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1、电磁场与电磁波刘岚 课后习题解答第三章习题解答 解：设导线沿e方向，电流密度均匀分布 z则 rrJ=ezIp4d2r=ez2p4(10)-3r8cos(2p50t)=ez106cos(2p50t导线内的电场 rrJrE=ezs8106r-2cos2p50t=e4.3910cos2p50t(V/m)z7p5.810位移电流密度 rEr10-9r-2-10=e=ee4.3910-sin2p50t100p=-esin(2p50tz1.2210Jd0tz036p 解：由欧姆定理 suuvuvJc=sE 得 1 ruvJuuvE=ex0.02sin117.1(3.22t-z)(V/m)所以 uvuuvv
2、Euu1Jd=e0=ex6.68-110tcos-1z17A.m1(23.22)(/) 解：J c=sE=ex60scos(105t)A/m2EEJd=e=e0er=-ex7.9710-5sin(105t)(A/m2)ttc J =Jd60s=7.9710-5s=1.3310-6(S/m)解：在区域中，传导电流密度为0，即 J=0 将表示为复数形式，有 rHrr2H(r,z)=ejcos(2pz)r由复数形式的麦克斯韦方程，可得电场的复数形式 2 rrE(r,z)=ej2iwe0errH=rHj1-er+(rHj)iwe0erzrr1r502=-erisin(2pz)r所以，电场的瞬时值形式为
3、 rr502E(r,z,t)=ersin(2pz)sin(4p108t)(V/m)rr=5mm,z=25mm处的表面电流密度 rrrrrrJs=nH=erH=ez395.1cos(4p108t)A/mr=20mm,z=25mm处的表面电荷密度 rrrrrs=ngD=-e0erergE=-0.7810-7sin(4p108t)C/m2r=10mm,z=25mm处的位移电流密度 rrrDErJd=e0er=er196.6cos(4p108t)A/m2tt解： 传导电流密度 2rrrJc=sE=ey610-9sin9109t位移电流密度 3 rrrDE1(610-6sin9109t)r-9JD=e0
4、er=102.5eytt36ptr3.7510-6r=eycos9109t(A/m2)=ey1.1910-6cos9109t(A/m2)prr解：在介质中，传导电流密度Jc=sE 位移电流密度e=e0er rrE=exE0coswt rJd=erEt-12-1e=8.851Fm0 0 w=1000(rad/s) 所以 rrJc=exsE0cowst rrJd=-exewE0sinwt 可以得出两者的振幅分别为 Ac=sE0Ad=ewE0=ee0rwEAcsE0s=Ade0erwE0e0erw 铜：s=510S/m，e7r=1 510716A=0.56108.85410-121000r 蒸馏水：
5、s=210-4S/m，e=80 4 210-4A=0.28103-128.85410801000r聚苯乙烯：s=10-6S/m，e =2.53 10-62A=0.45108.85410-122.531000解: =210-6sin(wt-5x)ezwrDJd=t 则 D=JddtD=eE又 则 rDr210-6r10-6E=ezsin(wt-5x)=ezsin(wt-5x)eew2e0w因1wt-x 为 0 cos-6EzrEz洞r抖r5=(ex-ey=ey)抖zy x2e0wEz由汛E=-Bt 得 6rr51-0B=-汛Ed=-tye2siwn(-2e0wt5x) 则 Br10-6H=-ey
