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1、同济大学朱慈勉 结构力学 第7章 位移法习题答案同济大学朱慈勉 结构力学 第7章 位移法习题答案 7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。 (a) (b) (c) EI 2EI EI EI 2EI 1个角位移 3个角位移，1个线位移 4个角位移，3个线位移 (d) (e) (f) EI EI1= EA EI1= 3个角位移，1个线位移 2个线位移 3个角位移，2个线位移 (g) (h) (i) k 一个角位移，一个线位移 一个角位移，一个线位移 三个角位移，一个线位移 7-2 试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分
2、的结点位移也选作位移法未知量？ 7-3 试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。 7-4 试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？ 7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。 (a) A l i D i B l q i C 解：确定基本未知量和基本结构 有一个角位移未知量，基本结构见图。 7- 32 3iZ1=1r R1p12ql34i11 ii12 6ql 2iM1图M p图位移法典型方程 r 11Z1+R1p=0确定系数并解方程 r=8i,R12111p=-3ql 8iZ121-3ql=0 Zql21=24i画M图 17
3、228ql24ql 1 ql2 652 24ql M图(b) 2.5kN/m 10kN A 2EI B EI D EI C 4m 4m 解：确定基本未知量 1个角位移未知量，各弯矩图如下 7- 33 32EIZ1r=1EI1112EIM1图位移法典型方程 rZ 111+R1p=0 确定系数并解方程 r=5 2EI,R=-35 111p52EIZ 1-35=0 Z14 1=EI画M图 4026147M图(KNm)(c) FP D EA= E EA= F EI 2EI EI A C B 6m 6m 解：确定基本未知量 一个线位移未知量，各种M图如下 7- 34 905Mp图Z1=1 r11F p
4、EI2EI EI 272727 M 1图12 243EI243EI1243EI位移法典型方程 r11Z1+R1p=0 确定系数并解方程 r4 11=243EI,R 1p=-Fp4243EIZ 1-Fp=0 Z 1=2434EI画M图 994F 9p2Fp4Fp M图 (d) E F EA EA A B C D EI1= FP FP a a 2a a 解：确定基本未知量 一个线位移未知量，各种M图如下 R1pMp图7- 35 2 EA/2a54EA/2a5r11Z1=1简化2EA52EA/2a5 2EA/2a5M1图r11M1图4a51a5R1pFpMp图位移法典型方程 3a5Fpr11Z1+R
5、1p=0 确定系数并解方程 r11=26 EA/a,R1p=-Fp55 2EA6Z1-Fp=05a5Z1=3a EA 0.6Fp画M图 0.6Fpa 1.2FpFpa M图(e) A l EA D EA EA B C FP 解：确定基本未知量 两个线位移未知量，各种M图如下 7- 36 r21EAlr11Z1=1r11=EA21+lEA 42l r2EA21=4lM1图r22Z2=1 r12EAEAr22=EA1+22lll4M2图0 FpR1p0R1p=-Fp0 R2p=0Mp图2）位移法典型方程 r11Z1+r12Z2+R1p=0 r21Z1+r22Z2+R2p=03）确定系数并解方程 E
6、A2EAr11=l1+24,r12=r21=4l rEA22=l1+24R1p=-Fp,R2p=0 代入，解得 7- 37 画M图 21+2(1)lFpEA1+22 21+2()Fp21+2(2)Fp-21+2(1)Fp7-6 试用位移法计算图示结构，并绘出M图。 (a) 6m 10kN/m A C E F M图EI=常数 B 6m D 6m 解：确定基本未知量 两个角位移未知量，各种M图如下 2EI31EI32EI32EI31 EI3r11=2EI1 r21=EI3M1图2EI321EI3EI3 13EIr22=11EI6 1EI3M2图7- 38 30R1p=30 R1p=0Mp图位移法典
7、型方程 r11Z1+r12Z2+R1p=0 r21Z1+r22Z2+R2p=0确定系数并解方程 r11=2EI,r12=r121=3EI r22=116EIR1p=30,R2p=0 代入，解得 Z1=-15.47,Z2=2.81 画最终弯矩图 35.1619.699.383.2710.311.87 1.40 M图(b) A B 10kN/m EI=常数 C D E 6m 6m 解：确定基本未知量 两个位移未知量，各种M图如下 4i r2i3i112ir 214iM1图7- 39 i/2ir12i i r22M2图30 30R1pR2p Mp图位移法典型方程 r11Z1+r12Z2+R1p=0
8、r21Z1+r22Z2+R2p=0 确定系数并解方程 r=11i,r=r=0111221r22=-3i4R1p=30KN,R2p=-30KN 代入，解得 Z1=-3011 ,Z2=4011ii 画最终弯矩图 2075.458.18 34.5529.09 20.912m A E B M图(c) C 30kN F EI=常数 D 2m 2m 7- 40 解：确定基本未知量 两个位移未知量，各种M图如下 ir 114i2i3i 3i r21 M1图r3i122 3i2r22 M2图30KNR1p R2p Mp图 位移法典型方程 r11Z1+r12Z2+R1p=0 r21Z1+r22Z2+R2p=0
