表示靶标上圆的圆心在空间直角坐标系中的坐标记为，根据定比分点坐标公式可以求出靶标上圆的圆心在像平面上的坐标为又因为x-y平面平行于像平面，则横坐标纵坐标即为靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标.所以靶标上圆的圆心在像平面的像坐标为3.1.2 模型旋转矩阵算法的改进 在进行圆心的坐标变换时，由于笛卡尔直角坐标系三个轴相互垂直，所以三个坐标轴的旋转角可以用两个角表示.减少了外部参量，简化了计算的复杂度.虽然变量的个数较少了，空间点的坐标表示形式不同，但空间点之间的相对位置没有变，不影响靶标在空间的坐标表示及模型的最终结果.引入球坐标中的极角和方位角来表示坐标轴的旋转，则靶标平面上点变换到三维空
12、间中的点的旋转矩阵1为角度为垂直于该平面的向量在极坐标下的极角，为方位角从二维平面到三维空间的映射为按照此公式得到靶标中的5个圆心通过旋转平移变换得到的坐标参数表达式分别为求得靶标空间圆心坐标后,按原模型求解其在像平面的像坐标,在计算过程中我们发现改进模型更加简单.3.1.3 模型一的检验利用改进的旋转矩阵，根据建立的数学模型，给参数赋一定初值，利用MATLAB7.0进行求解(求解程序见matlab文件夹中的questionone.m)，得靶标空间坐标及其像在像平面的坐标.下面为一组参数的验证结果.参数: 靶标中圆心的空间坐标:X坐标Y坐标Z坐标A79.44477.7981467.6B83.4
13、3492.9891442.1C92.745128.431382.4D100.5642.2021332.4E87.255-8.43421417.6靶标中圆心在像平面中的像坐标：X坐标Y坐标A-16.239-15.903B-17.357-19.345C-20.127-27.872D-22.641-9.5023E-18.4651.7849该组数据的仿真空间图像如图3，图3 左侧为主视图右侧为侧视图该图直观显示出靶标平面中5个圆的圆心通过旋转平移变换在空间中的位置信息，同时精确的描绘出这些空间上的点通过相机后，在像平面上的成像情况，模型合理.3.2 问题二的分析与模型建立通过分析问题一的模型，该模型为
14、一个理想化的模型，体现了相机定位的数学原理，像平面无限大，可使相机看到几乎整个Z正半轴的空间的物体，与实际略不相符；分辨率无限小，则定位精度无限高，其只与计算时得到的数据的有效位有关，有效数字越多精度越高.因此问题二引入了像距，相机分辨率，等相机内部参数.使问题更加实际.为了分析问题方便，我们在相机的像平面中建立了以像素为最小单位的像素坐标系.本相机的内部参数为1毫米=3.78个像素单位像距=1577个像素单位相机分辨率为1024*768数码相机的传感器能识别的最小单位为像素，分辨率为1024768，即该相机的图像传感器有786432个像素.像平面的像素坐标系与毫米坐标系的关系为其中为对取整.
15、则该相机的像素为以正方形中心，以一个像素单位(0.2646mm)为边长的空间区域.即对精确的像点坐标进行了像素化.并编写了MATLAB7.0的求解程序(见matlab文件夹中的questiontwo.m)，下面为一组参数的检验结果.靶标参数：相机的内参数：(通过像素转化得到)靶标中圆心的像平面坐标为：X坐标Y坐标A-42.501-5.3896B-41.245-14.128C-38.304-34.586D-10.743-30.685E-15.125-0.86785靶标中圆心的像素坐标为：X像素坐标Y像素坐标A-161-21B-156-54C-145-131D-41-117E-58-4MATLAB
16、对该模型的空间仿真图如图4图4 左侧为斜视图，右图为像素点放大图因为相机的分辨率为1024x768，既相机图像传感器的实际尺寸约为27.8995X203.1746,相机的可视视角为该像平面过相机光学中心的投影区域，可视范围与离相机光学中心的距离关系如下式相机图像传感器的最小单位尺寸为1个单位像素，其面积为，根据成像的几何关系，其精度与观察物相机光学中心距离有如下关系为通过单个像素采集到的图像面积.从公式中与相机的距离越远其精度越低.3.3问题三的分析与模型建立 要检验模型的稳定性，给出一种具体的检验模型的方法：靶标中圆的圆心的坐标可以用以光学中心为原点，其中z轴与焦距所在的直线重合，正方向指向
17、靶标正面的直角坐标系表示，根据圆上的点与圆心的位置关系（即圆的参数方程），确定出圆上的点在靶标平面上的坐标，根据二维平面到三维空间的映射关系，可求出该点在空间内的坐标，进而通过模型一的数学模型求出该点在像平面上的坐标，相类似的，一个圆上的每个点都可以通过此方法得到在像平面上的坐标.由于像会发生畸变，此题圆的像畸变为椭圆，将靶标上一个圆上的一系列点映射到像平面上的对应点，利用问题二的模型对所求点进行该相机的像素坐标化，使其符合该相机的内部参数，并对像素坐标进行最小二乘椭圆拟合2，求出椭圆方程的系数，再将其转换为毫米单位，从而得到椭圆方程.根据椭圆的方程求出椭圆的中心，则两种方法确定的圆心在像平面