6、sin(wt-5x)2m2e0w5 因为 当 由rexuurH=x0reyyHy汛H=J+ dJ于 s=0时rJ=0，则 汛H=JdrezrHyrHyr510-6=(ez-ex)=ezcos(wt-5x)zxz2e0m0w20r6Jd=ez2?1-0而 cwots(x5)比较两式可得 所以 解：将方程，得 rr-=?gJtrs?gErrJ=sE510-6-6=2102e0m0w2w=5c2w2=5=c2(c为光速)4e0m045 即 和D=eE代入到电流连续性rDs?gers gDe再利用 r?gDr 可得 6 -rs=rter=ce=-ste-解得 cett0由于t=o时，r=r，故c=r
7、0所以 r=r0e-t/t 由上式得 t铜=e/s=e0er/s-12=8.854101/5.710=1.55107-19s-10t石墨=e/s=e0er/s=8.85410-125/0.12=3.6910s 解：已知 所以 由于 ruuruuruurE=2yeyH,=xe5xurr=BmH=50omurruurD=eE=5eye0y,xuurxeurrrruurgB=(xe+e+eg)(m50ox=xe)m50yzoxyz0所以，该场不满足麦克斯韦方程 已 7 知 ruur7E=100sin610tsinzey,uuruur7H=-0.1328cos610tcoszex所以 uruurr7D
8、=eE=250e0sin610tsinzey,uruurr7B=mH=-1.328mocos610tcoszex故有 urrrruur7gD=(ex+ey+ez)g(250e0sin610tsinzey)=0xyzurgB=0reyyEyrezuurrEyrEy7=(ez-ex)=-100sin610tcoszexzxz0rexrE=x0而 uruurB77-=-1.328610m0sin610tcoszext7-77uuruur7=-1.3286104p10sin610tcoszex=-100sin610tcoszex所以有 又rexuurH=xHxreyy0rEurB=-t因为 uur0.
9、1328ctosze6y7rezrHxrHx=(ey-ez)=zzy07 107sin而 urD=25067e100tuurHurD=tuurcots6zey1=0sinuurt0.1ze3y28cos610s所以有 8 因此，该场满足麦克斯韦方程。 已知 故有 uruur7D=(z+610t)exuruur10B=(-754z-4.5210t)eyurrrruur10gB=(ex+ey+ez)g(-754z-45210t)ey=0xyzrexruur1ur17E=(D)=(z+610t)ex=2.5e02.5e0xEx1rrErEr=(eyx-ezx)=ey=4.521010eyzy2.5e
10、0reyy0rezz0而 urB=(-75z-4tturrBE=-tuur4.5t2ey=1-010)uur10ey4.5210满足 又 rexuurH=x0reyyHyrezuur754rHyrHy=(ez-ex)=e=zxz10m0x0uur754ex=610p4-7107uur1ex0而 uruurD7=610extuurH满足 urD=t因此，该场满足麦克斯韦方程。 9 解：(1)对于海水,已知 s=4S/m, f=1GHZ, er=81, w2pf=6.2810rad/s 9由一般介质中麦克斯韦第四方程可知 uvuuvrDuvuvH=Jc+=sE+e0er(-iw)Et=uvs+e0
11、er(-iw)E=uv4+818.85410-12(-i6.28 109)E=uvi(4.5-i4)E(2)对于铜,已知 er s=5.710S/m, f=1GHZ, 7=1, w=2pf=6.2810 rad/s 9介质中, 位移电流密度 流密度 uvJc=sEuvEJd=e0ert; 传导电位移电流与传导电流幅值之比为 rrdSidgSJdg=rricSJcgdS=-ie0erws=e0erws=8.85410-126.281091-10=9.75105.7107由一般介质中麦克斯韦第四方程可知, 10 uvuuvuuvDuvuvH=JC+=sE+e0er(-iw)Etv=s+ee(-iw
