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1、七年级数学培优提高讲义相交线与平行线七年级数学:相交线与平行线 一、知识要点: 1.平面上两条不重合的直线,位置关系只有两种:相交和平行。 2.两条不同的直线,若它们只有一个公共点,就说它们相交。即,两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直,有两个重要的结论: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短。 4两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做_ ;如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种
2、关系的一对角叫做_ ;如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_. 5平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线_. 推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_. 6平行线的判定:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_.两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:_.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:_. 7在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_ . 8平行线的性质:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:
3、 .两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:_ .两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:_。. 方法指导:平行线中要理解平行公理,能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角,并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理,利用平行公理及其推论证明或求解。 二、例题精讲 例1如图(1),直线a与b平行,1(3x+70),2=(5x+22), 求3的度数。 解: ab, la3 34 1+32+4180(平角的定义) 4b 12 (等式性质) 2则 3x+705x+22 解得x=24 即1142 1 3180-138 图(1) 评注:建立角度之间的
4、关系,即建立方程,是几何计算常用的方法。 例2已知:如图(2), ABEFCD,EG平分BEF,B+BED+D =192, ABB-D=24,求GEF的度数。 解:ABEFCD G B=BEF,DEF=D EF B+BED+D =192 C 即B+BEF+DEF+D=192 D2=192 则B+D=96 B-D=24 图(2) B=60 即BEF=60 EG平分BEF GEF=1BEF=30 2例3如图,已知ABCD,且B=40,D=70,求DEB的度数。 解:过E作EFAB D ABCD C EFCD BEF=B=40 DEF=D=70 AB DEB=DEF-BEF FE DEB =D-B=
5、30 评注:证明或解有关直线平行的问题时,如果不构成“三线八角”,则应添出辅助线。 图 例4已知锐角三角形ABC的三边长为a,b,c,而ha,hb,hc分别为对应边上的高线长, 求证:ha+hb+hca+b+c 分析:对应边上的高看作垂线段,而邻边看作斜线段 证明:由垂线段最短知,hac ,hba,hcb cbha 以上三式相加得ha+hb+hca+b+c 研究垂直关系应掌握好垂线的性质。 1 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。 a2 垂线段最短。 例5如图,直线AB与CD相交于O,EFAB于F,GHCD于H, 求证EF与GH必相交。 E分析:欲证EF与GH相交,直接证很困难,可考虑用反
6、证GD法。 A证明:假设EF与GH不相交。 HF EF、GH是两条不同的直线 OCB 2 EFGH EFAB GHAB 又因GHCD 故ABCD (垂直于同一直线的两直线平行) 图 这与已知AB和CD相交矛盾。 所以EF与GH不平行,即EF与GH必相交 评注:本题应用结论: (1) 垂直于同一条直线的两直线平行。 (2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线,那么另一条直线也平行于第三条直线; 例6平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点,有多少个不同交点? 解:2条直线产生1个交点, 第3条直线与前面2条均相交,增加2个交点,这时平面上3条直线共有1+2=3个交点; 第4条直线与前
7、面3条均相交,增加3个交点,这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点; 则 n条直线共有交点个数:1+2+3+ (n-1)=1n(n-1) 2评注:此题是平面上n条直线交点个数最多的情形,需要仔细观察,由简及繁,深入思考,从中发现规律。 例76个不同的点,其中只有3点在同一条直线上,2点确定一条直线,问能确定多少条直线? 解:6条不同的直线最多确定:5+4+3+2+1=15条直线,除去共线的3点中重合多算的2条直线,即能确定的直线为15-2=13条。 另法:3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线,这3点与直线上的3点最多有33=9条直线,加上3点所在的直线共有:3+9+1=13条 评注:
