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1、2-4 广义Hooke定律(物理方程,本构方程),由材料力学已知，Hooke定律可表示为：,单向拉压,纯剪切,E为拉压弹性模量,横向与纵向变形关系,G为剪切弹性模量,为泊松比,一.各向同性材料的广义Hooke定律,对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：,考虑x方向的正应变：,产生的x方向应变：,产生的x方向应变：,产生的x方向应变：,叠加,同理：,剪应变：,物理方程：,说明：1.方程表示了各向同性材料的应力与应变的关系，称为广义Hooke定义。也称为本构关系或物理方程。2.方程组在线弹性条件下成立。,二.体积应变与体积弹性模量,令：,则：,令：,sm称为平均应力;q 称为体积应变
2、,三.物理方程的其他表示形式,物理方程：,用应变表示应力：,或：,各种弹性常数之间的关系,四.广义Hooke定律(物理方程)的一般表达式,广义虎克定律(物理方程)描述应力与应变的关系,6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。,当自变量(应变)很小时，式（）中的各表达式可用泰勒级数展开略去二阶及以上的高阶微量，则式（）中的第一式展开为：,表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为零故,表示函数f1对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时的值，等于一个常数,故,式（）可用一个线性方程组表示,式（）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应变的一般
3、关系式,式（）中的系数称为弹性常数，共有个,由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力时，必产生同样的应变，反之亦然因此为常数，其数值由弹性体材料的性质而定,式（）推导过程未引用各向同性假设，故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、二维各向同性体以及各向同性体等,式(3)可用简写为,称为弹性矩阵.,式（）可用矩阵表示,物体内的任一点,沿各个方向的性能都不相同,则称为极端各向异性体.(这种物体的材料极少见),五.弹性常数,1.极端各向异性体:,由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数之间存在关系,即使在极端各向异性条件下,式(2)中的36个弹性常数也不是全部独立.,36个弹性常数减少到21个.弹性
4、矩阵是对称矩阵.,弹性矩阵为,极端各向异性体的特点:,(1)当作用正应力 时,不仅会产生正应变,还会引起剪应变。,(2)当作用剪应力时,不仅会产生剪应变,也会引起正应变。,2.正交各向异性体,如在均匀体内,任意一点都存在着一个对称面,在任意两个与此面对称的方向上,材料的弹性性质都相同。称为具有一个弹性对称面的各向异性体。该对称面称为弹性对称面,垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。,具有一个弹性对称面的各向异性体,弹性常数有13个。单斜晶体(如正长石)具有这类弹性对称。,如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对称面,这种物体称为正交各向异性体。如:煤块、均匀的木材、叠层胶木、复合材料
5、等,正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为,3.横观各向同性体,如物体内任意一点,在平行于某一平面的所有各个方向都有相同的弹性性质,这类正交异性体为横观各向同性体。如不同层次的土壤、复合板材等。,横观各向同性体只有五个弹性常数,弹性矩阵为,物体内任意一点,沿任何方向的弹性性质都相同。,4.各向同性体,各向同性体只有两个独立的弹性常数,弹性矩阵为:,可见:,2-5 斜面应力公式与应力边界条件,已知物体在任一点P的六个应力分量，求经过P点的任一斜面上的应力。,令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为,设三角形ABC的面积为S，则三角形BPC、CPA、APB的面积分别为lS、mS、nS。四面体PA
6、BC的体积用V表示。三角形ABC上的应力 在坐标轴方向的分量用XN、YN、ZN代表。根据四面体的平衡条件，得,除以S，移项后，得,当斜面ABC趋近于P点时，由于V是比S更高一阶的微量，所以V/S趋于零。于是得出下式中的第一式。同样，由平衡条件 可以得出其余两式。,设三角形ABC上的正应力为N,则由投影可得,将上式代入，得,斜面应力(Cauchy)公式,设三角形ABC上的剪应力为N，由于,所以有,在物体的任意一点，如果已知六个应力分量 就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。,如果ABC是物体的边界面，则XN、YN、ZN成为面力分量，于是得出,即弹性体
7、的应力边界条件。它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。,2-6 位移边界条件,在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边界条件,在给定位移的表面Su上,注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移；反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即混合边界条件。,前几节中给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量，其表示方法引用的是记号法；这是一种公认的弹性力学参量表示方法。,2-7 弹性力学参量的指标表示法,近年来，数学理论中的指标表示法开始出现在力学文献及教科书中。指标表示法书写简洁，便于力学问题的理论推导。,一.指标表示法,1.指标符号,具有相同性质的一组物理量
8、，可以用一个带下标的字母表示：,如：位移分量u、v、w表示为u1、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3）,坐标x、y、z表示为x1、x2、x3，缩写为xi（i=1,2,3）。,单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。,应力分量：,可表示为：,缩写为：,同理，应变分量可表示为：,向量 表示为,三阶线性方程组,可表示为,缩写为,2.爱因斯坦求和约定,在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标（简称哑标）,例,说明：,（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。例：（2）哑标的有效范围仅限于本项。（3）多重求和可采用不同的哑标表示
9、。例：（4）哑标可局部地成对替换。（5）自由指标必须整体换名。（6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混淆，应声明对该指标不求和。例,3.求导数的简记方法,微分算符简记法,例:,求和约定,4.克罗内克(Kroneker)符号,具有如下性质,(1),(2),也称换名算子,同理:,4.置换符号,表示，有个分量。定义：,有两个以上的指标相同,置换符号用于简化公式的书写,行列式：,二.弹性力学方程的指数表示,(1)平衡(运动)微分方程,(2)几何方程,(3)物理方程,(4)边界条件,力边界条件:,位移边界条件:,1.迭加原理:弹性体受几组外力同时作用时的解(应力、应变和位移)等于每一组外力单
10、独作用时对应解的和.,2-8 弹性力学的几个基本定义,(1)迭加原理成立的条件是微分方程和边界条件是线性的.,说明:,(2)对大变形问题,几何方程将出现二次非线性项,平衡方程将受到变形的影响,迭加原理不再适用。,(3)对非线弹性或弹塑性材料,应力应变关系为非线性,迭加原理不成立。,(4)对非线性边界条件,迭加原理也失效。,2.解的唯一性定理：,在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。,无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。,3.圣维南原理:提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平
11、衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。,提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可忽略不计。,提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。,利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹性力学的解题范围。,例题：（习题2-2）,1.由平衡方程,不计体力，则X，Y，Z等于零,将应力分量代入方程，1式，3式满足。,2式为：,积分：,由边界条件求积分常数C(x),上表面的方向余弦l=0，m=-1，n=0；面力分部为：,由边界条件公式,例题：（习题2-11）,已知位移分量,由几何方程得,
