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1、离散型随机变量的均值,一、复习回顾,1、离散型随机变量的分布列,2、离散型随机变量分布列的性质：,(1)pi0，i1，2，；(2)p1p2pi1,复习引入,对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.,如果你期中考试各门成绩为：90、80、77、68、85、91那你的平均成绩是多少？,算术平均
2、数,加权平均数,你的期中数学考试成绩为70，平时表现成绩为60，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占70%、平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？,加权平均数,权：称棰，权衡轻重的数值；加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。,1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？,把环数看成随机变量的概率分布列：,权数,加权平均,二、互动探索,某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg 的3种糖果按3：2：1的 比例混合销售，其中混合糖
3、果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？,181/2+241/3+361/6,=23元/kg,181/2+241/3+361/6,=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36)=23,而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？,随机变量均值（概率意义下的均值）,样本平均值,合理定价随机变量的每个取值与其对应的概率的乘积之和.,1、离散型随机变量均值的定义,一般地,若离散型随机变量X的概率分布为,则称 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。,它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,练习1,离散型随机变量 X 的概率分布列为求X可能取值的算术平均数 求X的均值
4、,例题1,随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的均值,解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6,其分布列为,所以随机变量X的均值为EX=1 1/6+2 1/6+31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5,你能理解3.5的含义吗？,你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?,变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？,例题1,随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望,解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6,其分布列为,所以随机变量Y的均值为 EY=3 1/6+5 1/6+71/6+9 1/6+11 1/6+13 1/6=8,你能归纳求离散型
5、随机变量均值的步骤吗?,变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？,(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则YaXb(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Yaxib)P(Xxi)，i1，2，3，n.E(Y)E(aXb)aE(X)b.想一想：随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？提示(1)随机变量的均值是常数，而样本的均值，随样本的不同而变化(2)对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值两点分布与二项分布的均值,2,p,np,证：设离散型随机变量X的概率分布为,所以Y的分布列为,1、随机变量的分布列是,(1)则E=.,2、随机变量的
6、分布列是,2.4,(2)若=2+1，则E=.,5.8,E=7.5,则a=b=.,0.4,0.1,1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是.,1.2,题型一利用定义求离散型随机变量的数学期望,袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的数学期望思路探索 先分析得分的所有取值情况，再求分布列，代入公式即可,【例1】,规律方法求数学期望的步骤是：(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；(2)求出随机变量取各个值的概率；(3)列出分布列；(4)利用数学期望公式进行计算,在10件产
7、品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望,【变式1】,跟踪训练,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？,一般地，如果随机变量X服从两点分布，,则,例题讲解,小结：,0.7,例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。,解：,(1)XB（3，0.7）,(2),一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则,小结：
8、,基础训练：,3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是.,3,证明：服从二项分布 的随机变量的期望,所以，,证明：,为,提示:,题型二二项分布的均值,【名师点评】(1)如果随机变量X服从两点分布,则其期望值E(X)p(p为成功概率)(2)如果随机变量X服从二项分布即XB(n,p),则E(X)np,以上两特例可以作为常用结论,直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程,某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满12
9、0分拿二等奖，满140分拿一等奖，有一选手选对任意一题的概率是0.8，则该选手有望能拿到几等奖？解选对题的个数XB(30，0.8)，故E(X)300.824，由于245120(分)，所以该选手有望能拿到二等奖,【变式2】,一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。,例题3,解：,设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是和，则,B(