12、)uE 0r=5.7107uv+18.85410-12(-i6.28 109)Ev=5.710uE 7解：两极板之间存在电场时，其电位差 rrru=Egd，若设极板垂直于Z轴，并且忽略边界效应，则两极板之间的电场为 rrurUE=ez=ezmsiwntdd 位 rrewSId=Jdgd=SdscmUows=wtCmcwUos则移电流密度为 rrErewUmJd=e=ezcowsttd总的位移电流 式中 C=teSd 为平行板电容器的电容； 电容器引线中的电流是传导电流，即 11 故得 Ic=dqd(Cu)du=C=CwUmcoswtdtdtdtIc=Id解：在t时刻，电荷转过得角度为q=wt，
13、而点电荷在圆心处产生的电场为 所以urrE=-erq4pe0r02=-q4pe0r0uuruurexcosq+eycosq2ruurruurruurEwquu25uuJd=e0=(exsinwt-eycoswt)=(exsin1000t-eycos1000t)t4pr02p解：在线性、各向同性介质中 uvrrrgD=g(eE)=Ege+egErrrrDeE=(eE)=E+ettttrrrrgB=g(mH)=Hgm+mgHrrrrBmH=(mH)=H+mttttuvuvD=eEuvuuvB=mHvuuvE和H表达麦克斯韦方程时，有 当用u从而有 12 r1rrgE+(egE)=rrrmHE=-H
14、-mttr1rgH+(mgH)=0rrrreEH=J+E+ettuv当用uvD和B表达麦克斯韦方程时，有 eemrr1r1r1E=(D)=D+Deeerr1r1r1H=(B)=B+Bmmm从而有 rgD=rrrrB1D=-e+eDtergB=0rrrrD1B=mJ+m+mBtm证明：因为和满足的麦克斯韦方程为 uvEuuvHrgE=r/errrEH=J+etrrHE=-mtrgH=0 13 所以有 uuHr=(guuHr)-2uuHr 并且 uuHr=uJr+ert(E) 故有 2uuHr-(guuHr)=-uJr-ert(E)即 2uuHr2uur-meHurt2=-J同理 由于 uEr=(
15、guEr)-2uEr 并且 uEr=-mtHr 故有 2uEr-(re)=mtHr=mtJr2r+meEt2即 2u2rrEr-meEJ1t2=mt+er 证明：由于 guDr=ge(r)Er=e(r)gEr+Erge(r) 所以用Euv和uuHv表达麦克斯韦方程为 gEr+Erge(r)e(r)=0uEr=-muuHr0tgHr=0Hrr=e(r)Et14 于是有 即 uururH(E)=-m0tuurururuurH2(gE)-E=-m0=-m0(H)tt将麦克斯韦方程代入得 rr2urre(r)EE(Eg)-2E=-m0e(r)=-m0e(r)2e(r)ttt即 r2urre(r)E2E
16、-m0e(r)2=-Egte(r) 同理，因为 即 uuruur2(gH)-H=errE(H)=ertr(r)(+Ee)trErt将麦克斯韦方程代入得 uuruur2uurHH0-2H=-m0er2+erte(r)即 uur2uuruurHe(r)2H-m0e(r)2=Hte(r)解：设空气为介质1，理想磁介质为介质2，则m，因而必须为0， 2uurH2否则 uruurB2=mH2 将为无穷大。 15 理想磁介质内部有 边界条件为 即 H1t=H2t=0uurH20，故其表面得rrnH1=0r 此外，当引入磁流概念时，E的旋度方程为 rrrBE=-Jm-truuruurrnE1-E2=-Jms
17、其对应的边界条件为 因为 uurH20()rE20， 则 rrEH2=-e2=0t， 所以 即理想磁介质中也不存在电场，故有 ruurrnE1=-Jms综上所述rrnH1=0rrruunE=-J1ms，所求的边界条件为 16 解：在完纯导体中，则s=，为无穷大； 由 rrHE=-mtrE2=0，否则rrJ2=sE2,可知 uurH20nE1tE1E1nahlbdE2E2tE2nc如图，在分界面上取一矩形闭合路径abcd，该路径的两个l边与分界面平行，且分别在两个分界面两侧，另外，两个17 边h为无限小量。 由安培环路定律： 图所示线路积分有 等式左边 uuvvgHgdl=H1tl-H2tDl
