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1、学生指数函数和对数函数复习一、指数的性质 整数指数幂 1整数指数幂概念： an=a4a2La (nN*) a0=1(a0) 143n个a a-n=1a0,nN*) n(a2整数指数幂的运算性质：aman=am+n(m,nZ) ann(ab)=ab(nZ) n()mn=amn(m,nZ) 其中aa=aamnm-n=am-nana-1nn-n， =(ab)=ab=n bbn3a的n次方根的概念 即： 若xn一般地，如果一个数的n次方等于an1,nN )，那么这个数叫做a的n次方根，=a，则x叫做a的n次方根， (n1,nN) *(例如：27的3次方根327=3， -27的3次方根3-27=-3，
2、32的5次方根532=2， -32的5次方根5-32=-2 说明：若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若a0则na0，若ao则na0则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作： -na； 若n是偶数，且a1,nN* n0=0； ()式子a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 n(a)nn=a 4a的n次方根的性质 一般地，若n是奇数，则nan=a； a 若n是偶数，则a=a=-anna0 ab)解：略。 *例2已知ab1,nN， 化简：n(a-b)+n(a+b) nn解：当n是奇数时，原式=(a-b)+(a+b)=2a 当n是偶数时，原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b
3、)=-2a 所以，n(a-b)+n(a+b)=nn2an为奇数 -2an为偶数例3计算：7+40+7-40 解：7+40+7-40=(5+2)2+(5-2)2=25 例4求值：59+-5 2459+-5=解：2459-45+=2425+ 24255-26+255+1 =+=22442分数指数幂 1分数指数幂： 5a=a=a102105(a0) 3a=a=a124123(a0) 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质a3()kn=akn对分数指数幂也适用， 4422553425232例如：若a0，则a3=a3=a，a4=a4=a， a=a3 a=a
4、545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：正数的正分数指数幂的意义是a=nama0,m,nN*,n1； 正数的负分数指数幂的意义是am-nmn()=1amn=1nam(a0,m,nNs*,n1) 2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即 (1)aras=ar+s(a0,r,sQ)r,0r,Q) (3)(ab)=arbr(a0b(2)(ar)=ars)Q (a0,r,s说明：有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。 3例题分析： 例1 用分数指数幂的形式表示下列各式(
5、ao)： aa， a33a2， 解：aa=aa=a3323232aa. 22122+12=a； 1252 aa=aa=a； 34aa=aa=a=a 121232113例2计算下列各式的值 3115111-2842a3b2-6a2b3-3a6b6； mn； 151112解2a3b2-6a2b3-3a6b6 8 =2(-6)(-3)a =4ab=4a； 0211+-326b115+-236331-1m22-38844 mn=mn=mn=3 n例3计算下列各式： a2345-1255 (a0) 32aa321312134324解：5-1255=5-55=5354-5254 888()() =5-5=
6、1255-545； 51254a2a3a2=a2aa1223=a=6a5 56综合应用 例1化简：5解：5x-1x-1+5x+5x+1. 31x5. 514141414+5x+5x+1=5x-1(1+5+25)=315x-1=12121414 例2化简：(x-y)(x-y). 解：(x-y)(x-y)=(x+y)(x-y)(x-y) =x+y 评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即(x)=x，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。 例3已知x+x解：12-1121214141414141414212=3，求下列各式的值：x+x；x+x. -12212212-12-12212-12