10、20，0.9)，B(20，0.25)，,E200.918，,E200.255,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是,E(5)5E51890，,E(5)5E5525,随机变量的均值 样本的平均值？例如取糖果问题，将每次取出的糖果价格定为样本，每次取糖果时样本会有变化，样本的平均值也会跟着变化；而随机变量的均值是常数。,思考,甲同学一定会得90分吗？90表示随机变量X的均值；具体考试甲所得成绩是样本实际平均值；,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,某突发事件在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3
11、，一旦发生将造成400万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少(总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值),题型三数学期望的实际应用,【例3】,规范解答 不采取预防措施时，总费用即损失期望值为E14000.3120(万元)；(2分)若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为10.90.1，损失期望值为E24000.140(万元)，所以总费用为45
12、4085(万元)；(5分)若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.850.15，损失期望值为E34000.1560(万元)，所以总费用为306090(万元)；(8分)若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为453075(万元)，,发生突发事件的概率为(10.9)(10.85)0.015，损失期望值为E44000.0156(万元)，所以总费用为75681(万元)(11分)综合、，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少(12分)【题后反思】均值反映了随机变量取值的平均水平我们对实际问题进行决策时，当平均水平比较重要时，决策的依据首先
13、就是随机变量均值的大小,据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元(a100)问a如何确定，可使保险公司期望获利？解设X表示保险公司在参加保险人身上的收益，则X的取值为X100和X100a，则P(X100)0.99.P(X100a)0.01，所以E(X)0.991000.01(100a)1000.01a0，所以a10 000.又a100，所以100a10 000.即当a在100和10 000之间取值时保险公司可望获利,【变式3】,思考1.某商场的促销决策：统计资料表
14、明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？,思考2.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢这场赌博对你是否有利?,对你不利!劝君莫参加赌博.,根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1:运走设备,搬运费为3800元;方案2:建保护围墙,建设费为2000
15、元,但围墙只能防小洪水;方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水.试比较哪一种方案好?,例 4,三家公司为王明提供了面试机会，按面试的时间顺序，三家公司分别记为甲、乙、丙，每家公司都提供极好、好、一般三种职位，每家公司将根据面试情况决定给予求职者何种职位或拒绝提供职位若规定双方在面试以后要立即决定提供、接受、拒绝某种职位，且不允许毁约，已知王明获得极好、好、一般职位的可能性分别为0.2，0.3，0.4，三家公司工资数据如下：,【示例】,王明如果把工资数尽量提高作为首要条件，那么他在甲、乙、丙公司面试时，对该公司提供的各种职位应如何决策？思路分析 根据提供的数据计算三家公司的均值，因为面试有时间先
16、后顺序，所以在解决问题时应先考虑公司丙解由于面试有时间先后，所以在甲、乙公司面试做选择时，还要考虑到后面丙公司的情况，所以应从丙公司开始讨论丙公司的工资均值为4 0000.23 0000.32 5000.400.12 700(元)，现在考虑乙公司，因为乙公司的一般职位工资只有2 500元，低于丙公司的均值，所以只接受乙公司极好或好的职位，否则就到丙公司,如此决策时他的工资均值为3 9000.22 9500.32 7000.53 015(元)，最后考虑甲公司，由于甲公司只有极好职位的工资超过3 015元，所以他只接受甲公司极好职位，否则就到乙公司所以总的决策为：先去甲公司应聘，若甲公司提供极好职
17、位就接受，否则去乙公司应聘；若乙公司提供极好或好的职位就接受，否则就到丙公司；接受丙公司提供的任何职位工资均值为3 5000.23 0150.83 112(元),方法点评 由于三家公司提供了三种不同工资的职位，获得不同职位的可能性也不相同，所以我们考虑到用工资的均值来决策这类问题将实际的应用题通过建立“数学期望”模型得以解决,1、离散型随机变量均值的定义,一般地,若离散型随机变量X的概率分布为,则称 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。,小 结,2、离散型随机变量均值的性质,(1)随机变量均值的线性性质,若B(n，p)，则E=np,(2)服从两点分布的均值,(3)服从二项分布的
18、均值,若B(1，p)，则E=p,提升训练：,1.已知随机变量的分布列如下：,2,1,3,2,1,0,分别求出随机变量,；,的分布列,解：,且相应取值的概率没有变化,已知随机变量的分布列如下：,2,1,3,2,1,0,分别求出随机变量,；,的分布列,解：,提升训练：,求离散型随机变量的均值(本题满分12分)(2013高考江西卷)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队,规范解答,(1)求小波参
19、加学校合唱团的概率;(2)求X的分布列和数学期望,跟踪训练4随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而生产1件次品亏损2万元设1件产品的利润为(单位:万元)(1)求的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望),跟踪训练5运动员射击一次所得环数X的分布列如下:现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为.(1)求的分布列;(2)求的均值,解:(1)的可能取值为7、8、9、10,P(7)0.04,P(8)20.20.30.320.21,P(9)20.20.320.30.30.320.39,P(10)20.20.220.30.220.30.20.220.36,的分布列为(2)的均值为E()70.0480.2190.39100.369.07.,