8、一般地,平面上n个点最多可确定直线的条数为:1+2+3+(n-1)= 例810条直线两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域? 1n(n-1) 2解:2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域; 3条直线中的第3条直线与另两条直线相交,最多有两个交点,此直线被这两点分成3段,每一段将它所在的区域一分为二,则区域增加3个,即最多分成2+2+3=7个不同区域; 同理:4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域; 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域 推广:n条直线两两相交,最多将平面分成2+2+3+4+n=1+11n(n+1)=(n2+n+2)块不同22
9、3 的区域 思考:平面内n个圆两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域? 1800例9平面上n条直线两两相交,求证所成得的角中至少有一个角不大于 n证明:平面上n条直线两两相交最多得对顶角n(n-1)2n(n-1)对,即2n(n-1)个角 2l3l2O平面上任取一点O,将这n条直线均平行移动过点O,成为交于一点O的n条直线, 这n条直线将以O为顶点的圆周角分为2n个互不重叠的角:a1、a2、a3、a2n 由平行线的性质知,这2n个角中每一个都和原来n条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等,即这2n个角均是原2n(n-1)个角中的角。 ln18001800若这2n个角均大于,则a1+a2+a3
10、+a2n 2n=360, nn而 a1+a2+a3+a2n =360,产生矛盾 1800故 a1、a2、a3、a2n中至少有一个小于, n1800即 原来的2n(n-1) 中至少有一个角不小于 n评注:通过平移,可以把原来分散的直线集中交于同一点,从而解决问题。 例10请你在平面上画出6条直线,使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交,并简单说明画法。 能否在平面上画出7条直线,使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交,如果能请画出一例,如果不能请简述理由。 解:在平面上任取一点A。 过A作两直线m1与n1。在n1 上取两点B,C,在ADGm1m1上取两点D,G。过B作m2m1,过C作m3m1
11、,过D作n2n1,过G作n3n1,这时m2、m3、n2、n3交得E、m2BEHF、H、I四点,如图所示。由于彼此平行的直线不相交,FCIm3所以,图中每条直线都恰与另3条直线相交。 n1n2n3在平面上不能画出没有3线共点的7条直线,使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交。 理由如下: 假设平面上可以画出7条直线,其中每一条都恰与其它3条相交,因两直线相交只有一个交点,又没有3条直线共点,所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。 根据直线去计数这些交点,共有3721个交点,但每个交点分属两条直线,被重复 4 计数一次,所以这7条直线交点总数为2110.5个,因为交点个数应为整数,矛
12、盾。 2所以,满足题设条件的7条直线是画不出来的。 三、巩固练习 1平面上有5个点,其中仅有3点在同一直线上,过每2点作一条直线,一共可以作直线条 A6 B 7 C8 D9 2平面上三条直线相互间的交点个数是 A3 B1或3 C1或2或3 D不一定是1,2,3 3平面上6条直线两两相交,其中仅有3条直线过一点,则截得不重叠线段共有 A36条 B33条 C24条 D21条 4已知平面中有n个点A,B,C三个点在一条直线上,A,D,F,E四个点也在一条直线上,除些之外,再没有三点共线或四点共线,以这n个点作一条直线,那么一共可以画出38条不同的直线,这时n等于 9 10 11 12 5若平行直线A
13、B、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形,则共得同旁内角 A4对 B8对 C12对 D16对 6如图,已知FDBE,则1+2-3=( ) A90 B135 C150 D180 EACHGBFA3G2B1CCA1EDF2DBD第 5 题F第 6 题E 第7题 7如图,已知ABCD,1=2,则E与F的大小关系 ; 8平面上有5个点,每两点都连一条直线,问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点 G9平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 APB10如图,已知ABCDEF,PSGH于P,FRG=110,CDQ则PSQ 。 S ElFR11已知A、B是直线L外的两点,则线段AB的垂直平分H第1
14、0题线与直线的交点个数是 。 12平面内有4条直线,无论其关系如何,它们的交点个数不会超过 个。 13已知:如图,DECB ,求证:AED=A+B 14已知:如图,ABCD,求证:B+D+F=E+G 5 DEABEFAGCB CD 第13题 第14题 15如图,已知CBAB,CE平分BCD,DE平分CDA, ADEDC+ECD =90, 求证:DAAB 16平面上两个圆三条直线,最多有多少不同的交点? E17平面上5个圆两两相交,最多有多少个不同的交点?最多将平面分成多少块区域? C18一直线上5点与直线外3点,每两点确定一条直线,最多确定多B第 15 题少条不同直线? 19平面上有8条直线两