18、的点的距离平方，距离平方越小模型的精度越高，模型越稳定性.假设靶标平面直角坐标系下已知一个圆的圆心坐标为，则该圆上的任意一点在靶标平面直角坐标系的坐标为，其中表示圆的离心角.则由二维空间上的点到三维空间的映射关系1其中为旋转矩阵角度和为垂直于该平面的向量在球坐标下的极角和方位角表示靶标中心的坐标.根据物点与像点的几何关系，就可以得到物点在像平面上的坐标，对像平面上的点进行最小二乘椭圆拟合，得到椭圆的系数，从而得到椭圆方程，根据解析几何关系，就可以求出椭圆的中心坐标.最小二乘椭圆拟合的算法2像平面上的椭圆用平面二次曲线的一般方程可以表示为： 其中 ，称为平面上点到曲线 的代数距离，即可通过求解所
19、有点的最小代数距离平方和的方法求解出相应的二次曲线的方程.对于椭圆上点的观测数据，数学准则为按照上述数学准则，所有对应点在二次曲线上的函数值与实际值的距离差的平方和最小，则曲线拟合的效果较好，用此方法求出椭圆的上述系数，按照解析几何中的方法求得椭圆的中心点坐标.具体的算法步骤如下：1) 通过靶标平面上圆的圆心的坐标写出在靶标平面直角坐标系上圆的参数方程.2) 由二维平面到三维空间的映射关系1求出圆上的任意点在以光学中心为原点的笛卡尔坐标系下的坐标，但要满足求得的点与圆心在该直角坐标系下位于一个平面内.3）由于像平面与xoy平面平行，根据几何关系求得圆上的点在像平面上的对应点.因为像会发生畸变，
20、圆畸变为椭圆，所以圆上的点在像平面上的对应点为椭圆上的点.对这些点用最小二乘椭圆拟合，得到椭圆在平面坐标系下的方程，由解析几何关系求出椭圆方程的中心坐标.4) 靶标上一个圆的圆心在像平面上的对应点为.5) 求与对应两点距离平方，根据其大小评价模型的准确度.相应的求解程序见matlab文件夹中的questionthree.m下面为对A点的检验数据参数根据问题一中模型求得A点在像平面上的坐标根据问题三中的检验模型求得的椭圆中心坐标为此时两点距离的平方为0.9575mm，其数值相对较小，模型合理.3.4问题四的分析与模型建立双目定位即为用两部相机定位，定位的原理为；用两部固定于不同位置的相机摄得物体
21、的像，分别得到该点在两部相机像平面上的坐标.知道两部相机精确的相对位置，用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置，双目定位的目的即为根据两固定相机距离和像的坐标，由几何关系得到物体的位置.假设两相机的型号相同，且在同一直线上，以其中一部相机的光学中心为坐标原点，这里我们称相机为主相机，另一台称为辅相机，建立空间直角坐标系，假设辅相机的光学中心位于x轴上，且两相机的距离为，由问题一，知道靶标上的点可以求出该点的像在主相机像平面中的坐标，变换公式为类似的，通过凸透镜成像原理和三角形相似关系求出靶标中的像通过辅相机在其像平面上的坐标，相应的变换公式为:由四个坐标变
22、换公式，通过给定空间中的点和主辅相机的固定位置，我们就可以精确的计算出这些点在两像平面的位置，从而建立了实物与固定相机的联系，实现了两部相机的准确定位.对模型进行检验，并通过MATLAB7.0进行图形仿真，程序见matlab文件夹中的. 参数：靶标圆心的空间坐标为X坐标Y坐标Z坐标A144.418.3111417.4B139.9947.9521416C129.71117.111412.7D35.604101.691382.6E50.2952.88581387.3靶标在主相机像平面的坐标X坐标Y坐标A-42.501-5.3896B-41.245-14.128C-38.304-34.586D-10
23、.743-30.685E-15.125-0.86785靶标在主相机像平面的坐标X坐标Y坐标A475.23-5.3896B476.61-14.128C479.82-34.586D509.96-30.685E505.17-0.86785仿真图形如图5 图5 双目定位仿真图四、模型评价与推广4.1模型的评价在建模求解中利用逆向思维，巧妙的将问题转化.在确定靶标中圆心的空间坐标时，根据点在空间的坐标等价为该点所在的平面直角坐标轴的旋转与平移，利用了坐标轴的旋转平移变换，简化了计算的复杂度.将模型一的算法给出了相应的改进，模型更就有广泛的推广.模型更大的一个优点是通过MATLAB7.0作图更直观的展示出
24、模型的结果，形象的给出了相机成像的空间情形，图形显示模型更加切实可行.不足之处是模型不适合摄像机无法控制的场合，尤其对于场景任意的最一般情形（如手持摄像机随意运动）.4.2 模型的推广 模型广泛应用于视觉监控，机器人定位，生产流水线机器人控制等领域，在医学方面可通过特种传感器对病人体内物质进行定位帮助医生进行病情诊断，在地质测绘方面可以用其进行山体外形探测等. 五、参考文献1. 叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材M.长沙：湖南教育出版社，2001.12.许正文，姚连璧.基于稳健估计的直接最小二乘椭圆拟合.大地测量与地球力学.第28卷第一期，78-79,2008年2月3 赵静等，数学建模与数学实验第三版.北京：高等教育出版社，20024 萧树铁等.大学实验第二版.北京：高等教育出版社，19995 李海军，徐风生，张建臣 .基于双目视觉自动识别系统的应用研究 ，长春理工大学学报，第30卷第3期，第43页，2007.9
