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1、上海交通大学大学物理12导体电学 91 习题12 12-1一半径为0.10米的孤立导体球，已知其电势为100V(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。 解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，电势为：U=Q4pe0R=sR， e08.8510-12100=8.8510-9Cm2。 则：s=R0.1e0U-812-2两个相距很远的导体球，半径分别为r1=6.0cm，r2=12.0cm，都带有310C的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。 解：半径分别为r1的电量为q1，r2电量为q2， 由题意，有：q14pe0r1=q24pe0r2，q1+q2=610-8，
2、联立，有：q1=210-8C，q2=410-8C。 12-3有一外半径为R1，内半径R2的金属球壳，在壳内有一半径为R3的金属球，球壳和内球均带电量q，求球心的电势 解：由高斯定理，可求出场强分布： rR3E1=0qE2=R3rR224per0 E=0RrR1E4=24per0R3vvR2vvR1vvvvU0=E1dr+E2dr+E3dr+E4dr 0R3R2R1R3R2R1=R2q4pe0r2R3dr+2q4pe0rR1dr=2q4pe0(112-+)。 R3R2R112-4一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为R1、R2求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出Er和Vr曲
3、线. 解：由高斯定理，可求出场强分布： qE=124per0E2=0qE3=4pe0r2电势的分布为： 当0rR1时，U1=0rR1R1rR2R1rOqR1R2rEq4pe0r2dr+q4pe0r2OR2dr R1UOR2r=111(-+)； 4pe0rR1R2qR1R2r 92 当R1rR2时，U2=当rR2时，U3=q4pe0r22R2dr=qq4pe0R2。 ； rq4pe0rdr=4pe0r12-5半径R1=0.05m,，带电量q=310-8C的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径R2=0.07m，外半径R3=0.09m，带电量Q=-210-8C。试求距球心r处的P点的场强与电势。
4、r=0.10mr=0.06mr=0.03m。 解：由高斯定理，可求出场强分布： E1=0qE2=24per0E3=0Q+qE4=4pe0r2rR1R1rR2R2rR3R2R1QR1qR2R3电势的分布为： 当rR1时，U1=q4pe0rdr+2qQ+qq11Q+q， dr=(-)+R34per24peRR4peR001203当R1rR2时，U2=当R2R3时，U4=R2r4pe0rdr+2Q+qq11Q+q， dr=(-)+R34per24pe0rR24pe0R30Q+qQ+q， dr=R34pe0r24pe0R3Q+qQ+q， dr=r4pe0r24pe0rr=0.10m，适用于rR3情况，
5、有： Q+qQ+q3=910NU=900V； ，44pe0r24pe0rr=0.06m，适用于R1rR2情况，有： E4=E2=q4pe0r2=7.5104N，U2=Q+q11(-)+=1.64103V； 4pe0rR24pe0R3qr=0.03m，适用于rR1情况，有： E1=0，U1=q4pe0(Q+q11-)+=2.54103V。 R1R24pe0R3212-6两块带有异号电荷的金属板A和B，相距5.0mm，两板面积都是150cm，电量分别为2.6610C，A板接地，略去边缘效应，求：B板的电势；AB间离A板1.0mm处的电势。 -8sq解：由E=有：E=， e0e0Sqd则：UAB=E
6、d=，而UA=0， e0SA1mm5mmPB 93 2.6610-8510-3=-1000V， UB=-12-28.85101.51013离A板1.0mm处的电势：UP=(-10)=-200V 512-7平板电容器极板间的距离为d，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t(td)的金属板，求无金属板时和插入金属板后极板间电势差的比；如果保持两极板的电压不变，求无金属板时和插入金属板后极板上的电荷的比。 解：设极板带电量为Q0，面电荷密度为s0。 s无金属板时电势差为：U1=E0d=0d， e0s有金属板时电势差为：U2=E0(d-t)=0(d-t)， e0s0de0U1d=电势差比为
7、：； sU20(d-t)d-te0设无金属板时极板带电量为Q0，面电荷密度为s0， 有金属板时极板带电量为Q，面电荷密度为s。 ss由于U1=U2，有E0d=E(d-t)，即0d=(d-t) e0e0Qsd-t0=0=。 Qsd解法二： 无金属板时的电容为：C0=+-E0+s0E0dt-s0+sd-sEtUe0Sd，有金属板时的电容为：C0=e0Sd-t。那么： QUd知：1=； UU2d-tQQd-t当极板电压保持不变时，利用C=知：0=。 UQd当极板电荷保持不变时，利用C=12-8实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E垂直于地面向下，大小约为130V/m.在离地面1.5km的高空的场强也
8、是垂直向下，大小约为25V/m. 试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； 计算从地面到1.5km高空的空气中的平均电荷密度 解：因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用E0=直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为E0=-130V，所以： s考察，选竖e0E=-25s=e0E=8.8510-12(-130)=-1.1510-9Cm2； 如图，由高斯定理Svv1EdS=qi，有： DSh=1.5kmE0=-130e0S内EDS+E0(-DS)=r1.510rhDS，则：-25-(-130)=， -128.8510e03地面 94 得：r=6.210-13Cm3。 12-9