15、两相交,试证明在所有的交角中至少有一个角小于23。 20平面上有10条直线,无任何三条交于一点,欲使它们出现31个交点,怎样安排才能办到?画出图形。 答案 1 5个点中任取2点,可以作4+3+2+110条直线,在一直线上的3个点中任取2点,可作2+13条,共可作10-3+18故选C 2平面上3条直线可能平行或重合。故选D 3对于3条共点的直线,每条直线上有4个交点,截得3条不重叠的线段,3条直线共有9条不重叠的线段 对于3条不共点的直线,每条直线上有5个交点,截得4条不重叠的线段,3条直线共有12条不重叠的线段。 故共有21条不重叠的线段。故选D 4由n个点中每次选取两个点连直线,可以画出n(
16、n-1)条直线,若A,B,C三点不在一条2直线上,可以画出3条直线,若A,D,E,F四点不在一条直线上,可以画出6条直线, n(n-1)-3-6+2=38. 整理得 n2-n-90=0,(n-10)(n+90)=0. 2 n+90 n=10, 选B。 5直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD,各得2对同旁内角,共4对;直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH,各得6对同旁内角,共12对。因此图中共有同旁内角4+616对 6 EACHGBFA3G2B1CDCA1ED第 5 题BF第 6 题EF2D6FDBE AGF 2=3 AGC=1-2-3=AGC+AGF=180 1+选B7解:ABCD
17、 BAD=CDA 1=2 BAD+1=CDA+2 即EAD=FDA AEFD EF 8解:每两点可确定一条直线,这5点最多可组成10条直线,又每两条直线只有一个交点,所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+145 又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线,这四条直线共有3+2+16个交点与平面上这一点重合应去掉,共应去掉56=30个交点,所以有交点的个数应为45-3015个 G9可分7个部分10解 ABCDEF APBAPQDQG=FRG=110 同理PSQ=APS CDQSPSQ=APQ-SPQ=DQG-SPQ ElF=110-90=20 RH第10题11 0个、1个或无数个 1
18、)若线段AB的垂直平分线就是L,则公共点的个数应是无数个; 2)若ABL,但L不是AB的垂直平分线,则此时AB的垂直平分线与L是平行的关系,所以它们没有公共点,即公共点个数为0个; 3)若AB与L不垂直,那么AB的垂直平分线与直线L一定相交,所以此时公共点的个数为1个 124条直线两两相交最多有1+2+36个交点 FA13证明:过E作EFBA 2=ADECB, DEEFBA 1=B BC 1+2=B+A 即AED=A+B 14证明:分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ, AB则ABEHPFGQ ABEH HE7 PGCFQD ABEBEH 同理:HEFEFP PFGFGQ QGDG
19、DC ABE+EFP+PFG+GDCBEH+HEF+ FGQ+QGD 即 B+D+EFG=BEF+GFD 15证明:DE平分CDA CE平分BCDEDC=ADADE ECD =BCE (角平分线定义) CDA +BCD=EDC+ADE+ECD+BCE =2180 E DACB 又 CBAB BC DAAB 第 15 题16两个圆最多有两个交点,每条直线与两个圆最多有4个交点,三条直线最多有3个不同的交点,即最多交点个数为:2+43+3=17 172个圆相交有交点211个, 第3个圆与前两个圆相交最多增加224个交点,这时共有交点2+226个 第4个圆与前3个圆相交最多增加236个交点,这时共有
20、交点2+22+2312个 第5个圆与前4个圆相交最多增加248个交点 5个圆两两相交最多交点个数为:2+22+23+2420 2个圆相交将平面分成2个区域 3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交,最多有224个不同的交点,这4个点将第3个圆分成4段弧,每一段弧将它所在的区域一分为二,故增加224块区域,这时平面共有区域:2+226块 4个圆相看作第4个圆与前3个圆相交,最多有236个不同的交点,这6个点将第4个圆分成6段弧,每一段弧将它所在的区域一分为二,故增加236块区域,这时平面共有区域:2+22+2312块 5个圆相看作第5个圆与前4个圆相交,最多有248个不同的交点,这8个点将第5个圆分成
21、8段弧,每一段弧将它所在的区域一分为二,故增加248块区域,这时平面最多共有区域:2+22+23+2420块 18 直线上每一点与直线外3点最多确定35=15条直线;直线外3点间最多能确定3 条直线, 最多能确定15+3+1=19条直线 19将这8条直线平移到共点后,构成8对互不重叠的对顶角,这8个角的和为180 假设这8个角没有一个小于23,则这8个角的和至少为: 238=184,这是不可能的.因此这8个角中至少有一个小于23, 在所有的交角中至少有一个角小于23 20平面上有10条直线,若两两相交,最多可出现45个交点,题目要求只出现31个交点,就要减少14个交点,则必须出现平行线,若某一方向上有5条直线互相平行,则可减少10个交点;若有6条直线互相平行,则可减少15个交点;故在这个方向上最多可取5条平行线,这时还有4个交点需要减去,转一个方向取3条平行线,即可减少3个交点,这时还剩 8 下2条直线和一个需要减去的点,只须让这2条直线在第三个方向上互相平行即可。 如图这三组平行线即为所求。 9