7、32-32(x+x)=(x)+2xx+(x) =x1+x-1+2=3+2=5， 12-12-1x+x=5， =3得x0，x+x1212-12又由x+x120， 所以x+x-=5. x+x32-32(x)+(x)=(x)+(x)+2xx而x+x323-312-1232-322322-322-32-32=x3+x-3+2 =(x+x-1)(x2+x-2-1) =(x+x-1)(x+x-1)2-3=3(32-3)=18 -322(x+x)=20， 又由x+x32-1=30得x0，x+x-3232-320， 所以x+x=20=25. 二、指数函数 1指数函数定义： 一般地，函数y=ax叫做指数函数，其
8、中x是自变量，函数定义域是R 2指数函数y=ax在底数a1及0a1 0a0,a1) y=1- y=3 y=x a+12说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。 ax+1例2当a1时，证明函数y=x 是奇函数。 a-12(xR)， 例3设a是实数，f(x)=a-x2+1试证明：对于任意a,f(x)在R为增函数； 试确定a的值，使f(x)为奇函数。 分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。 三、对数的性质 1对数定义：一般地，如果a的b次幂等于N, 就是ab=N，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 logaN=b，a
9、叫做对数的底数，N叫做真数。 即a=N， logaN=b 指数式ab=N 对数式logaN=b ba 底数 对数的底数 N 幂 真数 b 指数 对数 说明：1Q在指数式中幂N 0，在对数式中，真数N 0 02Q对任意 a0且 a1, 都有 a=1 loga1=0，同样：logaa=1 3如果把a=N中的b写成logaN， 则有 a2对数式与指数式的互换 例如： blogaN =N242=16 log 10=10 0 log10100=2 6 241=2例1将下列指数式写成对数式： 5=25； 24-6-21 104=2 log=0.0 1 log100.01=-2 2=4121； 3a=641
10、=27； =5.37 3m3介绍两种特殊的对数： 常用对数：以10作底 log10N 写成 例2计算： lgN 自然对数：以e作底为无理数，e= 2.71828 ， logeN 写成 lne log927， log354625 求 x 的值：log3x=-求底数：logx3=-32； log2(3x+2x-1)=1 2x-1437， logx2= 584对数的运算性质： 如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0， 那么 loga(MN)=logaM+logaN； logaM=logaM-logaN； NnlogaM=nlogaM(nR) 例3计算： lg14-21g7lg243lg27+l
11、g8-3lg10+lg7-lg18； ； 3lg9lg1.25换底公式：logaN=logmN ( a 0 , a 1 ；m0,m1) logman说明：两个较为常用的推论： logablogba=1 ； logamb=例4计算： 51-log0.23nlogab m； log43log92+log2432 例5已知log189=a，18=5，求log3645 b111 -=zx2y例7若log83=p，log35=q，求lg5 例6设3=4=6=t1 ，求证：xyz四、对数函数 1对数函数的定义：函数 y=logax(a0且a1)叫做对数函数。 2对数函数的性质： 定义域、值域：对数函数y=
12、logax(a0且a1)的定义域为(0,+)，值域为(-,+) 图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y=x的对称图形，即可获得。 同样：也分a1与0a1 x=1 y=logax 图 象 y=2x y=x 1y=x 21 1 2y=x y=log1x 20a1 x=1 (1,0) 定义域：(0,+) 性 质 值域：R 过点(1,0)，即当x=1时，y=0 在上是增函数 (1,0) y=logax 在(0,+)上是减函数 例1求下列函数的定义域： y=logax2； y=loga(4-x)； y=loga(9-x2) 分析：此题主要利用对数函数y=
13、logax的定义域(0,+)求解。 例2比较下列各组数中两个值的大小： log23.4，log28.5； log0.31.8，log0.32.7； loga5.1，loga5.9. 例3比较下列比较下列各组数中两个值的大小： log67，log76； log3p，log20.8； 1.1，log1.10.9，log0.70.8； log53，log63，log73 例4已知logm4logn4，比较m，n的大小。 例5求下列函数的值域： y=log2(x+3)；y=log2(3-x2)；y=loga(x2-4x+7) 例6判断函数f(x)=log2(x2+1-x)的奇偶性。 例7求函数y=2log1(x2-3x+2)的单调区间。 30.9例8若函数y=-log2(x2-ax-a)在区间(-,1-3)上是增函数，a的取值范围。