9、同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为R1，电势为V1，外圆筒的内半径为R2，电势为V2.求其离轴为r处(R1rR2)的电势。 解：R1rR2处电场强度为：E=内外圆柱间电势差为：V1-V2=则：R2R2R1l， 2pe0rRlldr=ln2 2pe0r2pe0R1R1R2(V-V)l=12 2pe0ln(R2R1)同理，r处的电势为：Ur-V2=rRlldr=ln2 2pe0r2pe0rRln(R2r)lUr=V2+ln2=(V1-V2)+V2。 ln(R2R1)2pe0r【注：上式也可以变形为：Ur=V1-(V1-V2)式用：V1-Ur=V1V
10、2ln(rR1)，与书后答案相同，或将ln(R2R1)rR1llrdr=ln计算，结果如上】 2pe0r2pe0R112-10半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求： 每个求上分配到的电荷是多少？按电容定义式，计算此系统的电容。 解：首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：4pe0raqa=4pe0rbqb，再由系统电荷为Q，有：qa+qb=Q QaQb，qb=； a+ba+bQQQQ=根据电容的定义：C=，将结论代入， UqaUqb4pe0a4pe0b有：C=4pe0(a+b)。 两式联立得：q
11、a= 12-11图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。 解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：E=Q4pe0r2bvbQQb-av而电势差：U=Edr=， dr=aa4per24pe0ab0abUQUab2。 ，那么，场强表达式可写为：E=b-ar4pe0b-abU因为要考察内球表面附近的场强，可令r=a，有：Ea=， (b-a)a， 95 dEabU=0时，出现极值，那么：-(b-2a)=0 da(ab-a2)2b4U得：a=，此时：Eamin=。 2b将a看成自变量，若有
12、12-12一空气平板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为d接上电源后，A板电势UA=V，B板电势UB=0现将一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导体片C平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片C的电势。 解：由静电平衡，A内场强为0，则 qA+q+qB=0 2e0sdd由题意，V=EAC+ECB， 22q-q-qBq+q-qB而：EAC=A，EBC=A 2e0s2e0seSVqeSVq-，qB=-0-。 联立上述方程，则：qA=0d2d2dq+q-qBd导体片C的电势：UC=UCB=ECB=A， 22e0S21qUC=(V+d)。 22e0SEA内=12-13两金属球的半径之比
13、为14，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：设小球r1=R，大球r2=4R，两球各自带有电量为q，有： 接触之前的电势能：W0=q28pe0R+q28pe04R； 接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为q1，大金属球带电为q2， 有：q14pe0R1=q24pe0R2和q1+q2=2q，联立解得：q1=21222q8q，q2=。 5542642qqqq162525+=+=W0。 那么，电势能为：W=8pe0R8pe04R8pe0R8pe04R2512-14. 解：导体板两侧的场强为： E=s 2e0
14、 Va-Vb=(V导体板-Ea)-(V导体板-Eb)=E(b-a)= s(b-a) 2e0 96 思考题12 12-1一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有+q和-q的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布。 答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交， 两板的电场线接近板面时应该垂直板面。 12-2在“无限大”均匀带电平面A附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板B，如图所示已知A上的电荷面密度为+s，则在导体板B的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？ 答：s1=-s2，s2=s2。 12-3充了电的平行板电容器两极板(看作
15、很大的平板)间的静电作用力F与两极板间的电压U之间的关系是怎样的？ 答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。 12-4一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的 距离为d处(dR)，固定一点电荷+q，如图所示，用导线把球壳 接地后，再把地线撤去选无穷远处为电势零点，则球心O处的电 势为多少？ 答：U0=q-q +40d40R12-5在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A内，放一 带有电荷为+Q的带电导体B，如图所示，则比较空腔导体A的 电势UA和导体B的电势UB时，可得什么结论？ 答：UA和UB都是等势体，UA=Q4pe0R3； UB=Q4pe0R3+Q11 -4pe0R1R2