18、luuvvgHgdl=Il，按照上等号右边为闭合回路穿过的总电流 uvuvvDuDI=limJsgdS+gdS=limDIs+DhDlsstDh0tDh0所以 H1t-H2t=limDIsD+limDh=JsDh0DlDh0tvuuvuuvuvnH1-H2=Js 写成矢量式为 将 解：当 当 x0()uurH20 代入得 vuuvuvnH1=Js 时，Eyy=Hx=0， Hz=H0cos(kz-wt)xa 时，Ex0=Hx=0xa， Hz=-H0cos(kz-wt)这表明 和 是理想导电壁得表18 面，不存在电场的切向分量E和磁场的法y向分量H。 x在x0表面，法线 所以 rrnexc0eH(
19、-wyosz k)tuvvruurrrrJs=nH=eeH=-x=0xz=z0xrrn-ex在xa表面，法线 所以 0uvruuvrrrrJs=nH=-eeH=-x=axz=zxaceoysH(-wz k)t证明：考虑极化后的麦克斯韦第一方程 ururrf+rpE=e0由于极化电荷体密度与极化矢量的关系为 rrp=-gR所以 ururrf+rp1rE=(rf-gR)e0e0rrR=e0apE对于线性、各向同性、均匀介质，19 又知 er=1+ap， e=e0ere0所以 rrrr1gR=e0apgE=e0ap(rf-gR)=ap(rf-gR)移项得 即 (1+aprrgRa+pgRap=rfr
20、)gRa=prf所以 rpape0er-11-gR=-=-=-1=-1rf(1+ap)r1+apereregRapr即极化电荷体密度rp总是等于自由电荷密度rf的倍e证明：由磁化电流体密度与磁化矢量的关系 uurrJm=M在均匀磁介质内部，位移电流等于零，故传导电流 uurrJc=HuurrM=xmH对于线性、各向同性、均匀磁介质，而 urrrrrB=m0(M+H)=m0(1+xm)H=mH20 两端取旋度 urrrrB=m0(M+H)=mH即 rrrm0(Jm+Jc)=mJc 即 rJmmr=(-1)m0Jc所以 rrm0Jm=(m-m0)Jc 解：令 则 rrrrrexx+eyy+ezz，
21、 rrrrkxek+e+kxyy ekrrkgrxk+xy+kyzkz所以，由可得 2rrrikgrEAe rrrrrr222irgkrikgr222ikgE(2+2+2A)e-Ae(kx+ky+kz)=-Ake2rxyzrrr2ikgrE+Ake=02即有 rrkirgr2rE+kE=02可见，如果k解。 2=wme2，则rEAe就是波动方程的 因为该齐次波动方程是麦克斯韦方程rr0的条件下导出的，所以E作为麦在代入gE克斯韦方程的解的条件是： rgE021 解：已知所给的场存在于无源介质中，场存在的条件是满足麦克斯韦方程组。 由 rrBE=-t 得 rexrE=xExreyy0rezrEr
22、ErE=(eyx-ezx)=eyxzzyz0所以 rBrEr=-eyx=-Embsin(wt-bz)eytzrEmbrB=cos(wt-bz)ey积分得 由 wrrB=mH，可得 rEbrH=mcos(wt-bz)eymw根据 rrD=eE，可得 rgD=0rrrD=eE=eEmcos(wt-bz)ex对于无源电介质，应满足 DxDyDz+=0xyz 或 xx比较可知：D=D，但D又不是x的函数，故22 满足 rgD=0rgB=0同样可以证明：也可满足 ruurDH=t另外，还须满足另一旋度方程 rexuurH=x0reyyHy因为 rezrHyrHyrHy=(ez-ex)=-exzxzz0rEmb2=-exsin(wt-bz)mw而rDr=-ewEmsin(wt-bz)ext=ewEm比较可知，当 b=wemEmb2mw 即 b2=emw2 时， 满足 ruurDH=t在这样的条件下，其它场量就能在所给定的介质中存在。 23