9、确定系数并解方程 r11=11i,r3i12=r21=-2 r22=6i4R1p=0,R2p=-30KN 代入，解得 Z6.31646.316 1=EI,Z2=EI 求最终弯矩图 7- 41 4.2112.6325.266.329.47 (d) E l 2 GM图qql B D F EI=常数 A l C l 解：确定基本未知量 两个位移未知量，各种M图如下 2EIl3EIlZ1=1r114EIl3EI l3EIlr21M1图6EIl23EIl2r123EIl26EIl2Z2= 1r22M2图7- 42 128ql116ql2R1p R2pMp位移法典型方程 r11Z1+r12Z2+R1p=0
10、 r21Z1+r22Z2+R2p=0 确定系数并解方程 r13EI11=l,r=r3EI 1221=l2r18EI22=l2R=11p16ql2,R2p=-ql 代入，解得 Z66ql3211ql4 1=-3600EI,Z2=3600EI 求最终弯矩图 0.315ql20.125ql2 0.008ql20.278ql20.055ql20.231ql20.176ql2M图(e) 50kNm 80kNm 10kNm 20kN A 2EI B EI C EI D 8m 4m 4m 4m 4m 解：确定基本未知量 两个角位移未知量，各种M图如下 7- 43 3EI4Z1=1r11EI 1r2141EI
11、2M1图1EI2Z2=1r22r121 4EI 3EI8M2图20502525 2025Mp图20位移法典型方程 r11Z1+r12Z2+R1p=0 r21Z1+r22Z2+R2p=0 确定系数并解方程 51EI,r12=r21=EI 447r22=EI8R1p=45KNm,R2p=0r11= 代入，解得 Z=-38.18,Z=10.91 12 求最终弯矩图 25.91 3.6415.91M图7-7 试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？ (d) (e) (f) EI 对称轴 7- 44 FP q FP EI1= M (a) (b) (c) FP FP
12、FP 7-8 试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。 (a) A 8m 3EI 20kN B EI1= 3EI E D EI1= G 3EI C 8m EI F 解：画出M1,M2,Mp图 r11 92EI92EIr114EI81Z1=12 2EIEI 2EI r214EI34EI30r212EI9M图由图可得： r11=1124 EI,r12=r21=EI813M2图 21r2EI2EI1EI21EI6Z2=164EI3 2EI1 EI23 1EIr22 1EI61EI18r222EI91EI6由图可知： 14 r22=EI9 1pR20KNMp图R2p7- 45 R1p=-20KN
13、 R2p=0列方程及解方程组 4 112EIZ+EIZ-20=0128134EIZ+14EIZ=01293解得： Z1=83.3811 ,Z2=-71.47EIEI最终弯矩图 18.53 23.8223.8235.7411.9159.5618.5335.7411.91 (b) A 8m B 10kN D M图C 10kN EI=常数 解：C点绕D点转动，由Cy=1知，Cx= 知 35,CCD= 44EI9EI3EI3EI,r31=r13=-=-4128321284EI4EI93327r22=+=EI,r23=r32=-EI-EI=-EI108103240160r11=EI,r12=r21= R
14、1p=10KNm,R2p=0,R3p=-6.25KN 求r33 MD=0知 7- 46 27r33=160EI+340EI+3128EI-9128EI+9EI1288148=0.055EI EIZEI31+4Z2-128EIZ3+10=0EI9EIZ1=-17.9/EI4Z1+Z27EIZ102-1603=0Z2=58.5/EI 327Z3=285.6/EI-128EIZ1-160Z2+0.055EIZ3-6.25=0 (c) FP C B EI1= EI EI D A aa22a 解：作出各M图 o瞬心10EIa29EI6EI4 a2 a2+EIa242EI a242EI 6EI2EI2a2
15、+a2 aM1图MEI0=0r11a=9a32a+18EIa3ar=(92+18)EI 11a37- 47 o瞬心PR1p1Pa4Mp图aM=0P+R1pa=002 PR1p=-2列出位移法方程 r11Z1+R1p=0 解得： Z1=Pa3292+18EI()最终M图 5Pa92+185Pa92+181Pa52Pa4 292+18()22Pa92+184Pa92+18M图q D (d) A EI1= B EI C k = 4 EI l3 l l l 2 2 解：基本结构选取如图所示。 作出M1及Mp图如下。 7- 48 9EI2l28EIl2Z1=110EIl2r11M1图12ql1212ql
16、 12ql128Mp图r10EI8EI10EI9EI29EI11=l2+l2l+l2-2l2l/2=l3R=-12ql+171p12ql2/l=-12ql 由位移法方程得出： R7ql4r11Z1+1p=0Z1=348EI作出最终M图 85348ql25768ql2 41ql213488ql2M图7-9 试不经计算迅速画出图示结构的弯矩图形。 (a) B A A C (b) B B A C 题7-9图 7-10 试计算图示有剪力静定杆的刚架，并绘出M图。 q qa F C G q qa D B E AEI=常数 a a 7- 49 解：画出M1,M2,Mp图 3iZ1=r111r12i3iir
17、3iZ212r=122i3iM1图M2图由图可知，得到各系数： r11=7i,r12=r21=-i,r22=8iR513 1p=-qa2,R2p=-8qa28求解得：Z1=53440,Z122=55 求解最终弯矩图 159440ql22632440ql104 440ql236255ql43255ql 177440ql2238440ql267ql255M图7-11 试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。 (a) 20kN/m A B C D E EI=常数 F G 6m 6m 6m 6m 解：利用对称性得： 7- 50 18ql212ql2 128qlql212ql2 ql2Mp图21203EI
18、Z1r=160601112p3EI3EIR1 13EI M1图Mp图由图可知：r11=43EI,R1p=-300KNm 43EIZ1-300=0 可得：Z31=3004EI=225EI 求最终弯矩图 36036021021015 15015015 7575 M图(b) C EI A20kNEI E I B 4m 4m 解：利用对称性，可得： EI10KNEI25EI Z1=1r112010KNEI 44205EIM1图Mp图由图可知，各系数分别为： rEI11=4+45EI=2120EIR1p=-20KNm 2120EIZ1-20=07- 51 解得：Z1=400 21EI求最终弯矩图如下 1
19、5.247.6224.76C l EI D A EI B M图(c) FP EA A= 12 2I l EI E l 解：在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。 1Pl8x=45Px=1512EIl2N=-6EIl212EI5l24N=-Pl56EIl2Z1=1r116EIl2M1图Mp图R1p3EI12EI4x=3(1-x)，得x=个单位。 3ll5D点向上作用1个单位，设B向上移动x个单位，则同理可求出Mp图。 r11=12EI212EI132EI4x+=,R1p=Pl 333l5l5l5Pl3可得：Z1=- 33 求最终弯矩图
20、7- 52 311Pl N=-8211Pl211Pl11Pl 2 11Pl M图(d) 10kN C D B EI EI B D EI EI 2EI 2EI A A 4m 4m 4m 4m (e) EI C EI D C EI EI EI BE B EI1= EI1= EI 50kN EI A A 3m 3m 解：利用对称性，取左半结构 25KN7- 53 4EI3Z1=1r112EI32EI 9r122EI34EI92EI3R1p4EI3r218EI9r22Z2=12EI 34EI925KNR2pM1图M2图Mp图由图可知： r11=8420EI,r21=r12=EI,r22=EI 3927
21、R1p=0,R2p=25KN2575,Z2=- 4EI3EI解得：Z1= 求得最终弯矩图 50312565032256503225612561256503253253 (f) 下图所示。 2m A M图10kN B 10kN D EI=常数 F 2m C E 解：由于不产生弯矩，故不予考虑。只需考虑所示情况。对又可采用半结构来计算。如7- 54 5kN 5kN 原图=5kN 5kN +5kN 5kN 5kN Z25kN 4ir21ZZ1r1=1 2i112i4i4i5kN 2i 基本结构M1图5kNR2pR 1p5kNMp图7-12 试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M图。(a) A
22、 EI B EI C D EI l l l 5kNZ2=1r22r 1211M2图7- 55 (b) B EI A 3EI EI C jD =ljl 解：求M1,M2,M3,Mp图。 r114i12i6ir21r12r31 12ir226i4ir32 r136ilr236ilr33 2iM1图2i6il6ilM2图M3图由图可知： r11=16i,r12=r21=6i,r23=r32=-18ifR1p=0,R2p=8if,R3p=l6i24i,r22=16i,r33=ll代入典型方程，得：Z1=0.426,Z2=-0.374,Z3=0.763l 求最终弯矩图 2.87EIfl1.93EIflE
23、I3.73fl4.677-13 试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M图。已知杆件截面高度h0.4m，EI2104kNm2，1105。 6m 题7-13图 A +20 0 B 0 +20 C M图EIfl解：画出Mt,M1t,Mt图。 7- 56 4EIlr20EIa3114EI R1tR1t2EI45ll3EIa10EIa2EIlM1图M1t图Mt图求解各系数，得，r511=3EI,R951t=-6EIa,Rt=0 典型方程：53EIZ951-6EIa=0 解得：Z1=192a 求最终弯矩图 7.407.4011.9713.55M图7-14 试用混合法作图示刚架M图。 D FP A C F EI=常数 B E l l 题7-14图 7- 57
